Поток вектора через поверхность равен интегралу по объему от дивергенции этого вектора.

Используя эту теорему и формулу (1), получаем:

 

 

Или в дифференциальной форме

 

 

Для процессов в несжимаемой жидкости

 

;

 

Или

 

Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости

 

 

Гидростатика.

Раздел, изучающий состояние равновесия в жидкости. Рассмотрим столб жидкости и определим распределения давления в столбе по высоте

dz

 

Равенство сил в выделенном элементарном слое имеет вид

1) –p_z+dzS + p_zS - rdVg = 0

Используем разложение в ряд Тейлора

p_z+dz = p_z +

Подставляя разложение в исходное выражение

после алгебраических преобразований получим

Получим дифференциальное уравнение распределения давления в столбе жидкости

=-rg

Начальные условия

z = 0, p = p₀

Разделяя переменные

dp = - rgdz

Интегрируя, получим

Dp = - rgDz

p = - rgz + C, C = p₀

 

p = p₀ - rgz

 

– формула гидростатического давления.

Чем меньше высота столба жидкости, тем меньше давление и наоборот

 

Для столба газа справедливо уравнение состояния идеального газа

2)

Или иначе

Тогда гидростатическое уравнение будет иметь вид

иначе

dp = -apdz

разделяя переменные и интегрируя

Получим после интегрирования

ln p = -az + ln C

Начальные данные

z = 0, p = p₀

Распределение давления для газового столба имеет вид

Или

 

Уравнение Бернули:

3) Рассмотрим жидкость, на которую действуют силы давления и тяжести.

 

 

Запишем второй закон Ньютона для массы жидкости

Домножая записанное выражение на скорость, будем иметь

Внося скорость под знак дифференциала, получим

 

Левая часть равенства представляет собой кинетическую энергию массы жидкости, а правая работу совершаемую над жидкостью, действующими на нее силами.

Распишем действующие силы-давления и тяжести как в предыдущем случае

(p_zdS – p_z+dzdS - rgdV) =

разложенеи в ряд Тейлора
p_z+dz = p_z +

Записывая выражение для силы тяжести

F_g = mg = rgdV

С учетом

( dm = rdV )

Тогда выражение для кинетической энергии потока жидкости будет иметь вид

Или вынося знак дифференциала

Что означает постоянство энергии для массы жидкости в единице объема

- уравнение Бернулли

Применим это уравнение к крылу самолета. Учтем, что уровень крыла над землей практически не меняется по ширине крыла. Профиль крыла предусматривает, что путь, пройденный по верху крыла больше, чем путь для воздуха, пройденный под нижней кромкой крыла. Уравнение неразрывности выполняется. Если одно и то же количество газа прошло у крыла и снизу и сверху одно и то же, а путь разнится, то скорости потока вверху и внизу отличаются, а, следовательно, отличаются давления. Применим уравнение Бернулли. Очевидно, что будет существовать разность давлений вверху и внизу – это подъемная сила.

Уравнение движения в напряжениях.

Получим наиболее общее уравнение, связывающее поверхностные и массовые силы ­ так называемое уравнение движения в напряжениях. Для вывода уравнения проанализируем движение жидкой частицы, масса которой и поверхность dS. Аналогично тому, как это было сделано для тетраэдра, можем записать уравнение движения в виде

(2.11)

Для всего движущегося объема (V), поверхность которого S, имеем

(2.12)

Преобразуем поверхностный интеграл в правой части в объемный с учетом того, что, как было показано, тензор напряжений имеет вид

где , , - направляющие косинусы.

Воспользуемся известными из векторного анализа и справедливыми для любых векторов формулами:

; (2.13)

Применяя эти формулы к тензору , получаем:

(2.14)

Подставляя это выражение в исходное уравнение, получаем:

Но так как , а объем V выбран произвольно, то

(2.15)

Это и есть уравнение движения в напряжениях.

В проекциях на декартовы оси координат можем записать:

(2.16)

Эта система включает в качестве неизвестных девять величин: три проекции скорости и шесть проекций напряжений. Проекции единичных массовых сил, как правило, известны из постановки задачи.

 

 

Лекция №7

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒

Поделиться: