Как определяется и что характеризует дисперсия дискретной случайной величины X ? Перечислите основные свойства дисперсии.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Поэтому вычисляют среднее значение квадратаотклонения, которе и называется дисперсией. Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]². Более удобная формула: D(X) = E(X ²) − E²(X).

Св-ва:

1⁰. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0.

2⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)=С²D(X).

3⁰. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y)= D(X)+D(Y).

4⁰. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

5⁰Прибавление( вычитание) константы к случайной величине не меняет ее дисперсии. D(X+C)=D(X).

59. Докажите, что если X – дискретная случайная величина, то D(X) = M(X 2) − M2(X).

Док-во: Математическое ожидание M(X) есть постоянная величина, следовательно, 2M(X) и M²(X) также постоянные величины. D(X) = E(X ²) − E²(X)= E[X-E(X)]²=E[X²-2XE(X)+E²(X)]=E(X²)-2E(X)E(X)+E²(X)=E(X²)-2E²(X)+E²(X)=E(X²)-E²(X). т.е. D(X) = E(X ²) − E²(X).

60. Пусть X – дискретная случайная величина. Может ли выполняться неравенство M(X 2)< (M(X ))2? Ответ обоснуйте.

По определению дисперсии D(X)=E[X-E(X)]², тогда

D(X)=E[X ² -2ХE(X)+ E ² (X)]= E(X ² )-2 E ² (X)+ E ² (X)= E(X ² )- E ² (X).

Итак, для любой с.в.Х D(X)= E(X ² )- E ² (X), D(X)≥ 0, поэтому для любой с.в. Х всегда выполняется неравенство E(X ² ) ≥ E ² (X). Поэтому неравенство М(Х²)< [E(X)]²выполняться не может.

61. Докажите, что если X и Y – независимые случайные величины, то D[XY]= D[X ]⋅ D[Y ]+E[X ]2 D[Y]+E[Y ]² D[X ].

D(XY) = (E(XY)²)-[E(XY)]² = E(X²Y²)-(E(x))²(E(Y))² = E(X²)E(Y²)-E²(X)E²(Y) = (D(X)+[E(X)]²)(D(Y)+[E(Y)]²) – E²(X)E²(Y) = D(X)D(Y)+E(Y)²D(X)+E(X)²D(Y). Ч.т.д.

62. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

=

63. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = .

67. Как определяется ковариация Cov(X, Y) случайных величин X, Y? Докажите, что D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y).

1.Ковариацией COV(X, Y) случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y.

Сov(X, Y)=E[(X-E(X)][Y-E(Y)]

2. Пусть Х и У – две случайные величины. Положим, Z=X+Y По теореме сложения математических ожиданий будем иметь: М(Z)=E(X)+E(Y). Вычитая это равенство из предыдущего, получим: , где обозначает, как и раньше, отклонение величины Х. Отсюда = Найдем дисперсию Х+У. Имеем D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E( ), где М( ) = Cov(X, Y).

Формула принимает вид: D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X, Y)

64. Сформулируйте основные свойства ковариации Cov(X, Y) случайных величин Х и У. Докажите, что Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется мате-матическое ожидание произведения отклонений X и Y

Cov(X, Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))].

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y).

2. Cov(X, X) = D(X).

3. D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

4. Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

5. Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

6. Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y).

7. Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).

8. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

Нет доказательства!!!!!!!!!!!!!!

65. Как определяется коэффициент корреляции ρ (X; Y) случайных величин X иY? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y, если ׀ ρ (X; Y) ׀ =1?

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой ρ (X; Y)= Cov(X; Y)/ (σ (X)*σ (Y)), где Cov(X; Y) – ковариация X и Y, а σ (X) – среднее квадратичное отклонение Х, σ (Y) – среднее квадратичное отклонение Y.

Основные св-ва:

1) ρ (X; Y)=ρ (Y; X)

2) ׀ ρ (X; Y) ׀ < =1

3) ׀ ρ (X; Y) ׀ =1 равнозначно существованию констант a, b таких, что равенство Y=a+bX выполняется с вероятностью 1.

70. Чему равен и Cov при условии независимости случайных величин ? Что можно сказать о , если , где и – некоторые числа ? Ответ обоснуйте.

Если X и Y независимые случайные величины, то Cov(X, Y) = E(X, Y) – E(X)E(Y) = E(X)E(Y) - E(X)E(Y) = 0

Если (β ≠ 0), то

Док-во: Cov(X, Y) = Cov(X, α + β X) = E (X(α +β X)) – E(X)E(α +β X) = E(Xα +β X²) - E(X)(E(α ) + E(β X)) = E(Xα ) + E(β X²) – α E(X) – β (E(X))²= β (E(X²) – (E(X))²)= β D(X)

тоесть ч.т.д.

66. Дайте определение непрерывной случайной величины . Чему в этом случае равна вероятность , где – определенное число? Следует ли из равенства для непрерывной случайной величины , что событие никогда не наступает?

Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(X) непрерывна в любой точке X. P(X=a), где а – определённое число, есть вероятность каждого и отдельного значения. P(X=a)=0, т.е. вер-ть каждого отдельного значения равна нулю. Однако это не означает, что событие Х=а невозможно. В результате испытания случ. величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным а.

67. Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности ? Ответ обоснуйте.

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что для a < b вероятность попадания X в промежуток [a, b] получается путем интегрирования данной функции

Для функции распределения F(x) имеем

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. , (неотрицательность).

2. (условие нормировки).

3. в точке непрерывности f(x).

Математическое ожидание непрерывной функции находится пу-тем интегрирования произведения данной функции и плотности распределения:

Произвольная случайная величина X называется сосредоточенной на промежутке [a, b], если вероятность попадания X в данный промежуток равна 1.

Плотность распределения абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], равна 0 вне [a, b].

Функцию распределения F(x) абсолютно непрерывной случайной величины, сосредоточенной на промежутке [a, b], можно представить в виде

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 774; Нарушение авторского права страницы