Вычислительная математика – 6 сем.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

В.Н. Шакин, Т.И. Семенова, О.М. Кравченко А.П. Гловацкая

ИНФОРМАТИКА – 4 сем.

Специальности: 210402, 210404, 2104054, 210406

Численные методы – 6 сем.

Специальность: 220301

Вычислительная математика – 6 сем.

Специальность: 230201

Раздел 6.

Лабораторный практикум для студентов заочного факультета

Модели и алгоритмы решения задач
численными методами

С использование математических пакетов

Темы 6.2 – 6.8

Москва 2011

УМД

В.Н. Шакин, Т.И. Семенова, О.М. Кравченко, А.П. Гловацкая ИНФОРМАТИКА – 4 сем. Специальности: 210402, 210404, 2104054, 210406; Численные методы – 6 сем. Специальность: 220301; Вычислительная математика – 6 сем. Специальность: 230201. Раздел 6. Лабораторный практикум для студентов заочного факультета: Модели и алгоритмы решения задач
численными методами с использование математических пакетов

37 с.

Модели и алгоритмы решения задач численными методами с использованием математических пакетов

Рекомендации по использованию
лабораторного практикума

 

Раздел 6. Лабораторный практикум «Модели и алгоритмы решения задач численными методами с использованием математических пакетов» является шестым разделом учебной дисциплины «ИНФОРМАТИКА» [1]. Этот раздел состоит из учебного пособия [2] и настоящего лабораторного практикума. В качестве вспомогательного материала рекомендуется использовать учебное пособие [3], в котором рассмотрены базовые элементы и средства математического пакета MathCad.

Содержание данного практикума соответствует стандарту подготовки специалистов по направлению 210400 – « Телекоммуникации » (дисциплина Информатика), 230200 – « Информационные системы » (дисциплина Вычислительная математика), 220300 – « Автоматизация и управление » (дисциплина Численные методы) и может быть использовано для студентов дневной, заочной и дистанционной форм обучения. Практикум включает 7 тем:

Тема 6.2. Методы решения нелинейных уравнений

Тема 6.3. Интерполяция функций

Тема 6.4. Численное интегрирование

Тема 6.5. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Тема 6.6. Одномерная оптимизация

Тема 6.7. Аппроксимация функций

Тема 6.8 Методы оптимизации функций нескольких переменных

Целью выполнения лабораторных работ является практическое изучение ряда распространенных численных методов для решения вычислительных задач с использованием средств современных математических пакетов.

Количество и порядок выполнения лабораторных работ, в соответствии со специализацией потока, определяется лектором.

Перед выполнением каждой лабораторной работы рекомендуется изучить соответствующую тему пособия [1], которая содержит теоретический материал.

Содержание по каждой лабораторной работе имеет одинаковую структуру;

Вопросы, подлежащие изучению.

2. Общее задание.

Варианты индивидуальных заданий.

4. Пример выполнения задания.

Вопросы, подлежащие изучению содержат перечень вопросов, которые необходимо знать студенту для подготовки, выполнения и защиты лабораторной работы по конкретной теме.

Общее задание представляет собой перечень пунктов, которые необходимо выполнить в лабораторной работе по конкретной теме.

 

Вариант индивидуального задания выбирается студентом из указанной таблицы заданий. Номер индивидуального задания выбирается в соответствии с указанием преподавателя.

 

Пример выполнения задания показывает последовательность выполнения индивидуального задания и способы решения поставленной задачи всеми изучаемыми в данной теме методами (по заданию студенту предлагается использовать один из методов).

 

Все расчеты, связанные с выполнением индивидуального задания, должны быть выполнены с использованием математического пакета MathCad, что позволяет не только уменьшить трудоемкость проведения расчетов, но и получить практические навыки работы в пакете. Для изучения средств пакета MathCad рекомендуется использовать пособие [3], в котором кратко изложены основные сведения о пакете, а также приведено описание встроенных функций, используемых в данном курсе лабораторных работах, проиллюстрированное многочисленными примерами.

Каждая лабораторная работа содержит два вида расчета:

 

· « ручной расчет », который предполагает использование MathCad в качестве многофункционального калькулятора, позволяющего автоматизировать расчеты, связанные с проведением исследований функций и вычислением по формулам заданного метода;

· « расчет средствами MathCad », который предполагает решение поставленной задачи с использованием функций пакета.

 

Отчет должен содержать все пункты задания, а на титульном листе должно быть отражено название темы лабораторной работы и приведено индивидуальное задание. Все пункты расчетов, выполненные с использованием пакета MathСad, должны быть снабжены пояснениями.

 

 

Тема 6.2. Лабораторная работа

Методы решения нелинейных уравнений

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.

2. Этапы численного решения нелинейных уравнений.

3. Аналитический и графический методы отделения корней.

4. Методы уточнения корней: половинного деления, итераций, Ньютона и хорд.

5. Средства задания точности вычислений.

6. Средства вычисления первых производных и производных высших порядков.

7. Уточнение корня нелинейного уравнения с использованием функции root.

 

Задание

1. Выбрать вариант задания из табл. 6.2-3 нелинейное уравнение (НУ).

 

2. Провести аналитическое и графическое отделение корней уравнения.

 

3. Провести исследование индивидуального варианта задания « ручным расчетом » для одного из отделенных корней:

· проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса произвести необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

· выбрать начальное приближение и провести « ручной расчет » трех итераций по заданному преподавателем методу решения НУ, а результаты расчета свести в таблицу, аналогичную табл. 6.2-1 или табл. 6.2-2, в зависимости от выбранного метода, и оценить погрешность численного решения НУ после трех итераций

 

Таблица 6.2-1

n	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a

Таблица 6.2-2

n	X	f(x)

 

4. Уточнить отделенный корень уравнения « расчетом средствами MathCad » с использованием функции root.

 

3. Варианты задания

Таблица 6.2-3

№	Уравнение	№	Уравнение
	x - Сos(x / 3) = 0		2x –x lgx – 7 = 0
	x + ln(4x) – 1 = 0		x+ Сos(x) = 1
	ex – 4 e-x – 1 = 0		x + lg(1 + x) = 1, 5
	x ex – 2 = 0		2 Sin(x – 0, 6) = 1, 5
	4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0		lg(1 + 2x) = 2 – x
	2 – x – Sin(x / 4) = 0		lg(x)/(x + 1)2 = 0
	x2 + ln(x) – 2 = 0		= 1/x
	Cos(x) – (x + 2)1/2 + 1 = 0		3x + Cos(x) + 1 = 0
	4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0		2 – x lg(x)=0
	5 ln(x) – x1/2 = 0		(x – 1)2 =
	ex + x3 – 2 = 0		(2 – x)ex = 0, 5
	3 Sin (x1/2) + x – 3 = 0		2, 2 x – 2x = 0
	0.1x2 – x ln(x) = 0		5x – 8 log(x) = 8
	Cos(1 + 0.2x2) – x = 0		x – ex = 0
	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0		x = (x + 1)3

 

4. Пример выполнения задания

 

1. Задание для решения нелинейных уравнений:

· уравнение: ;

· методы решения нелинейных уравнений для « ручного расчета » – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд (преподаватель задает студенту только один метод уточнения корня, но здесь в качестве примера приведены « ручные расчеты» при использовании всех четырех методов).

Отделение корней

Первая и вторая производные на отрезке [0; 1] непрерывны и знакопостоянны, следовательно:

Таким образом, на выбранном отрезке [0; 1], уравнение 1 - 3х + cos(x) = 0имеет единственный корень.

 

3. «Ручной расчет» трех итераций (студент задается только один метод, но в качестве примера ниже приведены «ручные расчеты» с использованием методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд).

 

Интерполяция функций

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи интерполяции, основные понятия: узлы интерполяции, интерполирующая и интерполируемая функции.

2. Условие единственности решения задачи интерполяции.

3. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона, области их применения.

4. Конечные разности, их назначение и использование.

5. Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.

6. Практическое правило определение степени интерполяционного многочлена.

7. Способы задания функции в MathCAD: аналитический, табличный, матричный.

8. Средство линейной интерполяции – функция linterp.

9. Средство кубической сплайн-интерполяции – функция interp.

10. Алгоритм интерполяции по методу Лагранжа.

 

Задание

1) Выбрать индивидуальное задание:

· номера узлов (x_i, где i = 0, 1, …5) (табл. 6.3-2);

· значения функции в заданных узлах с шагом h=0.2 (Табл.6.3-3)

1. Обозначить a = x₀ и b = х₅.

2) Получить таблицу значений функции f(x)на отрезке [a; b] с шагом h/2, используя функцию (функцию f(x) будем считать точной), и выбрать из полученной таблицы3 точки: z1, z2 и z3, принадлежащие отрезку [a; b].

3) Произвести «расчет средствами MathCad », гдес использованием функций linterp и interp выполнить линейную интерполяцию - fl(x) ( узлы интерполяции z1 и z3) иквадратичную сплайн-интерполяцию - fkv(x) (узлы интерполяции z1, z2 и z3), а затем построить в одном шаблоне на отрезке [a; b] графики точной и двух интерполирующих функций.

4) Провести квадратичную интерполяцию с использованием формулы Лагранжа L(x), (запись формулы должна быть получена с использованием математических шаблонов), используя в качестве узлов интерполяции точки z1, z2 и z3, получить значения L(x) в точкахz1, z2 и z3, а затем построить графики точной и интерполирующей функций.

5) Оценить погрешность линейной интерполяции, квадратичной сплайн-интерполяции и интерполяции по формуле Лагранжа относительно исходной функции в точках с шагом h=h/2, а результаты расчета свести в
табл. 6.3-1.

xi	f(xi)	fl(xi)	fkv(xi)	L(xi)	|f(xi)- fl(xi)|	|f(xi)- fkv(xi)|	|f(xi)- L(xi)|

3. Варианты задания

Таблица 6.3-2 № варианта Номера узлов 4, 6, 7, 9, 10, 11 1, 3, 5, 6, 7, 8 19, 20, 22, 23, 24, 25 7, 8, 10, 11, 12, 13 0, 1, 3, 5, 6, 7 21, 23, 24, 25, 26, 27 24, 26, 27, 28, 29, 30 13, 14, 16, 17, 18, 20 6, 8, 9, 10, 12, 13 23, 24, 26, 28, 29, 30 6, 8, 9, 10, 11, 13 16, 18, 19, 20, 22, 23 8, 9, 11, 12, 14, 15 24, 25, 26, 28, 29, 31 10, 12, 13, 14, 16, 17 0, 1, 2, 4, 6, 7 16, 18, 19, 21, 22, 24 2, 4, 5, 6, 8, 9 23, 24, 26, 27, 29, 30 0, 2, 3, 5, 6, 7 10, 11, 12, 14, 16, 17 22, 24, 25, 27, 28, 29 12, 14, 15, 17, 18, 19 21, 23, 24, 26, 27, 29 18, 19, 21, 22, 24, 26 15, 17, 18, 19, 21, 22 3, 5, 6, 8, 9, 11 2, 4, 5, 7, 8, 9 17, 18, 20, 21, 23, 24 21, 22, 24, 26, 27, 28

Таблица 6.3-3 № узла Значение аргумента Значение функции 0.0 0.2 1.411 0.4 1.805 0.6 2.113 0.8 2.257 1.0 2.161 1.2 1.754 1.4 0.979 1.6 -0.197 1.8 -1.781 2.0 -3.745 2.2 -6.026 2.4 -8.524 2.6 -11.105 2.8 -13.606 3.0 -15.840 3.2 -17.610 3.4 -18.717 3.6 -18.975 3.8 -18.224 4.0 -16.341 4.2 -13.257 4.4 -8.962 4.6 -3.517 4.8 2.943 5.0 10.212 5.2 18.010 5.4 25.997 5.6 33.784 5.8 40.946 6.0 47.048

 

4. Пример выполнения задания

 

Задание для решения задачи интерполяция функций

 

№ узла-i
xi		0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
y=f(xi)		1.411	1.805	2.113	2.256	2.161

 

 

2) Таблица значений функции с шагом h=0.1 на [0; 1] и точки z1, Z2 и z3

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи численного интегрирования.

2. Методы численного интегрирования: прямоугольников, трапеций и Симпсона.

3. Оценка погрешности численного интегрирования. Правило Рунге.

4. «Расчет средствами MathCad » значений определенных интегралов от функции, заданной в аналитическом виде.

5. «Расчет средствами MathCad » производных первых и высших порядков от функций, заданных в аналитическом виде.

6. Получение символьного выражения для интегралов и производных путем «расчета средствами MathCad ».

7. Реализации путем «расчета средствами MathCad »численных методов интегрирования:

• метод средних прямоугольников
• метод трапеций,
• метод Симпсона

для случая таблично заданной подынтегральной функции.

 

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.4-1:

· f(x) – функцию;

· a, b – пределы интегрирования;

· t - метод интегрирования для выполнения п.4.

· h₀ – шаг интегрирования

2. Провести «расчет средствами MathCad », в котором описать заданную функцию, ее первую и вторую производную, а также получить выражения производных в символьном виде.

3. Провести «расчет средствами MathCad », в котором вычислитьзначение определенного интеграла.

4. Провести «ручной расчет» определенного интеграла заданным методом(записи формул должны быть получены с использованием математических шаблонов) с шагом и ( и ), и оценить погрешность по правилу Рунге.

5. Вычислить абсолютную погрешность результатов, полученныхвп.4, приняв за точное значение интеграла значение, полученное в п.3.

 

3. Варианты задания

Таблица 6.4-1

№	f(x)	a	b	t
	8 e-x Sin(-2x)				0.25
	e-x Sin(2x)				0.5
	x3/2 – 2 x Sin(x)				0.25
	e-x Cos(-2x)				0.5
	Cos(2x) + 2 Sin(x)				0.5
	8 Sin(2x) – x	0.2	1.2		0.25
	5 Cos(-2x) e-x	-0.5	0.5		0.25
	x Sin(x + 1) – Cos(x – 5)				0.25
	8 (x – 1)	1.2	3.2		0.5
	Sin(2x) – 2 Sin(x)				0.5
	Sin(ex) – e-x +1				0.25
	5 x Sin(x + 1) + 2 Cos(x)				0.25
	5 e-x + 4 x + x3/3	-1			0.5
	-2 Sin(4x) ln(-x) + 5	-2.5	-1.5		0.25
	Sin(x – 1) – x Cos(x + 3)	-4	-2		0.5
	4 Sin (x) – x1/2				0.25
	5 Sin3(x) + Cos3(x)				0.25
	Cos(2x + 1) ln (2 / x) + 3				0.5
	3 Cos(x2) / ln(x + 5)	-1			0.5
	Sin(x2) + 1 / (2 – x)	-1.5	0.5		0.5
	X Sin(x) + Cos(x) + 5				0.5
	– Cos(x) – Cos(2x) – x + 5				0.5
	1 + Sin(4x) / ln(x)	1.5	2.5		0.25
	(1 + x2)1/2 + e-x	-1			0.75
	Sin(x + 1) e2 / x				0.25
	2 (1 + x) e-x – 2 Cos(x)				0.75
	– 8 Sin(– x3) e-x	0.4	1.4		0.25
	– 10 Sin(x3) cos(– x)	-1.4	-0.4		0.25
	x2 Cos(x + 3) – 4				0.25
	– Cos(x – 5) e2x / 3				0.5

где t =1 - метод средних прямоугольников;

t=2 - метод трапеций:

t=3 - метод Симпсона.

 

4. Пример выполнения задания

1) Задание для численного интегрирования:

· f(x)=ln(x) – подынтегральная функция;

· a=1, b=3 – пределы интегрирования;

· методы интегрирования для выполнения п.4 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона ( в качестве примера здесь рассматриваются все три метода );

· методы интегрирования для выполнения п.5 – средних прямоугольников, трапеций, Симпсона ( в качестве примера здесь рассматриваются все три метода );

· начальный шаг интегрирования h₀=1_.

 

Вопросы, подлежащие изучению

2. Постановка задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения. Задача

3. Коши.

Задание

1) Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.5-2:

· обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) ;

· начальные условия x₀, y₀;

· шаг интегрирования h_0.

· отрезок [a; b] для решения дифференциального уравнения.

 

2) Провести «ручной расчет» по поиску точного (аналитического) решения заданного ОДУ – y(x).

3) Найти численноерешениеОДУ - y0(x) на отрезке с шагом h₀, используя функцию Odesolve или функцию rkfixed (« расчет средствами MathCad» ).

4) Найти численное решение ОДУ методом Эйлера – y1(x) на отрезке с шагом h₀ («ручным расчетом»).

5) Найти численное решение ОДУ методом Рунге-Кутты4-го порядка– y4(x) отрезка с шагом h₀(«ручной расчет»).

6) Оценить погрешности приближенных решений ОДУ относительно точного (аналитического). Полученные решения ОДУ на отрезке с шагомh₀ и вычисленные погрешности свести в табл. 6.5-1.

Таблица 6.5-1

xi
…	…	…	…	…	…	…	…

7) Построить графики точного и приближенных решений ОДУ: y(x), y0(x), y1(x), y4(x).

3. Варианты задания

Таблица 6.5-2

№ вар	Уравнение	x0	y0	h0	a	b
	y' = x y2		-2	0.4
	y' = y2 (x2+ x + 1)		-2	0.2
	y' = x3 y2		-2	0.2
	y' = y / Cos2(x)			0.1
	y' = y Cos(x)			0.5
	y' = y2 Cos(x)		-1	0.4
	y' = x2 y + y			0.2
	y' = (x – 1)2 y2		-1	0.5
	y' = x3 y			0.2
	y' = y2 Sin(x)		0.5	0.2
	y' = y Sin(x)			0.4
	y' = x y			0.2
	y' = y2 / x			0.2
	y' = x2 y			0.2
	y' = y2 (2 – x)		-1	0.4
	y' = 3 x2 y2		-4	0.2
	y' = y2 (ex + 4x)		-1	0.4
	y' = y (x – 1)			0.4
	y' = x (1 + y2)			0.2		1.6
	y' = x / (2y)			0.4
	y' = y / (3 x2)			0.2
	y' = 4 x e-3y			0.2
	y' = 2 x y			0.2
	y' = 2 x (y1/2)			0.4
	y' = y2 ex		-2	0.4
	y' = x (1 – y2)1/2			0.4		1.6
	y' = (1 + x) y			0.2
	y' = x2 (1 – y2)1/2			0.4		1.6
	y' = (x2 + x) y2		-1	0.4
	y' = y2 / Cos2(x)		-1	0.3		1.5

 

4. Пример выполнения задания

1. Задание для решения ОДУ:

· дифференциальное уравнение ;

· начальные условия: x₀=0, y₀=1;

· шаг интегрирования h₀=0.1; _.

· заданный отрезок для решения ОДУ - [0; 1].

 

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи одномерной оптимизации

2. Локальный и глобальный экстремум.

3. Графическое и аналитическое исследование функции средствами пакета MatCad.

4. Численные методы одномерной оптимизации: метод дихотомии и метод золотого сечения.

5. « Расчет средствами MatCad » координат точки экстремума функции с использованием функций: root, Minimize и Minеrr.

 

Задание

1) Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.6-2:

· функция от одной переменной f(x);

· метод оптимизации для ручного расчета трех итераций.

2) Провести исследование функции f(x) с использованием средств пакета MatCad:

· построить график функции f(x);

· получить таблицы значений аргумента, функции, первой и второй производных в достаточно широком диапазоне области допустимых значений функции.

· выбрать отрезок, содержащий точку минимума и проверить выполнение аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке;

· построить график функции f(x) на выбранном отрезке неопределенности.

 

3) Провести «ручной расчет» трех итераций согласно заданному методу оптимизации, а результаты расчета свести в таблицу, имеющую структуру аналогичную табл. 6.6-1

Таблица 6.6-1

№ итерации	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)	b – a

4) Получить координаты точки минимума функции y(x) «расчетом средствами MathCad» с использованием функций root, Minimize и Minеrr.

 

3. Варианты задания

Таблица 6.6-2

№ вар.	f(x)	p
	– 2 (1 + x) e–x – 2 Сos(x)
	(x – 1)
	10 Sin(x3) Сos(-x)
	x2 Cos(x + 3) – 4
	Cos(x – 5) e2x / 3
	– 4 Sin(x) + x1 / 2
	– 5 Sin3(x) – Cos3(x)
	– Cos(2x + 1) ln(2 / x) + 3
	x Sin(x + 1) – Cos(x – 5)
	(1 + x2)1 / 2 + e–x
	– 8 Sin(- x3) e–x
	5 e–x + 4 x + x3 / 3
	Sin(x – 1) – x Cos(x + 3)
	3 Cos(x2) / ln(x + 5)
	Sin(x2) + 1 / (2 – x)
	Sin(ex) – e–x + 1
	Sin(x + 1) e2 / x
	– 5 x Sin(x + 1) + 2 Cos(x)
	1 + Sin(4x) / ln(x)
	2 Sin(4x) ln(– x) – 3
	x3 / 2 – 2 x Sin(x)
	x Sin(x) + Cos(x) + 5
	e–x Sin(2x)
	Sin(2x) – 2 Sin(x)
	Sin(2x) – x
	Cos(– 2x) e–x
	e–x Sin(– 2x)
	e–x Cos(– 2x)
	Cos(x + 2) + Cos(2x) + x
	Cos(2x) + 2 Sin(x)

Примечание: p – номер метода для вычисления трех итераций. Значения параметра p соответствуют: 1 – методу дихотомии, 2 – методу золотого сечения.

 

4. Пример выполнения контрольного задания

1. Задание для решения задачи одномерной оптимизации:

· функция ;

· методы решения задачи оптимизации для «ручного расчета» - золотого сечения и дихотомии ( в задании указан один метод, но здесь в качестве примера рассматриваются оба метода).

 

2. Результаты исследования функции:

· график функции :

 

· начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума) выберем по построенному графику отрезок - [2.5; 3.5];

· таблицы значений аргумента, функции, первой и второй производных

· отрезок неопределенности [2.5; 3.5], где функция монотонно возрастает, а функция , следовательно, функция y=f(x) - унимодальная на выбранном отрезке [2.5; 3.5].

· график функции f(x) на выбранном отрезке неопределенности [2.5; 3.5].

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи многомерной оптимизации.

2. Основные понятия: выпуклое множество, целевая функция, линия уровня, градиент, локальный и глобальный минимум.

3. Градиентные методы: метод с дроблением шага, метод наискорейшего спуска аналитический, метод наискорейшего спуска численный.

4. Средства MathCad для вычисления значений частных производных для функции нескольких переменных, а также для вычисления определителя и угловых миноров.

5. « Расчет средствами MatCad » координат точки экстремума многомерной функции с использованием функций Minimize и Minеrr.

6. Средства пакета MathCad для построения трехмерных графиков, графиков линий уровней и траектории спуска.

 

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание по номеру варианта из табл. 6.7-1 - функцию f(x, y).

2. Проверить условия существования точки минимумадля заданной функции f(x.y).

3. Провести «ручной расчет» по вычислениюкоординат точки минимума функции f(x, y) аналитическим методом.

4. Выбрать начальную точку ( x₀, y₀) для применения метода наискорейшего спуска.

5. Выполнить « ручной расчет» 3-х итераций аналитическим методом наискорейшего спуска. Результаты расчета свести в таблицу

123456Следующая ⇒

Поделиться: