Классическая статистика. Функция распределения Максвелла. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул.

В классической статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT.Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы

где i — сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

Внутренняя энергия для произвольной массы т газа.

где М — молярная масса, n — количество вещества.

С редняя длина свободного пробега молекул и эффективный диаметр молекулы.

Классическое распределение по скоростям (Максвелла):

Справедливо для всех частиц:

dN – число частиц, попадающих в определенный интервал скоростей.

N – число всех частиц.

f(V) – функция распределения по скоростям

dV – элементарный объем скоростей.

Рассмотрим функцию распределения по скоростям в сферической системе координат:

- функция распределения Максвелла.

Величина А (амплитуда вероятности) находится из условия нормировки:

- условие нормировки

;

Аналогично находим j(v_y) и j(v_z):

тогда

Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Первое закон термодинамики.

Внутренняя энергия системы. Теплоемкость вещества. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам в идеальном газе. Адиабатический процесс.

Внутренняя энергия газа

Теплоемкость вещества.

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

Изохорный процесс (V=const).

Изобарный процесс (p=const).
Для работы изобарного расширения

Изотермический процесс (T=const).

Адиабатический процесс.

Уравнения Пуассона:

12.

II закон термодинамики. Тепловые двигатели.

Обратимые и необратимые процессы. II закон термодинамики в формулировках Томсона и Клаузиуса. Энтропия. Статистический смысл энтропии. Теорема Нернста. Круговые процессы (циклы). Цикл Карно. КПД тепловой машины. Термодинамические T-S диаграммы. Теорема Карно.

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.

Любой равновесный процесс является обратимым. Обратимые процессы — это идеализация реальных процессов.

Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа

Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, — невозможен.

Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему, носящую теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (T₁) и холодильников (Т₂), наибольшим к. п. д. обладают обратимые машины;

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

А=А₁₂ + А₂₃ + A₃₄ + A₄₁= Q₁+A₂₃ -Q₂ -A₂₃=Q₁-Q₂

h=A/Q₁=(Q₁-Q₂)/Q₁.

Применив уравнение для адиабат получим

Откуда

V₂/V₁ = V₃/V₄.

13.

Явление переноса.

Законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения (вязкости) и их обоснование в молекулярно-кинетической теории. Движение жидкости (газа) по трубам. Формула Пуазейля.

Диффузия, теплопроводность и внутреннее трение.

Выведем основное уравнение явления переноса:

j - переносимый параметр

Dx = 2< l>

< l> – средняя длина свободного пробега молекул.

- основное уравнение явления переноса.

1) Диффузия

j = m;

- уравнение диффузии (уравнение Фика).

- градиент плотности.

2) Теплопроводность

; (i – степень свободы, i= 3, 5, 6)

- уравнение теплопроводности (уравнение Фурье).

3) Внутреннее трение

j = p = mV

- уравнение трения (уравнение Ньютона).

DP = F·Dt

Движение жидкости (газа) по трубам. Формула Пуазейля.

Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Рейнольдс установил, что характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса:

где — кинематическая вязкость;

r — плотность жидкости; (v)—средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы. При малых значениях числа Рейнольдса (Re£ 1000) наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000£: Re£ 2000, а при Re = 2300 (для гладких труб) течение — турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.

Методы определения вязкости

1. Метод Стокса. Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жидкости (газа).

2. Метод Пуазейля. Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис. 54).

Сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность этого слоя,

где dS — боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание:

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получим

Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы. За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой

Откуда вязкость

14.
Реальные газы и жидкости.

Изотермы реального газа. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Поверхностное натяжение. Давление Лапласа. Капиллярные явления. Осмос.

Для реальных газов необходимо учитывать размеры молекул и их взаимодействие друг с другом, поэтому модель идеального газа и уравнение Клапейрона—Менделеева.

(для моля газа), описывающее идеальный газ, для реальных газов непригодны.

Формула Лапласа,

Капиллярные явления

Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной.

где r — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.

Если m — радиус капилляра, q — краевой угол, то из рис. 101 следует, что ,
откуда

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая — опускается,

В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании ( = 0) вода (r=1000 кг/м³, s=0, 073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h»3 м.

Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.

15.
Динамика жидкостей и газов.

Уравнения неразрывности и уравнение Бернулли. Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли.

S₁v₁ = S₂v₂=const

Уравнение Бернулли.

E₂-E₁=A A = F₁l₁+F₂l₂

F₁=p₁S₁ и f₂=-р₂S₂

р -статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина rv²/2 — динамическим давление, величина rgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂) выражение (30.6) принимает вид

где р+rv²/2 называется полным давлением.

Теплоемкость твердых тел

В качестве модели твердого тела рассмотрим правильно построенную кристаллическую решетку, в узлах которой частицы (атомы, ионы, молекулы), принимаемые за материальные точки, колеблются около своих положений равновесия — узлов решетки — в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Таким образом, каждой составляющей кристаллическую решетку частице приписывается три колебательных степени свободы, каждая из которых, согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы (см. § 50), обладает энергией kT.

Внутренняя энергия моля твердого тела

U_m = 3N_АkT = 3RT,

где N_А — постоянная Авогадро; N_Ak=R (R — молярная газовая постоянная).

Молярная теплоемкость твердого тела

т. е. молярная (атомная) теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова (равна 3R) и не зависит от температуры. Этот закон был эмпирически получен французскими учеными П. Дюлонгом (1785—1838) и Л. Пти (1791 —1820) и носит название закона Дюлонга и Пти.

Если твердое тело является химическим соединением (например, NaCl), то число частиц в моле не равно постоянной Авогадро, а равно nN_A, где n — число атомов в молекуле (для NaCl число частиц в моле равно 2N_а, так, в одном моле NaCl содержится N_A атомов Na и N_A атомов Cl). Таким образом, молярная теплоемкость твердых химических соединений

C_V = 3pR»25n Дж/(моль•К),