Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
По правилам дифференцирования дроби получим
б) .
Решение. По правилам дифференцирования произведения получим
в)
Решение. Дифференцируем как сложную функцию.
г) . Это неявная функция.
Решение. , , . Задача 6. С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций: 1) . Решение. Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.
2)
Решение. При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя. Задача 7. Исследовать функцию и построить ее график. Решение.
Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо конце исследования (рис.2).
Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , - предел слева в точке ; - предел справа. Наклонные асимптоты вида Найдем, если существуют конечные пределы и . Здесь Итак, - уравнение наклонной асимптоты.
5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума. Найдем производную первого порядка. Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х1 = 0, х2 = 3, х3 = 1 - последняя н входит в область определения функции. Используя достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак при переходе через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал , содержащий точку . ; . Так как при переходе через точку производная знак не имеет, то функция монотонно возрастает и не является точкой экстремума. Возьмем интервал , содержащий точку х = 3. ; . Здесь производная меняет знак с «-» на «+», значит, х =3 – точка минимума функции . Итак, функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале (1; 3).
6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода. Критические точки второго рода, при которых в нуль или существует, такие , , но эта последняя не входит в область определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак при переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0. Вычислим , . Отсюда следует, что х = 0 – точка перегиба, . . Отсюда следует, что - интервал выпуклости; , - интервалы вогнутости кривой.
Задача 8. Три пункта А.В. и С расположены так, что угол АВС (рис.3) равен 600. Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Одновременно из пункта А выходит автомобиль, а из пункта В – поезд. Автомобиль движется по направлению к пункту В со стороны 80 км/ч, а поезд движется по направлению к пункту С со скоростью 50 км/ч. Через скорость времени расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим? Решение.
рис. 3.
Тогда получим уравнение ; км. Отсюда . Найдем первую производную по t: . Приравнивая первую производную к нулю получим откуда или - критическая точка. Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д . Легко видеть, что при переходе через критическую точку t0 от меньших значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет знак с минуса на плюс . Следовательно, t0 = 1.6279 часа – точка минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в точке минимума функция имеет наименьшее значение: .
Задача 9. Найти частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных: а) Решение. Найти частные производные ; . Составим полный дифференциал по формуле . Получим . б) . Решение. Найдем частные производные . Составим полный дифференциал .
Задача 10. Найти экстремум функции Решение. Найдем частные производные: и смешанную производную . Необходимое условие экстремума: и Решим систему уравнений x = 2y, 4y – y = -9, y = -3 x = -9 Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение и вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если , то P- точка экстремума. При этом, если , то Р – точка минимума, а если , то Р – точка максимума, Если , экстремума нет, а если - экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования. Установим характер экстремума в точке P(-9; -3). , следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума данной функции.
Задача 11. Найти неопределенные интегралы а) , б) , в) , г) , д) . Предлагаемые интегралы можно, применив основные методы интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод интегрирования по частям. Решение. а) ; Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл . б) . В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, . Второй интеграл справа является табличным . Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну. в) Подстановка: Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь . г) . Найдем его методом интегрирования по частям по формуле . Примем , . В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ). Применив формулу интегрирования по частям, получим . д) . Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители . Тогда , где A, B, M, N – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем . Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть . Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений Решение системы: Переходим к интегрированию !! . Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.
Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , (рис.2)
рис. 4.
Определенные интегралы вычисляются по ф> рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна .
Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , , . (рис. 5).
рис. 5.
Задача 14. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при . Решение. Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет общему виду линейных уравнений . Будем искать решение в виде , где , - дифференцируемые функции от . Тогда . Подставляя , в данное уравнение, получим или . Приравняем нулю выражение, стоящее в скобках и получим уравнение с разделяющимися переменными или , или . Интегрируя обе части уравнения, находим или (Здесь полагают произвольную постоянную равной нулю). Откуда . Подставляя его уравнение , придем к его общему уравнению с разделяющимися переменными или , или , или , откуда . А так как решение ищется в виде , то оно будет таким . Это- общее решение, в котором - произвольная постоянная. Решим теперь задачу Коши: из общего решения по заданным начальным условиям определим частное решение. Для этого подставим в общее решение начальные условия. Получим или , или , или , откуда . Подставляя это значение постоянной в общее решение, получим частное решение удовлетворяющее начальным условиям. Задача 15. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Область сходимости называется множество всех точек сходимости данного ряда. Найдем радиус и интервал сходимости. . Где . Радиус сходимости . Тогда интервал сходимости . Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала. 1) Подставим в данный степенной ряд . Получим числовой ряд . Этот ряд является расходящимся, так как не выполняется необходимое условие его сходимости . 2) Подставляя в степенной ряд , получим знакочередующийся числовой ряд , который расходится по той же причине: его общий член при стремится к 1, а не к 0. Итак, область сходимости данного степенного ряда .
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 392; Нарушение авторского права страницы