Схема исследования функции для построения графика

Перед построением графика функции необходимо провести ис­следования ее по следующим пунктам:

1. Область определения функции (ООФ).

2. Область изменения функции (ОИФ).

3. Периодичность функции.

4. Четность или нечетность функции.

5. Монотонность функции.

6. Точки пересечения с осями координат:

а) с осью ОY(х=0); б) с осью OX(y=0).

7. Интервалы знакопостоянства.

8. Интервалы монотонности и экстремумы функции.

9. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

10. Асимптоты.

Пример 2.4.7. Исследовать функцию и построить её график: .

1) Область определения т.к. .

2) Исследуем функцию на четность

.

Функция нечетная, значит симметричная относительно начала координат.

3) Точки пересечения с осями. Пусть .Существует единственная точка пересечения с осями О(0; 0).

4) Проверим на непрерывность: – точки разрыва.

Найдем уравнения асимптот:

· Вертикальные асимптоты. и т.к.

и .

· Горизонтальных асимптот нет т.к.

· Наклонные асимптоты .

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

5) Определим интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает на интервале , т.к. , а на остальных интервалах она убывает, т.к. .

Точки критические точки.

Для определения максимума и минимума найдем вторую производную.

; , следовательно, – точка максимума; ; , следовательно, – точка минимума; ; , значит, – точка перегиба.

6) Определим интервалы выпуклости и вогнутости.

Функция выпуклая на интервале т.к. , а на интервале вогнутая т.к. .

Используя полученные данные, строим график функции (2.4.12). Если данных недостаточно для построения более точного графика, находим дополнительные точки.

 

 

 

 

Рис.2.4.12

 

Тема 2.5. Функции нескольких переменных

Линии и поверхности уровня

В предыдущих параграфах рассматривались числовые функции у = f(x) одной переменной х. Областью определения такой функции являлось множество Х Ì R. Числовая функция п пере­менных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество Х пространства R^п, п > 1. В этом случае значение аргумента х представляет собой точку (х₁, х₂, ..., х_п) из R^п; соответственно у=f(х₁, х₂,..., х_п) (переменная у является функцией от п переменных х₁, х₂,..., х_п). Для функций двух переменных (п = 2) вместо х₁, х₂, у пишут обычно х, у, z, тогда z=f(x, y); точка (х, у) пробегает область определения Х Ì R ² функции f.

Линией уровня функции z=f(x, y) называют линию f(x, y)=С на координатной плоскости, в точках которой функция принимает постоянное значение С.

Например, для функции z=lnx+lny (x> 0, y> 0) любая из линий уровня определяется условиями х> 0, у> 0, ху=С (естественно, С > 0) и представляет собой ветвь гиперболы ху = С, расположенную в первой четверти.

При п > 2 множество уровня имеет уравнение f(х₁, х₂,..., х_п)=С и истолковывается как «поверхность» в R^п. Например, поверхность уровня функции u = х²+у² +z² есть поверхность в R³; она определяется уравнением

x²+y²+z²=C,

где С ³ 0, и представляет собой сферу радиуса Ö C с центром в начале координат.

Частные производные, дифференциал.

Ограничимся случаем функций двух переменных, все дальнейшее справедливо и для п > 2.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Частные производные функции z=f(x, y) в точке обозначаются так:

(производная по х),

(производная по у).

Для нахождения частной производной можно использовать правила дифференцирования функций одной переменной, считая константой у.

Аналогично, для нахождения частной производной константой следует считать х.

Пример 2.5.1. Найти частные производные функций:

а) z= x/y. Считая у = const, находим Считая х = const, находим

б) z= x^y. вычисляется как производная степенной функции (у=const).

вычисляется как производная показательной функции (х=const).

Полный дифференциал.

При одновременном изменении величин х и у функция z=f(x, y)изменится на величину

Dz=f(x+Dx, y+Dy)– f(x, y) (2.5.1)

Величина Dz, заданная формулой (2.5.1), называетсяполным приращением функции z в точке(x у). Так же, как и в случае функции одной переменной возникает задача о приближенной за­мене приращения Dz. Роль ли­нейного приближения выполняетполный дифференциал фун­кции, который определяется как сумма произведений частных про­изводных функции на приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных, полный дифференциал оп­ределяется равенством

dz = Dx+ Dy. (2.5.2)

В формуле (2.5.2) точка (х, у) явно не указана, однако, следует помнить, что в различных точках дифференциал будет раз­личным.

Пример 2.5.2 . Найти полный дифференциал функции z= x/y в точках:

а)(0; 2), б)(1; 1).

а) dz = (1/у)Dx+(–х/у²)Dy=(1/2)Dx. б) dz = Dx –Dy.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: