Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

Решение:

5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a  b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а  b

.

 

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

2.Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму векторуb виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с а и с b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и bкак на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а, b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18):

i х j = k, j х k = i, k х i = j.
Докажем, например, что iхj=k.

1) k i, k j;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а хb и a, b, bxaпротивоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.  (а хb ) = ( а ) х b = а х ( b ).

Пусть  > 0. Вектор  (ахb ) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (  а)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а,  а лежат в одной плоскости). Значит, векторы (ахb ) и (  а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому  (a хb )=  ахb. Аналогично доказывается при  < 0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b < => ахb =0.

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.

Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j и k:

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а=а_хi +a_yj +a_zk и b =b_xi +b_yj +b_zk. Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

Дополнительный вопрос

Правила интегрирования.

1)∫ d(f(x))=f(x)+C;

2)d∫ f(x)dx=f(x)dx;

3)∫ kf(x)dx=kf(x)dx, где k — постоянная величина;

4)∫ (f(x))±g(x))dx=∫ f(x)dx±∫ g(x)dx;

5)∫ udv=uv-∫ vdu (интегрирование по частям);

6)∫ f(x)dx=F(x)+C ∫ f(φ (t))φ `(t)dt=F(φ (t))+C (замена переменной интегрирования);

7) ∫ f(x)dx=F(x)+C ∫ f(ax+b)dx=1/a F(ax+b)+C.

7.таблица неопределенных интегралов

· ∫ xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n -1

· ∫ dx/x=lnІxІ+C

· ∫ a^xdx =a^x/lna + C

· ∫ e^xdx=e^x+C

· ∫ sinxdx=-cosx +C

· ∫ cosxdx=sinx +C

· ∫ dx/cos²x=tgx+C

· ∫ dx/sin²x=-ctgx +C

· ∫ dx/(1+x²)=arctgx+C

· или ∫ dx/(1+x²) =-arcctgx+C

· ∫ dx/ = arcsinx +С

· или ∫ dx/ =-arccosx + C

· ∫ dx/(a²+x²)= arctg +C

· ∫ dx/(a²+x²)=- arcctg +C

· ∫ dx/ =arcsin +C (a> 0)

· ∫ dx/ =-arccos +C (a> 0)

·∫ dx/ =lnІx+ І+C

Таблица производных

8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ

Формула Ньютона-Лейбница

Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

ЭТО ЕСЛИ ВСЕ РАСПИСАТЬ:

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

 

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β ], Тогда если a = g (α ), b = g (β ), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Эллипс(основной 11)

 

a-действительная полуось, b-мнимая полуось, расстояние от центра до фокусов c=a2+b2, эксцентриситет ε =c/a> 1

 

12)Гипербола

 

 

 

=1

X² _ Y²

a² b²

=1 a-мнимая полуось, b- действительная полуось, расстояние от центра до фокусов c=a2+b2, эксцентриситет ε =с/b> 1

y² x²

b² a²

 

Линиями второго порядка называются линии, уравнения которых имеют вторую степень.

Парабола

Параболой называется множество всех точек равноудалённых от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).

Парабола у =2рх (р> 0)

р - расстояние между фокусом и директрисой

Окружность

Окружность- множество всех точек равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

(х-х0)-+(у-у0)=R2	(х0, уо) - центр, R - радиус
х2+у2+2Ах+2Ву+С=0	общее уравнение окружности, А2+В2> С

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: