Функция, последовательность. Предел функции, предел последовательности.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств.

Функция ( отображение, операция, оператор ) — это закон или правило, согласно которому каждому^[3] элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества ^[4].

При этом говорят, что функция задана на множестве , или что отображает в .

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент находится в функциональной зависимости от элемента . При этом переменная называется аргументом функции или независимой переменной, множество называется областью задания или областью определения функции, а элемент , соответствующий конкретному элементу — частным значением функции в точке . Множество всех возможных частных значений функции называется её областью значений или областью изменения.

Под числовой последовательностью х₁, х₂, x₃,..., х_n... понимается функция

x_n=f(n) (15.1)

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {х_n} или х_n, nєN. Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, х₂ — вторым,..., хn — общим или n-м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x_n, у которых n> N, удовлетворяют неравенству

|x_n - a| < ε. (6.1)

Записывают это следующим образом: или x_n→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- ε < x_n < a + ε, (6.2)

которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n> N, лежат внутри интервала (a-ε, a+ε ), т.е. попадают в какую угодно малую ε -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ > 0 (зависящее от ε ), что для всех x, лежащих в ε -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε, значения функции f(x) будут лежать в ε -окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел, равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной.

1. Последовательность с общим членом является бесконечно малой, поскольку все ее члены, начиная с некоторого номера, становятся меньше любого положительного числа ε. Действительно, неравенство эквивалентно неравенству и, следовательно, выполняется для всех одновременно, если в качестве номера N выбрать любое целое число, которое больше, чем . Полагая, например, ε = 0.001, получаем, что для всех n > 1000. Бытовая интерпретация этого результата вполне очевидна: достаточно вообразить себе пирог, который мы пытаемся разделить сначала на 1000, затем на 1000000 и так далее гостей. При этом гости продолжают прибывать, так что вопрос: " Сколько же достанется каждому? " представляется вполне риторическим.

 

***

2. Последовательность является бесконечно малой при . Действительно, каждый член этой последовательности меньше соответствующего члена бесконечно малой последовательности и, следовательно, элементы образуют бесконечно малую последовательность: Рис. 8. Бесконечно малая последовательность .

 

***

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: