Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной

Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной

Формах. Действия над комплексными числами, извлечение корня из

Комплексного числа. Формула Эйлера.

Число z=x+iy, где x, y называется комплексным числом. Число i называется

мнимой единицей, x-действительная часть, y-мнимая часть.

Комплексное число z=x-iy называется сопряженным комплексному числу z.

Модулем комплексного числа z=x+iy называется |z|=

Представление комплексного числа с помощью формулы z=x+iy называется алгебраической формой комплексного числа.

Тригонометрические и показательные формы комплексного числа. Обозначаются через угол , угол между осью OX и радиус вектором, изображающим число z.

Множество углов вида обозначается argz.

argz =

 

Представление комплексного числа формулой называется показательной формой комплексного числа.

1.Сложение

2.Вычитание

3. Умножение

z1*z2 = r1*r2(cos( 1+ 2) + isin( 1+ 2)

4.Деление

- Формула Муавра (! )

- Формула Эйлера

 

Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры.

Разложение многочлена на множители. Критерий тождественности двух

Многочленов.

Многочлены.

Многочлен (полином) относительно переменной z - это

2z⁴-5z³+2z=(z²-1)(2 z²-5z+2)+(-3z-2)

Q_m(z) T_k(z) R_c(z)

Значит P_n(z) = Q_m(z) T_k(z) + R_c(z) (*), где m< =n m+k=n, l< n;

Если R_c(z) = 0, то P_n(z) делится на Q_m(z).

Назовем компл. число z₁ корнем многочл. P_n(z), если P_n(z₁).

Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени P_n(z) делится на двучлен z-z₁, тогда и только тогда, когда z₁ является корнем P_n(z).

Запишем (*) для P_n(z) и z-z₁: P_n(z) = (z-z₁)T_n-1(z)+ R_c(z) => z: =z₁.

Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен P_n(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень.

Компл. число z₁ наз. корнем кратности к₁ многочл. P_n(z), если

P_n(z) = (z-z₁)^к1Т_n-k1(z)

Следствие: Многочл. P_n(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности:

P_n(z) = a_n(z-z₁)^к1(z-z₂)^к2…

Пусть z₁ – корень P_n(z) с действ. коэф-ми, тогда корень P_n(z)

P_n( )= = =0

Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами.

(z-z₁)(z- )=z²+p₁z+q₁

P_n(x) – с действ. коэф.

P_n(x)=a_n(x-x₁)^k1(x-x₂)^k2*…*(x-x_l)^kl(x²+p₁x+q₁)^R1(x²+p₂x+q₂)^R2*…*(x²+p_mx+q_m)^Rm

x₁, x₂, …, x_n – действ. корни

k₁, k₂, …, k_n – их кратности

P₁, P₂, …, P_n, q₁, q₂, …, q_n – действ. числа

k₁+k₂+…+k_l+2R₁+2R₂+…+2R_m = n

Два многочлена одинаковой степени тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

 

 

Рациональные дроби и их разложение на сумму простейших дробей. Методы нахождения коэффициентов разложения.

Опр. , где Pn(z), Qm(z) – многочлены, наз. рациональной дробью.

n> =m – дробь неправильная; n< m – правильная.

Разложение правильной рац. дроби с комплексными коэф. на сумму простейших дробей.

Если - правильная дробь, то , где

z₁, z₂, …, z_l – разл. компл. корни

k₁, k₂, …, k_l – их кратности

то сущ. Такие компл. числа A_i^k, где i=1, 2, …, l; k=1, 2, …, k_i, то тогда

Разложение простой рац. дроби с действ. коэф. на сумму простейших дробей с действ. коэф.

Пусть - правильная дробь,

x₁, x₂, …, x_l – разл. компл. корни

k₁, k₂, …, k_l – их кратности

p_i²-4q_i< 0 для i=1…s

R₁, R₂, …, R_s – кратности пар корней, тогда

Метод неопределённых коэффициентов.

Метод частных значений.

 

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.

Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x? X.

F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная.

для

;

Совокупность всех первообразных F(x)+C для ф-ции f(x), определенное на X, называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на X и обозначается

;

Основные свойства неопределенного интеграла.

1).

2).

3).

4).

 

Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема: Пусть определена и диф-ма на X. U- множество значений ф-ции . Для f(U) существует F(U) на U. Тогда для g(x) на X сущ-т первообразная , т.е.

Док-во:

На практике:

 

Интегрирование по частям. Основные классы функций, интегрируемых по

Частям.

Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда

На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или

;

Док-во:

d(uv)=vdu+udv;

Интегрирование рациональных функций.

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1) , 2) , 3) , 4)

1)

2)

3)

 

4)

 

- рекуррентная формула

 

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln, arctg, степенная.

Функций.

y=f(t), кот определ на [a, b].

а< b, τ _n={x₀, x₁, x₂,.., x_n |a=x₀< x_1...< x_n=b|}

Δ x_k=x_k-x_k-1-длина отр.[x_k-1, x_k], к=1, n.

λ =max ∆ x_k – диаметр разбиения 1≤ k≤ n

k? [x_k-1, x_k], k=1, n,

σ _n=f(ε ₁)Δ x₁+ f(ε ₂)Δ x₂+..+f(ε _n)Δ x_n=∑ f(ε _k)Δ x_k Интегральн.сумма.

Опр: если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ → 0 независящ. от способа разбиения τ _n [a, b] и выбора промежуточных точек ε _k то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а, b] от y=f(x).

Если этот lim сущ, то y=f(x) интегрируемая по Риману на [a, b]. R[a, b]- класс всех ф-ций интегр. на [a, b].Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных.

Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a, b]. f(x)≥ 0.

AB; x=a; x=b; [a, b] –криволин.интегр.

Ограниченность ∫ -ой ф-ции.

1.(необход.условие ∫ -ти ф-ции). Если y=f(x) ∫ -ма по Риману то она ограничена. f(x)? R[a, b] → сущ.М> 0, |f(x)|≤ M, для любых х? [a, b].

Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a, b] тогда при люб. разбиении τ _n найдется часть от k [x_k-1, x_k] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать ε _k? [x_k-1, x_k], таким обр, чтобы |f(ε _k)|> любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного lim_{x→ 0} Ss_n

Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a, b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.

ì 1, х – рацион.

D(x)= î 0, х – иррац.

D(x) – огр. на [0, 1]

ε _k-рац.

 

ε _k-ирррац

 

 

D(x) – не инт. по Р., но она огр.

Теорема 1: f(x) непр. [a, b], то она явл. интегр.

Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a, b]

Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a, b], если она огранич. и непрер. на отр. [a, b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.

Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a, b] интегр. на [a, b] …

Частные производные

Частные производные и их геометрический смысл.

Частная производная ф-ции в точке по переменной x называется

, если он .

; ;

непрерывна

имеет частные производные в т. А, В непрерывна в т. А, В.

Полный дифференциал

Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных.

Дифференциал.

; ;

;

Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А, В – числа.

Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.

Док-во: -диф-ма в т.

;

- непрерывна в точке

Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то

Док-во: ; ;

 

Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывна в самой точке , то она диф. В точке .

Если дифф. В т. , то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции в т.

;

; ;

24. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.

 

Диффиренцирование сложной ф-ции нескольких переменных.

; ;

Теорема: Если ф-ция дифф. В т. , а - дифф. в т. , то тогда будет дифф. в т. и

Док-во: ; ;

- дифф. в т. - непрерывны в т. , т.е. ;

дифф. в т.

;

; ; ;

;

;

- свойство инвариантности формы первого дифф.

 

Нормаль к поверхности.

 

f(x, y)=f(x₀, y₀)+A∆ x+B∆ x+o(ρ ); z₀=f(x₀, y₀); z=f(x, y); ∆ x=x-x₀, ∆ y=y-y₀;

z₀=z₀+A(x-x₀)+B(y-y₀); z₀-z=A(x-x₀)+B(y-y₀);

z₀-z=f_x‘(x₀, y₀)(x-x₀)+f_y‘(x₀, y₀)(y-y₀)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.

z=f(x, y) (x₀, y₀, z₀).

Нормалью к поверхн. в данной точке М₀(x₀, y₀, z₀) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.

(x-x₀)/f_x‘(x₀, y₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀, y₀)=(z-z₀)/(-1) – ур-ние нормали

(x-x₀)/f_x‘(x₀, y₀, z₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀, y₀, z₀)=(z-z₀)/f_z‘(x₀, y₀, z₀)

Замкнутой области.

Условный экстремум ф-ции нескольких переменных.

Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.

; x+y-1=0;

(*)

; ; ;

Метод множителя Ла-Гранджа.

(*) эквивалентна задаче: , где

-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.

Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

 

Форма и вычисление.

Механический смысл КРИ-2:

(М) – вектор силы; L=AB; Работа силы по перемещению вдоль L. Если (М) – переменная сила, а AB – кривая, то: - настолько малы, что перемещение на кусочек по направлению совпадает с единичным касательным вектором. -произвольная точка. ( ) – постоянная сила. =( ( ), )=( ( ), )

!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L.

Скалярная форма КРИ-2

Вычисление КРИ-2

,

Формула Грина.

Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя.

Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D.

Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей.

Например: круг, прямоугольник, кольцо.

Теор. Грина: пусть P(x, y), Q(x, y) и и непрерывны в простой области D тогда

где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении.

Док-во

Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках.

Для I₂ – аналогично.

Формула Грина имеет место для любой простой области.

Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».

Форма и вычисление.

Физический смысл ПОВИ-2 – поток жидкости через пов-ть в единицу времени.

M (x, y, z) – вектор скорости жидкости. a (M) = P(x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R(x, y, z) k

1) ; 2)

3) ; 4)

5)

ПОВИ-2 есть поток жидкости (поток векторного поля a(M)) через ориентированную поверхность .

 

Скалярная форма ПОВИ-2. ; ПОВИ-1 для ;

ПОВИ-2 для P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) x, y, z-пректируемое

E, F(x, y, z)=0; x=x(y, z); y=y(x, z): z=z(x, y)

Замечания: если прямая, параллельная к-л из координатных осей пересекает поверхность более чем в одной точке, то пов-ть следует разбить на несколько пов-тей и воспользоваться свойством аддитивности ПОВИ-2.

- ПОВИ-2

 

Формула Астроградского. Пусть V-ограниченая область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Пусть ф-ции P, Q, R и их частные производные dP/dx; dQ/dy; dR/dz непрерывны в замкнутой области V, тогда справедливо следуещее равенство:

ПОВИ-2 берется по внешней стороне пов-ти , ограниченной областью V.

Если пов-ть не замкнутая, но ее можно замкнуть простыми пов-ми, то дополнить, применить формулу Астроградского к замкнутой пов-ти, вычислить ПОВИ-2 по простым дополняющим пов-м и из интеграла по замкнутой пов-ти вычесть результат для дополнительных пов-тей.

 

Остроградского.

Векторные поля и их основные характеристики.

Говорят, что в V занадо векторное поле, если каждой т. поставлен в соответствие некоторый вектор . Физ. Векторные поля не зависят от выбора СК.

Векторная линия – кривая, в каждой точке M которой направлен по касательной к кривой. Векторная трубка – часть пространства, состоящая из целых векторных линий, каждая ВЛ или целиком лежит внутри этой трубки или находится вне ее.

Поток векторного поля. Дивергенция.

Дивиргенцией векторного поля называется скалярная ф-ция .

Формула Остроградского:

характеризует плотность источников поля в данной точке. Не зависит от выбора СК.

Циркуляция и ротор векторного поля.

Ротором (или вихрем) векторного поля называется вектор-функция

Ротор характеризует завихренность поля в данной точке.

Ротор является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения OZ. Его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

Рассмотрим . С- кусочно гладкая пов-ть. КРИ-2 называется циркуляцией вдоль кривой L в направлении . Если -силовое поле, то его циркуляция – работа вдоль пути L.

(формула Стокса).

 

Комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной

1234Следующая ⇒

Поделиться: