Перевод чисел из одной системы в другую

Рассмотрим ситуацию, когда необходимо выполнить перевод числа из одной системы счисленияс произвольным основанием в систему счисления с другим основанием. Для определенности исходное число обозначим Z_p. Как уже говорилось, основание системы подчеркивает нижний индекс p. Это число нам необходимо преобразовать в систему счисления с основанием q, т. е. получить Z_q. Дело в том, что напрямую алгоритм преобразования для произвольных оснований не очень удобен. Удобнее выполнить преобразование через десятичную систему счисления, а именно сначала перевести Z_p в Z₁₀. После этого следует перевести Z₁₀ в Z_q. Что касается перевода Z_p в Z₁₀, то это выполнить несложно:

Z10 = pM – 1 × bM – 1 + … + p1 × b1 + p0 × b0.

(2.5)

Сложение, умножение и возведение в степень здесь выполняется в десятичной системе счисления. В результате мы получим то же число, но только в десятичной системе счисления. Например, если 25₇ необходимо трансформировать в Z₁₀, то преобразование следует выполнить так:

Z10 = 71 × 2 + 70 × 5 = 19.

(2.6)

Как видно, перевод Z_p в Z₁₀ выполнить несложно. Для перевода Z₁₀ в Z_q следует применить более сложный процесс преобразования, который описывается в виде набора правил:

q необходимо разделить исходное число (Z₁₀) на основание новой системы счисления (q) и получить остаток от деления — это будет цифра нулевого разряда числа Z_q;

q частное от предыдущего деления следует снова разделить на q также с выделением остатка, и данную процедуру необходимо продолжать до тех пор, пока частное от деления не окажется меньше q;

q последний результат деления и образовавшиеся остатки от деления, поставленные в порядке, обратном порядку их получения, и представляют Z_q.

Рассмотрим действие этого алгоритма на примере. Задача заключается в том, чтобы выполнить преобразование числа 123₁₀ в систему счисления с основанием 5.

1. Разделим 123₁₀ на 5, что даст 24, а остаток от деления равен 3.

2. Разделим 24₁₀ на 5, что приводит к результату — 4, а остаток от деления также равен 4. Далее последний результат (4) делить не требуется, т. к. 4 меньше основания системы счисления (пяти).

3. Сформируем результат — 443₅. Здесь порядок записи цифр является обратным полученной последовательности — сначала последний результат деления, затем остаток от деления, полученный на последнем шаге и т. д.

Описанный словесно алгоритм схематично представлен на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Перевод числа 123₁₀ в систему счисления с основанием 5

Необходимо заметить, что полученное число нельзя читать " четыреста сорок три", поскольку десятки, сотни, тысячи и прочие подобные обозначения чисел относятся только к десятичной системе счисления. Прочитывать число следует простым перечислением его цифр с указанием системы счисления (" числа четыре, четыре, три в пятеричной системе счисления" ).

Рассмотрим теперь перевод чисел в системах счисления, более подходящих для вычислительной техники. Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и, кроме того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров используются (когда эта информация предоставляется для визуального восприятия человеком) системы счисления с основаниями 8 и 16. Выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано далее, весьма простым образом.

Восьмеричная система счисления подразумевает основание 8 и цифры 0, 1, ..., 7. Правило перевода числа из двоичной системы в восьмеричную достаточно простое — двоичные цифры объединяются в группы по три (справа налево) и каждая группа заменяется восьмеричной цифрой. Для удобства таблица эквивалентов чисел в рассматриваемых системах счисления представлена в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

Система счисления	Числа
Двоичная
Восьмеричная

 

Например, требуется перевести число 01111100101101 из двоичной системы счисления в восьмеричную. Запишем число в виде 001 111 100 101 101 и в соответствии с табл. 2.1 заменим каждую тройку двоичных разрядов на ее восьмеричный эквивалент — 17455₈.

Примечание

Если при переводе в самой левой группе оказывается меньше трех двоичных цифр, то предполагается, что отсутствующие слева цифры являются нулями.

Если требуется выполнить обратный переход (из восьмеричной системы в двоичную), то для этого также удобно воспользоваться табл. 2.1. В этом случае следует заменить одну восьмеричную цифру тремя двоичными в соответствии с рассматриваемой таблицей. Например, перевод 4523₈ приводит к 100101010011₂.

Для удобства представления чисел в вычислительных системах также широко используется шестнадцатеричная система счисления, которая предполагает основание 16₁₀ и цифры 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F. При этом знак A является шестнадцатеричной цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе. Далее: B — 11 в десятичной, С — 12 в десятичной и т. д. Самая старшая цифра F соответствует числу 15 в десятичной системе счисления.

Правило перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную достаточно простое — двоичные цифры объединяются в группы по четыре (справа налево) и каждая группа заменяется одной шестнадцатеричной цифрой. Для удобства информация об эквивалентах чисел в рассматриваемых системах счисления представлена в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

	Десятичная	Двоичная	Шестнадцатеричная
		A
		B
		C
		D
		E
		F

 

Например, требуется перевести число 01111100101101 из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для этого в соответствии с табл. 2.2 заменяем группы двоичных разрядов 0001 1111 0010 1101 — 1F2D₁₆.

Если требуется выполнить обратный переход, то для этого также удобно воспользоваться табл. 2.2. В этом случае следует заменить одну шестнадцатеричную цифру четырьмя двоичными в соответствии с рассматриваемой таблицей.

Например, перевод 4DAB₁₆ в двоичную систему счисления приводит к 0100 1101 1010 1011₂.

Дробные числа

Мы сознательно в начале главы ограничили наши действия только целыми числа. Теперь приведем соотношение и методику работы с дробными числами. Для начала скорректируем соотношение (2.1) следующим образом:

Z = aM – 1 × bM – 1 + … + a1 × b1 + a0 × b0 + a–1 × b–1 + a–2 × b–2 + …

(2.7)

Для отделения дробной части от целой используется точка (либо запятая). Рассмотрим перевод дробных чисел из двоичной системы счисления в десятичную. Такой перевод принципиально не отличается от перевода целых чисел (добавляются только новые веса, которые меньше единицы). Например, для перевода 1100.101₂ следует выполнить такое преобразование:

Z₁₀ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ + 1 × 2^–1 + 0 × 2^–2 + 1 × 2^–3.

После выполнения технических действий результат выглядит так: Z₁₀ = 12.625.

При переводе дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную фактически используются два алгоритма:

q перевод целой части числа из десятичной системы счисления в двоичную (эту процедуру мы рассматривали выше);

q перевод дробной части из десятичной системы счисления в двоичную.

Второй алгоритм нам еще не встречался, и сейчас мы его разберем. Пусть исходное число выглядит следующим образом:

Z₁₀ = w × y,

где y — дробная часть числа в десятичной системе счисления, а w — целая часть этого числа. Наша задача заключается в том, чтобы перевести y в двоичную систему. Опишем последовательность действий по шагам:

1. Умножим y на 2, что в результате дает целую компоненту и дробную часть; при этом целая часть представляет цифру b_–1 при весе a^–1 в соотношении (2.7).

2. Дробную часть, полученную от предыдущего действия, следует умножить на 2; целая часть результата умножения представляет цифру b_–2 при весе a^–2.

3. Дробную часть, полученную от предыдущего действия, следует умножить на 2; после этого целая часть представляет цифру b_–3 при весе a^–3.

4. Данную процедуру следует продолжать до тех пор, пока дробная часть не будет равна нулю, либо мы достигнем необходимой точности представления числа.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть задача заключается в переводе числа 11.7 из десятичной системы счисления в двоичную. Первый этап связан с переводом целой части в двоичную систему счисления (рис. 2.2). В результате знакомый алгоритм нам дает число 1011₂. Второй этап связан с переводом дробной части (0.7) также в двоичную систему счисления. И здесь используем описанный в этом разделе алгоритм для перевода дробной части числа:

1. 0.7 умножаем на 2, что дает 1.4; в итоге целая часть результата представляет вес b_–1 = 1.

2. Дробная часть от предыдущей операции умножается на 2, что приводит к результату 0.8, и после этого целая часть результата составляет b_–2 = 0.

3. Дробная часть от предыдущей операции умножается на 2, что приводит к результату 1.6; поэтому 1 представляет цифру b_–3.

4. Если точность в три двоичных знака после запятой достаточна, то процесс перевода можно завершить.

Рис. 2.2. Перевод целой части числа в двоичную систему счисления

Таким образом, приближенный перевод 11.7 из десятичной системы в двоичную дает: 1011.101₂. Если это число перевести обратно в десятичную систему, то получим 11.625. Для достижения большей точности при переводе из десятичной системы счисления в двоичную следует продолжить алгоритм преобразования дробной части. Таким образом, даже если исходное дробное число не получится абсолютно точно перевести в двоичную систему счисления, то за счет большого количества разрядов (после точки) можно получить очень близкое число к исходному.

Этот алгоритм применяется и для перевода чисел из десятичной в любую другую систему. При этом отдельно переводится целая часть, а для перевода дробной части производится последовательное умножение на основание системы счисления.

Действия над числами

Важной особенностью представления чисел в вычислительной технике является то, что, в отличие от записи числа на бумаге, компьютерные ячейки имеют ограниченный размер и, следовательно, вынуждают нас использовать при записи чисел и действиях с ними конечное количество разрядов. Рассмотрим двоичную систему счисления. Например, при восьмиразрядной сетке (восемь двоичных разрядов для представления информации) число 7₁₀ записывается следующим образом — 0000 0111₂ .

Основные действия над числами — это сложение и вычитание. Сами правила сложения и вычитания нам знакомы по работе с десятичными числами (отличие только в основании системы счисления). Так, сложение двух чисел в двоичной системе счисления выполняется поразрядно, при этом используется следующая таблица сложения:

q 0 + 0 = 0;

q 1 + 0 = 1;

q 0 + 1 = 1;

q 1 + 1 = 0 и единица переноса добавляется к следующему разряду (принимает участие при сложении в следующем разряде).

Здесь следует отметить, что при сложении цифр в очередном разряде мы должны добавить единицу переноса из предыдущего, если такое событие имело место. Проиллюстрируем сказанное на примере (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Сложение на восьмиразрядной сетке

Здесь в нескольких разрядах происходит сложение с учетом бита переноса. Технически данный процесс в вычислительных системах выполняется автоматически с помощью аппаратных средств. Возможна ситуация, когда при выполнении сложения в старшем разряде происходит перенос. Однако, это разряд последний (если 8-разрядная сетка, то старший разряд — седьмой, а младший — нулевой) и переносить, следовательно, некуда. В этом случае единица переноса фиксируется в специальном флаге переноса(индикаторе переноса). Такой флаг есть во всех микропроцессорах. И, в результате факт переноса из старшего разряда не теряется.

Теперь рассмотрим вычитание двоичных чисел. Аналогично сложению вычитание двух чисел в двоичной системе счисления выполняется поразрядно, при этом правила таковы:

q 0 – 0 = 0;

q 1 – 0 = 1;

q 1 – 1 = 0;

q 0 – 1 = 1 — связано с тем, что единица берется из следующего (старшего) разряда (из него происходит заем бита).

Таким образом, при вычитании, если это требуется (когда нужно вычесть единицу из нуля в очередном разряде) мы должны забрать единицу заема из старшего разряда. Фактически в этом случае из старшего разряда единица вычитается. Если же единицы в старшем разряде не оказывается, то мы должны забрать ее из следующего старшего разряда и т. д. Подобное действие называется " произвести заем из старшего разряда". Проиллюстрируем сказанное на примере (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Вычитание на восьмиразрядной сетке

На рис. 2.4 в нескольких разрядах происходит вычитание с учетом бита заема. Возможна ситуация, когда при выполнении вычитания необходимо выполнить заем в самый старший разряд. Однако, т. к. этот разряд последний, то занимать неоткуда. В подобном случае заем все-таки производится, и этот факт фиксируется в уже известном флаге — флаге переноса (в операциях вычитания флаг переноса превращается во флаг заема). Таким образом, факт заема в старший разряд не теряется.

Описанные здесь действия стандартные и выполняются вычислительной системой на аппаратном уровне.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: