Логарифмическая производная.

Отношение называется логарифмической производной функции f(x)

Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции:

Используя формулу производной сложной функции, найдем, что
(*)

Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции.

Пример

Найдём производную функции у = х^x. Поскольку lny= xlnx, легко найти логарифмическую производную:

Теперь с помощью формулы (*) получим:

Логарифмическая производная функции имеет экономический смысл – отношение скорости изменения величины у (ее производной) к самой этой величине – темп изменения у; если темп положителен – скорость изменения увеличивается, если отрицателен – скорость падает.

Производная функции, заданной неявно и параметрически.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ (х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ (х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример:

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у²· у'-3(1· у+х· у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ (х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ (х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ (х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет

находить производную у'_х от функции заданной

параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

< < Пример 21.2

Пусть

Найти у'_х.

Решение: Имеем x'_t=3t², y'_t=2t. Следовательно, у'_х=2t/t², т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е. 29.Дифференциал функции, инвариантность формы 1- го дифференциала.

Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции ADx в определении дифференцируемости функции

Df=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), x®x0

называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается

df(x0)=f¢ (x0)Dx= ADx.

Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения Dx. В каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x, то получим dx=Dx, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница .

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx. (3)

Если x = φ (t) - дифференцируемая функция, то dx = φ '(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница.

Производные высших порядков

Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:

y' =f ' (x)

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

ПРИМЕР:

1. Найти вторую производную функции y = x⁴
Р е ш е н и е: Имеем y^' = (x⁴)^' = 4x³
далее: y^'' = (y^')^' = (4x³)^' = 12x²
2. Найти вторую производную функции y = 3cos(x)
Р е ш е н и е: Имеем y^' = (3cos(x))^' = -3sin(x)
далее: y^'' = (y^')^' = (-3sin(x))^' = -3cos(x) 3. Найти вторую производную функции y = tg (x)
Решение: Имеем
далее:

Очень удобно пользоваться также обозначением

,

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f''(x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Ф-ла Лейбница:

Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим

Сопоставим эти выражения со степенями бинома :

Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и , нужно заменить степени и в выражении для (где n = 1, 2, 3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и :

.

Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n, получим формулу Лейбница,

где - биномиальные коэффициенты:

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: