Гравитационный потенциал и его производные.

 

Гравитационное поле Земли является потенциальным. Потенциал силы тяжести W есть сумма потенциала притяжения W _п и центробежного ускорения U

 

W_п = G ò dm/ r; U = ( r² w² )/; W = G ò dm / r + ( r 2w 2)/2

Частные производные от функции W по осям x, y, z равны составляющим силы тяжести.

 

¶W/dx =g_X, ¶W/dy = g_y, ¶W/dz = g_z .

 

При перемещении массы в произвольном направлении на расстояние ds, полное приращение потенциала силы тяжести составит

 

dW = ( ¶W/¶ x ) dx + ( ¶ W/¶y) dy +( ¶W/¶ z) dz .

Здесь

 

dx = ds cos (s, x ); dy = ds cos (s, y ); dz = ds cos (s, z ) ( 3 - 12 )

 

Учитывая выражения (1 - 4), получают

 

dW = g cos ( g, s ) ds = g _s, ( 3 - 13 )

 

где s - произвольное направление.

Следовательно, первая производная потенциала силы тяжести по любому направлению s равна составляющей силы тяжести по этому направлению.

Если принять, что cos (g, s)= 0, т.е. если направление s перпендикулярно к направлению силы тяжести, то dW = 0, и потенциал силы тяжести постоянен ( W = conct ). Это - уравнение поверхности равного потенциала или эквипотенциальной поверхности. Придавая постоянным различные значения в выражении W = const, получают семейство эквипотенциальных поверхностей, одна из которых совпадает с уровнем невозмущенной воды в океанах. Эту поверхность, мысленно продолженную под континенты, называют поверхностью геоида, а фигуру ограниченную ею - геоидом. Сила тяжести во всех точках направлена по нормали к поверхности геоида, от которого и ведется отсчет высот.

Если точка перемещается по направлению силы тяжести, то cos ( g, s ) = 1 и ds = dW / g, где ds - расстояние по нормали между двумя поверхностями уровня; dW - приращение потенциала при переходе от одной уровенной поверхности к другой, бесконечно близкой.

Из выражения ds = dW / g следует, что расстояние по нормали между соседними уровенными поверхностями обратно пропорционально приращению потенциала. Пространство, в котором действует сила, называется полем сил, а направление действия силы называют силовыми линиями. Силовые линии поля располагаются тем чаще, чем больше напряженность этого поля.

В практике геологической интерпретации гравиметрических данных широко используют вторые, иногда и третьи производные гравитационного потенциала. Выше мы отмечали, что первые производные потенциала силы тяжести по координатным осям x, y, z являются проекциями силы тяжести на эти направления. Отсюда следует, что производная потенциала по оси z ( по линии отвеса) является полной составляющей силы тяжести

 

g_z = dW / dz.

 

Если эту величину продифференцировать по направлениям x ( на географический север ),

y (на географический восток), z ( вертикально вниз), то можно получить вторые производные потенциала, являющиеся градиентами силы тяжести

 

¶g/¶ x = ¶ 2W/¶ z¶ x = W_{x z}, ¶g/¶y =¶ 2W/¶ z¶ y = W_{y z}, ¶g/¶z= ¶ 2W/¶ z¶ z = W_{z z}

 

Производные Wxz и W yz показывают изменения силы тяжести при перемещении точки в горизонтальных направлениях x и y. Их называют горизонтальными градиентами силы тяжести и представляют в виде векторов, направленных по координатным осям. Производная Wzz характеризует изменение g в вертикальном направлении и называетcя вертикальным градиентом силы тяжести.

На практике используют вторую производную W _xy и разность W _D = W_yy - W_xx, которые определяют форму и кривизну уровенной поверхности в точке наблюдения. При этом производная W _xy показывает направление двух главных нормальных сечений ( в плоскости меридиана и перпендикулярной ему плоскости ) относительно осей x y, а разность вторых производных W_D характеризует разность кривизн главных нормальных сечений, т.е. отклонение поверхности от сферической. Единицей измерения вторых производных в системах CGS, СИ является с^-2 . Величину 10^-9 с ^-2 называют э т в е ш е м. Ее обозначают буквой Е.

 

Нормальное гравитационное поле Земли.

Под нормальным полем силы тяжести понимают поле, рассчитанное на уровенной поверх-ности теоретической Земли, представляющей собой сфероид - фигуру, очень близкую к эллипсоиду вращения. Выражение для нормального значения силы тяжести получают беря производную от W по направлению нормали к уровенной поверхности, т.е.

 

g_о = - dW / dn .

Формулы нормального значения силы тяжести предлагались многими авторами, но практическое значение нашли лишь две из них: формула Гельмерта ( 1901 - 1909 гг.) и формула Кассиниса (1930 г.).

Формулу Гельмерта, полученную для эллипсоида вращения, используют в СНГ и восточно-европейских странах с поправкой (- 14·10^{-5 м с-2}).

 

g_о = 9, 78030 (1+ 0, 0052 sin ²j - 0, 000007 sin ² (2j ) ) -14·10 ^-5 , ( 3 - 14 )

 

где j - широта пункта наблюдения.

Этой формуле соответствует эллипсоид, имеющий сжатие, почти равное сжатию эллипсоида Красовского (a =1/298, 3), который принят за эллипсоид относимости для всей территории СНГ. Нормальные значения силы тяжести приводятся в специальных таблицах.

 

Редукции силы тяжести.

 

Нормальные значения силы тяжести рассчитывают для идеальной формы Земли, пред-ставляющей собой эллипсоид вращения, а истинное (наблюденное) значение силы тяжести g_n наблюдают на физической поверхности Земли, которая отличается от поверхности вращения эллипсоида. Чтобы получить аномалию силы тяжести, необходимо определить нормальное значение силы тяжести в точках наблюдения на истинной поверхности Земли. Для этого к измеренному значению силы тяжести добавляют поправки, называемые редукциями силы тяжести: 1) за высоту точки наблюдения, 2) за притяжение промежуточного слоя и 3) за влияние окружающего рельефа g_p.

Закон изменения нормального поля силы тяжести в зависимости от высоты точки наблюдения известен. Поправка за высоту точки наблюдения учитывает убывание силы тяжести с высотой h в предположении, что между точкой наблюдения и уровнем моря массы отсутствуют. Такую поправку называют поправкой в свободном воздухе (или поправкой Фая). Численно она равна 0, 3986·10^-5 h, т.е. сила тяжести уменьшается на 0, 3086 10^{-5 м с-2} на 1 м увеличения высоты.

Для учета влияния масс, находящихся между точкой наблюдения и уровнем моря, вводят поправку за промежуточный слой, гравитационный эффект от которого рассчитывают как от плоского слоя пород некоторой постоянной плотности. Гравитационное притяжение такого слоя составляет 0, 0419 10^-5 s h, где s - средняя плотность пород слоя, г см^-3, h - мощность слоя, м. Эта поправка вводится со знаком " минус", поскольку наличие промежуточного слоя при наблюдениях на земной поверхности увеличивает силу тяжести.

Суммарную поправку за высоту точки наблюдения и за притяжение промежуточного слоя называют поправкой Буге; она равна (0, 3086 - 0, 0419s) × 10^-× ⁵ × h. Аномалия силы тяжести Буге

D g_Б = g_n - g_о + (0, 3086 - 0, 0419 s )× 10^-5 × h + D g _р . ( 3 - 15 )

где g_n и g_о наблюденное и нормальное значение силы тяжести, соответственно, а D g _р - поправка за влияние рельефа.

Для выявления скрытых аномальных масс редукция Буге имеет преимущества перед редукцией в свободном воздухе, т.к, при этой редукции устранено влияние масс, расположенных между точкой наблюдения и уровнем моря и зависимость аномалий Буге от высоты значительно слабее, чем аномалий в свободном воздухе.

По результатам гравиметрических съемок строят карты аномалий Буге с плотностью промежуточного слоя 2, 3 и 2, 67 гсм^-3 для съемок масштаба 1: 50 000 и мельче. При крупно-масштабных работах, выполняемых на небольших площадях, необходимо выбирать плотность промежуточного слоя соответствующую действительной.

При работе в горных областях вводят поправку за рельеф местности, которая всегда положительна, так как и понижения рельефа ( недостаток масс ниже точки наблюдения), и повышения рельефа ( избыток масс выше точки наблюдения ) приводят к уменьшению наблюденного значения силы тяжести (рис. 3.5), но не настолько, чтобы появилась возможность левитации. Введение поправки за рельеф местности - очень трудоемкий процесс. Оно производится по аналитическим формулам, номограммам и с привлечением разнообразных программ машинного счета.

 

?????

 

Рис. 3.5. Введение поправки за рельеф местности – как правило, ведущее к уменьшению наблюденного значения силы тяжести.

 

При измерениях силы тяжести под земной или водной поверхностью используют редукцию Прея, которая показывает изменение силы тяжести при погружении в глубь Земли и учитывает притяжение масс, находящихся выше точки погружения ( измерения).Поправку Прея получают в результате вычитания из поправки за свободный воздух двойной поправки за влияние промежуточного слоя

 

(0, 3086 - 2 × 0, 0419 s) × 10-5h . ( 3 - 16 )

Эффект промежуточного слоя удваивается потому, что находясь под точкой наблюдения этот слой увеличивает силу тяжести, а находясь сверху‑ когда точка перенесена на уровень моря, уменьшает силу тяжести на ту же величину. Аномалия Прея

 

D g = g _n - g _о - ( 0, 3086 - 0, 0419 s ) × 10 -5h . ( 3 - 17 )

 

При морской подводной съемке вводится поправка Прея, учитывающая притяжение слоя воды H _в между точкой наблюдения и поверхностью моря, а также различие плотности морской воды s _в и пород суши s. В этом случае используют формулу

 

D g = g _n - g _о -[( 0, 3086 -0, 0838 s _в) × Н + 0, 0419 ( s -1, 03) × Н ] × 10-5 ( 3 - 18 )

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: