Взаимное расположение двух плоскостей

Пересекающиеся плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 образуют две пары вертикальных двугранных углов.

Определение: Углом между плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов. Один из них равен углу j между векторами (A₁, B₁, C₁) и (A₂, B₂, C₂), перпендикулярными соответственно к плоскостям, а второй - j₁=180⁰-j.

Следовательно, искомый угол можно найти по формуле:

( , )=ô ô ô ô cosj Þ

Замечание: Если плоскости параллельны, то угол j между ними равен 0 или p, отсюда следует, что и коллинеарны и мы получим условие параллельности двух плоскостей

Замечание: Если j=p¤2, то из формулы получим условие перпендикулярности двух прямых A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

Замечание: Если выполняется условие , то плоскости совпадают.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пусть заданы три точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), относительно которых мы будем предполагать, что они не лежат на одной прямой. Найдём уравнение плоскости проходящей через эти три точки.

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка искомой плоскости. (рис.3)

Рис. 3.

Векторы лежат в искомой плоскости и поэтому компланарны (условие компланарности устанавливается с помощью смешанного произведения).

Из компланарности векторов , и и перехода к координатной форме записи, ( (x - x₁, y - y₁, z - z₁); (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁); (x₃-x₁, y₃-y₁, z₃-z₁)), получим уравнение плоскости в координатной форме, проходящей через три точки:

 

 

Виды уравнений прямой в пространстве.

2.1.Общие уравнения прямой

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей:

2.2. Параметрические и канонические уравнения прямой

Пусть дана точка M₀(x₀, y₀, z₀), прямая l и задан направляющий вектор (m, n, p) (вектор параллелен прямой l).

 

 

Составим уравнение прямой l. Возьмём на прямой произвольную точку М(x, y, z) и проведём радиус-векторы = (x₀, y₀, z₀) и = (x, y, z). Вектор = - = - лежащий на прямой l, по условию коллинеарен вектору S, поэтому , где t - параметр. Равенство = - перепишем иначе: - = или = + - векторное уравнение прямой.

Уравнение = + в проекциях: x = x₀ + mt, y = y₀ + nt, z = z₀ + pt- параметрическими уравнениями прямой.

Если исключить параметр t из уравнений x = x₀ + mt, y = y₀ + nt, z = z₀ + pt, получим: - канонические уравнения прямой.

Уравнения умножим на и запишем их в таком виде: или где a, b, g - углы, образованные прямой с осями координат Ox, Oy, Oz.

Величины cosa, cosb, cosg называются направляющими косинусами прямой и вычисляются с помощью по формулам:

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть прямая проходит через две данные точки М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂). В этом случае можно положить, что направляющий вектор прямой имеет координаты = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)

Подставив в уравнения m = x₂-x₁, n = y₂ - y₁, p = z₂ - z_1, x₀ = x₁, y₀ = y₁, z₀ = z₁, получим

- уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Замечание. 1. Три точки М₁, М₂, М₃ лежат на одной прямой, если выполняется условие

2. От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим уравнениям и наоборот.

 

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

 

Пусть даны прямые l₁: и l₂:

Определение. Углом между двумя прямыми l₁ и l₂ называется угол между их направляющими векторами (m₁, n₁, p₁) и (m₂, n₂, p₂) (рис. 5.)

 

3.1. Условие параллельности прямых.

Если прямые l₁: и l₂: параллельны, то и коллинеарны. Отсюда получаем:

3.2. Условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l₁: и l₂: взаимно перпендикулярны, то и также перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю, т.е. ( ) = 0 Þ m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0

3.3. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть плоскость задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, прямая l:

Определение: Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость, и вычисляется по формуле

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

4.1.Условие параллельности прямой и плоскости.

Если прямая l параллельна плоскости Q, то нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой , следовательно, скалярное произведение этих векторов равно 0, т. е. ( ) = 0, следовательно, выполняется условие

4.2.Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая l перпендикулярна плоскости Q, то нормальный вектор плоскости параллелен направляющему вектору прямой , следовательно, выполняется условие

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: