Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса

1. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события АВ, и не образуют полной группы событий.

Полная группа событий - это система случайных событий такая, что в результате произведённого случайного эксперимента непременно произойдёт одно из них.

АВ, А*В, А*+В* (чёрточка одна на А и В)-не образуют полной группы событий.

А*+В*(чёрточка одна на А и В)=А*В*

Полную группу событий составляют: АВ, А*В, АВ*, А*В*

Сл-но АВ, А*В, А*В* - не образуют полной группы.

Пример: студент сдаёт 2 зачёта, соб.А- сдан 1 зачёт, соб.В- сдан 2 зачёт, Р(А)=1/2, Р(В)=2/3

Р(АВ+А*В+А*В*)≠ 1, т.к. Р(АВ*)≠ 0, сл-но соб. АВ, А*В, А*+В* (чёрточка одна на А и В)-не образуют полной группы.

1. Верно ли, что события образуют полную группу для любых событий А и В? Ответ обоснуйте.

Да, события образуют полную группу событий для любого А и В, т.к. они попарно несовместны и при каждом осуществлении опыта обязательно наступит хотя бы одно из них. (проиллюстрировать рисунком)

1. Событие A влечет событие B. Верно ли, что P(A) + P(AB) + P(B) =1? Дайте обоснованный ответ.

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления A const, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абс величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. x_i-число появлений событий в i-м испытании (i=1…n). Каждая из величин может принимать 2 значения: 1 с вер-ю р, 0 с вер q

x_i- попарно независ., тогда D(x_i)=pq. Т.к. p+q=1, то pq 1/4 дисперсии огранич с=1/4

Применим т. Чебышева, получим

Матем ожидание а каждой из величин x_i = р наступл. событ.

Каждая x_i при появлении события в соотв. испытании принимает значение = единице x₁+x₂+…+x_n= m появлен. события в n испытаниях ( x₁+x₂+…+x_n)/n= m/n.

Учитывая это, получим,

1. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, В3, …., Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р в2 (А), …., Рвn (А) события А. Найдем вероятность события А.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2) Рв2(А) +….+ Р(Вn) Рвn(А).

Эта формула называется «формулой полной вероятности».

Докажем ее…

По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1, В2, …, Вn. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А, …, ВnА. Пользуясь для вычисления события А теоремой сложения, получаем Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) +….+ Р(ВnА) (1)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем: Р(В1А) = Р(В1) Рв1(А); Р(В2) Рв2(А): …. Р(ВnА) = Р(Вn) Р( bn) (А)

Подставляем правые части этих равенств в соотношение (1) и получаем формулу полной вероятности: Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А)

Приведем пример использования формулы полной вероятности:

Допустим, у нас есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0, 8, а второго – 0, 9. Найдем вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Пусть А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В1), либо из второго (В2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(В1) =1/2, вероятность, что деталь вынута из второго набора, Р(В2) = 1/ 2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, Рв1 (А) =0, 8, условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь Рв2(А) =0, 9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) = 0, 5*0, 8 + 0, 5*0, 9 = 0, 85.

1. Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1) Рв1(А) + Р(В2)Рв2 (А) + ….+ Р(Вn) Рвn (А) (1)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились, в связи с тем, что событие А уже наступило, вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Ра(В1), Ра(В2), …., Ра(Вn).

Найдем вначале условную вероятность Ра(В1). По теореме умножения имеем

Р(АВ1) = Р(А) Ра(В1) = Р(В1)Рв1(А)

Отсюда

 

Заменим здесь Р(А) по формуле (1), получаем

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы Вi (i= 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называются формулы Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример:

Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике n=12 белых шаров, во втором – m=4 белых и n-m=8 черных шаров, в третьем – n=12 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность Р того, что шар вынут из второго ящика.

Решение.

Схема Бернулли

Вероятности P_n(k)

1. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.

Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает некоторое событие А (называемое обычно «успехом») и, следовательно, с вероятностью q=1-p наступает событие , противоположное А.

Пусть k – любое из чисел 0, 1, 2, …, n. Обозначим вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успехов наступит k раз. Справедлива формула Бернулли:

.

Пример: Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает при этом ровно 3 раза?

Решение: В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна ½ , так что q=1-p=1|2. Отсюда

.

1. Выведите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

Когда производится n одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только 2 исхода {A; }. Т.е. некоторый опыт повторяется n раз, причем в каждом опыте некоторое событие А может появиться с вероятностью P(A)=q или не появиться с вероятностью P( )=q-1=p.

Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит точек или последовательностей из символов А и . Такое вероятностное пространство и носит название схема Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного k найти вероятность того, что при n-кратном повторении опыта событие А наступит k раз.

Для большей наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех, ненаступление А –как неуспех. Наша цель – найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными; обозначим это событие временно через B.

Событие В представляется в виде суммы ряда событий – вариантов события В. Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть

. Число всех вариантов равно, очевидно, , а вероятность каждого варианта ввиду независимости опытов равна . Отсюда вероятность события В равна . Чтобы подчеркнуть зависимость полученного выражения от n и k, обозначим его . Итак, .

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: