Независимые случайные величины. Коэффициент корреляции.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям. Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y Были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y Были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

Определение. Корреляционным моментом MXy Случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Практически используются формулы:

1)Для дискретных случайных величин:

2) Для непрерывных случайных величин:

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т. к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции Rxy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

 

Неравенства Чебышева и Маркова. Закон больших чисел, теорема Бернулли.

Неравенства Чебышева и Маркова

Если значения СВ Х неотрицательны и существует математическое

ожидание МХ=а, то для любого ɛ > 0 выполняется неравенство Маркова:

Если СВ имеет дисперсию DX, то справедливо неравенство Чебышева:

Закон больших чисел

Здесь закон больших чисел (теорема Чебышева) приведем только в упрощенной формулировке, пригодной для решений практических задач экономического направления.

Теорема Чебышева

Если случайные величины Хi (i=1, 2, …, n) независимы и одинаково распределены со средними МХi=а и дисперсиями DXi=DX, то справедливо:

Из данного неравенства при n→ ∞ следует закон больших чисел:

Смысл закона больших чисел заключается в том, что средние значения случайных величин стремятся к их математическому ожиданию при n→ ∞ по вероятности, а отклонение средних значений от математического ожидания становится сколь угодно малым с вероятностью, близкой к единице, если n достаточно велико. Другими словами, вероятность любого отклонения средних значений от математического ожидания сколь угодно мала с ростом n.

Теорема Бернулли

Частным случаем закона больших чисел является теорема Бернулли. Теорема Бернулли Пусть имеется n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p, (q = 1 – р) и m – число успехов, тогда для любого ɛ > 0:

Отсюда следует закона больших чисел в форме Бернулли:

Фактически теорема Бернулли утверждает, что «частость» события A стремится к его вероятности, поэтому при больших n отклонение «частости» (m/n) от вероятности р становится БМВ. Эта теорема, в некотором смысле обосновывает статистическое определение вероятности.

 

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: