Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Теорема 1. , где С = const.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)> 0 вблизи точки х = а и , то А> 0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Таблица пределов

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел ,

Второй замечательный предел

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

 

 

Пример . Найти предел:

Пример . Найти предел:

 

Пример. Найти предел: .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

Тогда

 

Пример. Найти предел: .

Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: = .

Пример. Найти предел:

Пример. Найти предел:

Разложим числитель и знаменатель на множители, тогда

 

 

Производная функции и дифференциал.

Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Например, дифференциал сложной функции.

Пример. Задана функция . Найти

 

 

Задания для выполнения контрольной работы по теме 1.

Задание 1. Вычислить пределы (выбрать один вариант):

 

1 вариант	а)	б)
2 вариант	a)	б)
3 вариант	а)	б)
4 вариант	а)	б)
5 вариант	а)	б)
6 вариант	а)	б)
7 вариант	а)	б)
8 вариант	а)	б)
9 вариант	а)	б)
10 вариант	а)	б)

 

Задание 2. Найти производные первого порядка данных функций, используя таблицу производных правила вычисления производных (выбрать один вариант):

1 вариант а) y = б) y =

в) y = г) y = д) y =

2 вариант а) у = б) у =

в) у = г) у = д) у =

3 вариант а) б)

в) г) д)

4 вариант а) б)

в) г) д)

5 вариант а) б)

в) г) д)

6 вариант а) б)

в) г) д)

7 вариант а) б)

в) г) д)

8 вариант а) б)

в) г) д)

9 вариант а) б)

в) г) д)

10 вариант а) б)

в) г) д)

ТЕМА 2: НЕОПРЕДЕЛЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

План:

1. Понятие неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование.

3. Основные методы интегрирования в неопределенном интеграле: замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям в неопределенном интеграле, интегрирование рациональных дробей.

4. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Основные методы интегрирования в определенном интеграле: замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Понятие неопределенного интеграла.

Определение. Функция называется первообразной функции заданной на интервале , если она дифференцируема и для любого из этого интервала .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается .

называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

 

Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование.

Свойства неопределенного интеграла.

Пусть – одна из первообразных .

1. .

2. .

3. .

 

Таблица интегралов:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.

Непосредственное интегрирование.

3. Основныеметоды интегрирования в неопределенном интеграле:

Замена переменной в неопределенном интеграле (или метод подстановки)

Пусть требуется найти неопределенный интеграл , но непосредственно подобрать первообразную для не удается, хотя известно, что она существует. Во многих случаях введением вместо переменной интегрирования некоторой новой переменной можно данный интеграл свести к другому, который или содержится в таблице основных интегралов или легко вычисляется другим способом.

Такой метод называется методом замены переменной (метод подстановки), или методом подстановки.

Итак, введем новую переменную по формуле – дифференцируемая функция на некотором интервале, при этом функция непрерывна на соответствующем интервале изменения . Тогда – формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример. Найти .

Сделаем замену переменной по формуле:

.

123456Следующая ⇒

Поделиться: