|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Свойства коэффициента корреляции ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
– Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке Доказательство. Т.к. – Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Таким образом, из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из некоррелированности двух случайных величин еще не следует их независимость. – Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость. Доказательство. Выше было получено, что
Если Равенство математического ожидания неотрицательной случайной величины нулю означает, что сама случайная величина тождественно равна нулю:
или Коэффициент корреляции можно рассматривать как характеристику степени линейности взаимосвязи случайных величин Найдем такие коэффициенты
При этом Отсюда следует, что чем ближе Наилучшее линейное приближение функции регрессии
Отсюда, в частности, следует, что если функция регрессии Наилучшее линейное приближение функции регрессии имеет вид
С помощью ковариации можно дополнить и уточнить некоторые свойства математического ожидания и дисперсии: – математическое ожидание произведения двух случайных величин равно сумме произведения их математических ожиданий и ковариации этих случайных величин:
Эта формула следует непосредственно из первого свойства ковариации. Если – дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсии плюс удвоенная ковариация этих случайных величин:
Пусть По определению дисперсии
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины
Решение типовых задач Пример 1. Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На рекламу может быть израсходовано определенное количество средств. В таблице 4.2 приведены возможное количество проданных в течение месяца заводов Таблица 4.2
Требуется составить таблицы распределения вероятностей для каждой из величин Решение. Так как с каждым значением
Таким образом, вероятность события В результате получаем таблицу распределения вероятностей величины
Аналогично получаем таблицу распределения для величины
Сумма вероятностей для каждой из величин должна быть равна единице. Проведем проверку:
Находим условные вероятности величины
Пример 2. Найти регрессию величины Y на X для двух значений
Решение. Условное математическое ожидание, или регрессия, величины
где Определяем
Вычисляем условные вероятности:
Находим условные математические ожидания:
Пример 3. Задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y).
Найти коэффициент корреляции между величинами X и Y. Решение. Находим вероятности значений
Определяем вероятности значений
Находим Определяем Вычисляем
Находим
Откуда Ковариация величин
Итак,
4.4. Индивидуальнsе домашнbе заданиz по теме Найти линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины
Тема 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ Рассмотрим важнейшие для приложений дискретные распределения. Напомним, что случайная величина, имеющая дискретный спектр, называется дискретной. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 644; Нарушение авторского права страницы
, т.е. 
.
и 
, то 
откуда 
.
, 
и 
.
при 
при 
и 
при 
, т.е. 
и 
связанны линейной функциональной зависимостью.
и 
, чтобы дисперсия 
отклонения 
была минимальна. Задача поиска наилучшего приближения 
, 
.
.
к единице, тем меньше дисперсия отклонения 
. В этом смысле коэффициент корреляции можно считать “измерителем” степени линейности взаимосвязи двух случайных величин.
.
, т.е. если 
, то коэффициенты 
, и эта функция называется линейной средней квадратическойрегрессией 
на 
.
, то 
, т.е. математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий; 
.
, 
По свойству математического ожидания 
. Поэтому 
.
на их условные вероятности
.
и объем средств, израсходованных на рекламу 
. Каждой паре 
случайных величин 
поставлена в соответствие вероятность 
появления этой пары.
и 
и выразить условный закон распределения вероятностей величины 
.
встречается ровно три значения 
, т.е. имеет место полная группа событий, сумма вероятностей которых равна единице, то
.
равна сумме вероятностей 
.
; 
.
; 
; 
.
и 
на основе заданной таблицы распределения двумерной случайной величины.
, 
.
и 
: 
; 
.
; 
; 
; 
; 
; 
.
; 
.
, 
, 
; 
; 
; 
.
, 
, 
: 
; 
; 
.
: 
.
: 
.
и 
: 
; 
.
, 
: 
; 
.
; 
.
.
.