Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми.

Напомним, что углом между скрещивающимися прямыми называется угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Другими словами, если прямые l_o и l₁ скрещиваются, то мы должны совершить параллельный перенос прямой l_o, так чтобы получилась прямая l_o¢ , пересекающаяся с l₁, и измерять угол между l_o¢ и l₁.

Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Его длина называется расстоянием между прямыми.

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

l_o: = =, l₁: = =. (35)

Тогда сразу можем сделать вывод, что (a₁, a₂, a₃)½ ½ l_o, (b₁, b₂, b₃)½ ½ l₁, A_o(x_o, y_o, z_o)Î l_o, A₁(x₁, y₁, z₁)Î l₁. Составим матрицу

x₁– x_o y₁– y_o z₁– z_o

A = a₁ a₂ a₃,

b₁ b₂ b₃

и пусть D = det A.

Теорема 8. 1. Угол между l и p вычисляется по формуле

cos a = =. (36)

2. Прямые l_o и l₁ скрещиваются Û D ≠ 0.

3. Прямые l_o и l₁ пересекаются Û D = 0 и не коллинеарен .

4. l_o½ ½ l₁ Û rank A = 2 и ½ ½ .

5. l_o= l₁ Û rank A = 1.

Доказательство. 1. Угол a между прямыми l_o и l₁ может быть равен углу b между их направляющими векторами, , а может быть смежным с ним. В первом случае

cos a = cos b =,

а во втором случае

cos a = – cos b =½ cos b½ =.

Эта формула подойдет и к первому случаю. Обратите внимание, что на чертеже изображена не прямая l_o, а параллельная ей прямая l_o¢ .

2, 3. Очевидно, что прямые l_o и l₁ не параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы и не коллинеарны. При этом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются Û векторы, , компланарны Û их смешанное произведение равно нулю: = 0. А в координатах это произведение точности равно D.

Соответственно, если D ≠ 0, то векторы, , не компланарны, а значит, прямые l_o и l₁ не лежат в одной плоскости Þ они скрещиваются.

4, 5. Если l_o½ ½ l₁ или l_o= l₁, то ½ ½ . Но в первом случае вектор неколлинеарен и, и поэтому первая строка в матрице A непропорциональна второй и третей строкам. Значит, rank A = 2.

Во втором случае все три вектора, , коллинеарны друг другу, и поэтому, все строки

в матрице A пропорциональны. Значит, rank A = 1.

И обратно, если ||, то прямые l_o и l₁ параллельны или совпадают; при этом, вторая и третья строки матрицы A пропорциональны. Если, при этом, rank A = 2, то первая строка матрицы непропорциональна второй и третьей, а значит, вектор неколлинеарен и Û l_o|| l₁. Если же rank A = 1, то все строки в матрице A пропорциональны, а значит, все три вектора , , коллинеарны друг другу Û l_o= l₁.

Теорема 9. Пусть две прямые l_o и l₁ в пространстве заданы своими каноническими уравнениями (35). Тогда

1. если l_o½ ½ l₁, то расстояние между l_o и l₁ находится по формуле

h =, (37)

2. если l_o и l₁ скрещиваются, то расстояние между ними находится по формуле

h =. (38)

Доказательство. 1. Пусть l_o½ ½ l₁. Отложим вектор от точки A_o, и на векторах и построим параллелограмм. Тогда его высота h будет расстоянием между l_o и l₁. Площадь этого параллелограмма: S =½ ´ ½ , а основание равно ½ ½. Поэтому

h = S/½ ½ = (37).

2. Пусть l_o и l₁ скрещиваются. Проведем через прямую l_o плоскость p_o½ ½ l₁, а через прямую l₁ проведем плоскость p₁½ ½ l_o.

Тогда общий перпендикуляр к l_o и l₁ будет общим перпендикуляром к p_o и p₁. Отложим векторы и из точки A_o и на векторах, и построим параллелепипед. Тогда его нижнее основание лежит в плоскости p_o, а верхнее – в плоскости p₁. Поэтому высота параллелепипеда будет общим перпендикуляром к p_o и p₁, а ее величина h будет расстоянием между l_o и l₁. Объем параллелепипеда равен ½ ½, а площадь основания – ½ ´ ½ Þ

h = V/S_осн = (38).

Следствие. Расстояние от точки A₁(x₁, y₁, z₁) до прямой l, заданной уравнением

l: = =

вычисляется по формуле (37).

Примеры решения задач.

1. Даны координаты вершин A(1, – 6), B(–3, 0), C(6, 9) треугольника ABC. Составить уравнение окружности описанной вокруг треугольника.

Решение. Для того, чтобы составить уравнение окружности нам необходимо знать ее радиус R и координаты центра О(a, b). Тогда уравнение выглядит так:

(x–a)² +(y–b)² = R².

Центр окружности, описанной вокруг треугольника находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Находим координаты середин M₁(x₁, y₁), и M₃(x₃, y₃) сторон BC и AB соответственно:

x₁= = =, y₁= = =, M₁.

Аналогично M₃(–1, –3).

Пусть l₃ – прямая, являющаяся серединным перпендикуляром к AB, а l₁ – к BC. Тогда = (– 4, 6) ^ l₃ и l₃ проходит через M₃ . Поэтому ее уравнение:

– 4(x+1) + 6(y+3) = 0.

Аналогично = (9, 9) ^ l₃. Поэтому уравнение l₁:

9(x - ) + 9(y - ) = 0

x + y – 6 = 0.

Имеем О = l₁ I l₃. Поэтому, чтобы найти координаты точки О необходимо решить совместно уравнения l₁ и l₃ :

x + y – 6 = 0,

– 4x + 6y +14 = 0.

Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:

x + y – 6 = 0,

10y – 10 = 0.

Отсюда y = 1, x = 5, O(5, 1).

Радиус равен расстоянию от О до любой из вершин треугольника. Находим:

R =½ ½ = =.

Значит уравнение окружности:

(x – 5)² + (y –1)² = 65.

2. В прямоугольном треугольнике ABC известныуравнение одного из катетов 3x – 2y + 5 = 0, координаты вершины C(–5, –5) и координаты середины O(–3/2, –3) гипотенузы AB. Найти координаты

вершин A, B и координаты точки E, симметричной O относительно стороны BC. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.

Решение. Пусть катет, уравнение которого нам дано, – это СВ. Он задан общим уравнением вида

ax + by + c = 0.

В данном уравнении геометрический смысл

коэффициентов a и b – это координаты вектора нормали (a, b). Поэтому (3, -2)^ВС.

Составим уравнение перпендикуляра l = ODк стороне СВ и найдем координаты точки D. Вектор будет параллелен OD, т.е. он является направляющим вектором этой прямой. Кроме этого, нам известны координаты точки О на этой прямой. Составляем параметрическое уравнение l :

x = – + 3t, (*)

y = – 3 - 2t.

Имеем D = l I BC. Поэтому, для того, чтобы найти координаты этой точки мы должны решить совместно уравнения l и BC. Подставляем x и y из уравнения l в уравнение BC :

3(– + 3t) –2(–3 -2t)+5 = 0,

– + 9t +6 +4t+5 = 0,

13t = –, t_D= –.

Подставляем найденное t в уравнение l и находим координаты точки D(–3, –2). Для того, чтобы найти координаты E вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это О, вектор скорости – это. Отрезок ОE вдвое длиннее отрезка ОD. Если за время t_D= – мы прошли путь от О до D, то путь от О до E мы пройдем за время t_E= 2t_D= –1. Подставляя это значение в (*), находим E(– 4, 5; –1).

Точка D делит отрезок BC пополам. Поэтому

x_D =, y_D =.

Отсюда находим

x_B = 2x_D – x_C = –1, y_B = 2y_D – y_C =1, B(–1, 1).

Аналогично, используя тот факт, что О – середина АВ, находим координаты точки А(-2, -7). Возможен другой путь решения этой задачи: достроить Δ ABC до параллелограмма.

Общие формулы деления отрезка в данном отношении выглядят так:

x_С =, y_D =,

если точка С делит отрезок АВ в отношении l₁: l₂, т.е. ½ AC½: ½ BC½ =l₁: l₂.

Известно, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2: 1, считая от вершины. В нашем случае Р делит СО в отношении 2: 1. Поэтому

x_P = = = –,

y_P = = = –.

Ответ: А(–2, –7), B(–1, 1), P.

3. Даны координаты вершин A(– 4, –2), B(9, 7), C(2, – 4) треугольника ABC. Составить общее уравнение биссектрисы AD и найти координаты точки D.

Решение. Из курса элементарной математики известно, что =. Вычисляем

(13, 9), (6, –2);

½ ½ = = 5, ½ ½ = = 2.

Значит BD: DC= 5 : 2. Далее, применяя формулы деления отрезка в заданном отношении (см. задачу 16) находим

x_D = = = 4,

y_D = = = –, D(4, – ).

Составляем уравнение прямой, проходящей через точки A и D. Для неё вектор является направляющим. Но, в качестве направляющего мы можем взять любой вектор, коллинеарный. Например, удобно будет взять = , (7, 1). Тогда уравнение

AD : = y + 2 Û x – 7y – 10 = 0.

Ответ: D(4, – ), AD: x – 7y – 10 = 0.

4. Даны уравнения двух медиан x – y – 3 = 0, 5x + 4y – 9 = 0 треугольника ABC и координаты вершины A(– 1, 2). Составьте уравнение третьей медианы.

Решение. Сначала мы убедимся, что точка A не принадлежит данным медианам. Медианы треугольника пересекаются в одной точке M. Поэтому они входят в пучок прямых, проходящих через M. Составим уравнение этого пучка:

l( x – y – 3) + m(5x + 4y – 9) = 0.

Коэффициенты l и m определяются с точностью до пропорциональности; поэтому можем считать, что m = 1 (если m = 0 то уравнение пучка задает только первую медиану, а искомая прямая не совпадает с ней). Получаем уравнение пучка:

(l + 5) x + (–l + 4) y – 3l – 9 = 0.

Нам из этого пучка надо выбрать прямую, проходящую через точку A(– 1, 2). Подставим её координаты в уравнение пучка:

– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,

– 6l – 6 = 0, l = –1.

Найденное значение l подставляем в уравнение пучка и получаем искомое уравнение медианы:

4x + 5y – 6 = 0.

Ответ: 4x + 5y – 6 = 0.

5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC: A(–3, 7, 1), B(–1, 9, 2), C(–3, 6, 6) S(6, –5, –2). Составить уравнение плоскости основания ABC и уравнение высоты SD. Найти координаты точки D и точки S¢ , симметричной S относительно плоскости основания.

Решение. Найдем координаты двух векторов параллельных плоскости основания p = ABC:

= (2, 1, 1), = (0, –1, 5).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку A(x_o, y_o, z_o) параллельно двум неколлинеарным векторам (a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃) имеет вид

x – x_o y – y_o z – z_o

a₁ a₂ a₃ = 0.

b₁ b₂ b₃

Подставляем в это уравнение наши данные:

x + 3 y – 7 z – 1

2 2 1 = 0.

0 –1 5

Раскрываем определитель:

Из уравнения плоскости находим, что вектор (11, –10, –2) является вектором нормали к плоскости. Этот же вектор будет направляющим для прямой h = SD. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x_o, y_o, z_o) с направляющим вектором (a₁, a₂, a₃) имеет вид

x = x_o + a₁t ,

y = y_o + a₂t ,

z = z_o + a₃t .

В нашем случае получаем уравнение:

x = 6 + 11t ,

h: y = –5 – 10t , (*)

z = –2 – 2t .

Найдем основание перпендикуляра. Это точка пересечения прямой с плоскостью p. Для этого мы должны решить совместно уравнения и p. Подставляем из уравнения l в уравнение π:

11(6 + 11t) – 10(–5 – 10 t) – 2(–2 – 2t) + 105 = 0,

66 + 121 t + 50 + 100 t + 4 + 4 t + 105 = 0,

225 y = –225, t = –1.

Найденное t подставляем в уравнение l и находим координаты D(–5, 5, 0).

Вспомним физический смысл параметрического уравнения прямой: оно задает прямолинейное и равномерное движение. В нашем случае, начальная точка – это S, вектор скорости – это. Отрезок SS¢ вдвое длиннее отрезка SD и на его прохождение понадобится вдвое больше времени. Если за время t_D= –1 мы прошли путь от S до D, то путь от S до S¢ мы пройдем за время t¢ = 2t_D= –2. Подставляя это значение в (*), находим S¢ (–16, 15; 2).

Ответ: ABC: 11x – 10y – 2z +105 = 0, D(–5, 5, 0), S¢ (–16, 15; 2),

x = 6 + 11t ,

SD: y = –5 – 10t ,

z = –2 – 2t .

6. Даны уравнения прямой l плоскости p :

Убедиться, что l и p пересекаются и составить уравнение проекции l¢ прямой l на плоскость. Найти угол между l и p.

 

Решение. Из уравнения прямой находим ее направляющий вектор: (1, –1, 2) и точку на этой прямой: A(6, 0, 2), а из уравненияплоскости – векторнормали к плоскости:

(5, –2, 4). Очевидно, что если l½ ½ p или , то ^ т.е. · = 0. Проверим:

· = 5·1 – 2·(–1) + 4·2 = 15 ¹ 0.

Значит, l пересекает π. Угол между l и pнаходим по формуле:

sin a = ;

|| = =, || = = = 3.

Отсюда

sin a = =.

Пусть A_o – проекция точки A на плоскость, а B = lIπ . Тогда l¢ = A_oB – это проекция прямой . Найдем сначала координаты точки B. Для этого перепишем уравнение прямой l в параметрическом виде:

x = 6 + t,

l: y = – t,

z = 2 + 2t,

и решим его совместно с уравнением плоскости π . Подставляем из уравнения l в уравнение π :

5(6 + t ) – 2(– t ) + 4(2 + 2t ) + 7 = 0,

30 + 5t + 2t + 8 + 8t + 7 = 0,

15t = – 45, t = – 3.

Подставляя это t в уравнение l находим координаты B(3, 3, 4). Составим уравнение перпендикуляра h = AA_o. Для прямой h вектор служит направляющим. Поэтому h задается уравнением

x = 6 + 5t,

h: y = –2 t,

z = 2 + 4t,

Решаем его совместно с уравнением плоскости π, чтобы найти координаты точки A_o:

5(6 + 5t ) – 2(–2t ) + 4(2 + 4t ) + 7 = 0,

30 + 25t + 4t + 8 + 16t + 7 = 0,

45t = – 45, t = – 1.

Подставляем это t в уравнение h и находим A_o(1, 2, –2). Находим направляющий вектор прямой l' : A_oB(2, 1, –2) и получаем ее уравнение:

.

7. Прямая l в пространстве задана системой уравнений

2x +2y – z – 1=0,

4x – 8y + z – 5= 0,

и даны координаты точки A(–5, 6, 1). Найти координаты точки В, симметричной А относительно прямой l.

Решение. Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l. Сначала мы найдем координаты точки P. Для этого мы составим уравнение плоскости p, проходящей через точку A перпендикулярно плоскостям p₁ и p₂. Находим векторы нормали к этим плоскостям: (2, 2, –1), (4, –8, 1). Для плоскости p они будут направляющими. Поэтому уравнение этой плоскости:

x + 5 y – 6 z – 1

2 2 –1 = 0.

4 –8 1

– 6( x + 5) – 6( y – 6) –24( z – 1) = 0 .

Прежде чем раскрывать скобки обязательно

сначала делим все уравнение на – 6:

x + 5 + y – 6 + 4( z – 1) = 0,

x+ y+ 4z – 5 = 0.

Теперь P – точка пересечения плоскостей p, p₁ и p₂ . Для того, чтобы найти ее координаты мы должны решить систему, составленную из уравнений этих плоскостей:

x + y + 4z – 5 = 0,

4x – 8y + z – 5 = 0,

2x + 2y – z – 1 = 0.

Решая ее по методу Гаусса, находим P(1, 0, 1). Далее, используя тот факт, что P – середина AB мы находим координаты точки B(7, –6, 1).

Точку P можно найти другим способом, как ближайшую к A точку прямой l . Для этого необходимо составить параметрическое уравнение этой прямой. Как это делается, см. задачу 10. Дальнейшие действия см. в задаче 8.

8. В DABC с вершинами A(9, 5, 1), B(–3, 8, 4), C(9, –13, –8) проведена высота AD. Найти координаты точки D, составить уравнение прямой AD, вычислить h =½ AD½ и проверить h, вычислив S_DABC с помощью векторного произведения.

Решение. Очевидно, что точку D можно найти так: D = π I BC, где π – это плоскость, которая проходит через точку A перпендикулярно стороне BC. Для этой плоскости служит вектором нормали. Находим (12, –21, –12). Координаты этого вектора нацело делятся на 3. Поэтому в качестве вектора нормали к p можем взять = , (4, –7, – 4). Уравнение плоскости π, проходящей через точку A_o(x_o, y_o, z_o) перпендикулярно вектору (a, b, c), имеет вид:

a(x – x_o) + b(y – y_o) + c(z – z_o) = 0.

В нашем случае:

4(x – 9) - 7(y – 5) - 4(z – 1) = 0,

4x - 7y - 4z + 3 = 0,

Составим уравнение прямой BC. Для нее вектор будет направляющим:

x = –3 + 4t,

BC: y = 8 – 7t, (*)

z = 4 – 4t,

Поскольку D = π I BC, для нахождения координат точки D нужно решить совместно уравнения π и BC. Подставляем из уравнения BC в уравнение π:

4(–3 + 4t ) – 7(8 – 7t ) – 4(4 – 4t ) + 3 = 0,

–12 + 16 t – 56 + 49t – 16 + 16 t + 3 = 0,

81t = 81, t = 1.

Подставляем это t в уравнение прямой BC и находим D(1, 1, 0). Далее, зная координаты точек A и D, составляем уравнение прямой AD вычисляем по формуле расстояния между точками:

h = = 9.

Далее, S_{Δ ABC} = |´ |; сначала находим сам вектор ´, а потом его модуль.

i j k i j k

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(– i + 4 j – 8 k ) .

0 –18 –9 0 2 1

(В процессе вычисления мы воспользовались свойством определителя: общий множитель элементов одной строки можно выносить за знак определителя).

S_{Δ ABC} = · 27 =.

С другой стороны S_{Δ ABC} = | |·h. Отсюда h =. Находим

| |= = 3 = 27.

Поэтому h = 9. Это совпадает с ранее найденным ответом.

Точку D можно найти, как ближайшую к A точку прямой BC, используя методы дифференциального исчисления. Пусть M(t) – произвольная точка прямой BC; её координаты определяются системой (*):

M(–3 + 4t, 8 – 7t, 4 – 4t).

Находим квадрат расстояние от точки A до M(t):

h²(t) = (9 + 3 – 4t)² + (5 – 8 + 7t)² + (1 – 4 + 4t)²

= (12 – 4t)² + (–3 + 7t)² + (–3 + 4t)² =

= 144 – 96t + 16t² + 9 – 42t + 49t² + 9 – 24t + 16t² =

= 81t² – 162t + 162.

Найдем наименьшее значение функции h²(t) с помощью производной:

h²(t) = 162t – 162; h²(t) = 0 Þ t = 1.

Подставляем это значение t в уравнение прямой BC и находим, что D(1, 1, 0) является ближайшей к A точкой на прямой BC.

9. Исследовать взаимное расположение следующих пар плоскостей (пересекаются, параллельны, совпадают). Если плоскости пересекаются, то найдите угол между ними, если параллельны – расстояние между ними.

а). p₁: 2y + z + 5 = 0, p₂: 5x + 4y – 2z +11 = 0.

Решение. Если плоскости p₁ и p₂ заданы своими общими уравнениями

a₁x + b₁ y + c₁z +d₁= 0, a₂x + b₂ y + c₂z +d₂= 0,

то

p₁½ ½ p₂ Û = = ¹ ,

p₁ = p₂ Û = = =.

В нашем случае ¹ ¹ , поэтому плоскости не параллельны и не совпадают. Значит, они пересекаются. Угол между плоскостями вычисляется по формуле

cos a = ,

где и – векторы нормали к этим плоскостям. В нашем случае

(0, 2, 1), (5, 4, –2), · = 0·5 + 2· 4 + 1·(–2);

|| = =, || = = 3.

Значит, cos a = =.

Ответ: a = arccos.

б) p₁: x – y + 2z + 8 = 0,

p₂: 2x – y + 4z –12 = 0.

Решение. Проверяем на параллельность или совпадение:

Значит, p₁½ ½ p₂ но p₁ ¹ p₂. Расстояние от точки A(x, y, z) до плоскости, заданной уравнением находится по формуле

h =.

Выберем точку АÎ p₁. Для этого надо подобрать любые три координаты, удовлетворяющие уравнению p₁. В нашем случае, самое простое: A_o(0, 8, 0). Расстояние от A_o до p₂ и будет расстоянием между p₁ и p₂ :

h = =.

10. Составить уравнение плоскости p, которая делит пополам тот из двугранных углов между плоскостями

p₁: 2x – y + 2= 0, p₂: 5x + 4y – 2z –14 = 0,

который содержит данную точку А(0, 3, –2). Составить параметрическое уравнение прямой l = p₁Ip₂ ;

Решение. Если точка лежит на плоскости p, которая делит двугранный угол пополам, то расстояния h₁ и h₂ от этой точки до p₁ и до p₂ равны.

Находим эти расстояния и приравниваем их:

=

Модули мы можем раскрывать с одинаковыми или разными знаками. Поэтому можем получить 2 ответа, т.к. p₁ и p₂ образуют два двугранных угла. Но в условии требуется найти уравнение плоскости, которая делит пополам тот угол, в котором находится точка А. Значит координаты точки М при подстановке в левые части уравнений данных плоскостей p₁ и должны такие же знаки, что и координаты точки А. Легко проверить, что эти знаки для p₁ и «+» для p₂ . Поэтому мы раскрываем первый модуль со знаком «–», а второй – со знаком «+»:

=,

3(-2x + y - 2) = 5x + 4y – 2z –14,

p: 11x + y - 2z - 14 = 0.

Для того, чтобы составить уравнение прямой l, нам нужно найти направляющий вектор этой прямой и точку на ней.

Из уравнений p₁ и p₂ находим координаты векторов нормали к этим плоскостям: (2, –1, 0), (5, 4, –2). Направляющий вектор прямой l перпендикулярен и. Такой можно найти с помощью векторного произведения (по определению, если = ´ , то ^ и ^ ):

 

i j k

= ´ = 2 –1 0 = 2 i + 4 j + 13 k .

5 4 –2

Для того, чтобы найти координаты одной точки на прямой, мы должны найти частное решение системы уравнений

Поскольку уравнений два, а неизвестных три, то система имеет бесконечное количество решений. Нам достаточно подобрать одно. Проще всего положить x = 0 и тогда находим

Þ z = – 3, .

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку B(x_o, y_o, z_o) параллельно вектору (a₁, a₂, a₃), имеет вид:

= =.

В нашем случае имеем уравнение:

l: = =.

Ответ: p: 11x + y – 2z = 0, l: = =.

11. Даны уравнения двух прямых в пространстве:

x = –1 – t, x = –3 + 2t ¢,

l₁: y = 6 + 2 t, l₂: y = –2 – 3t ¢,

z = 5 + 2t, z = 3 – 2t ¢.

Доказать, что данные прямые скрещиваются и составить уравнение их общего перпендикуляра.

Решение. Из уравнений прямых находим координаты их направляющих векторов: (–1, 2, 2), (2, –3, –2) и точек A(–1, 6, 5)Î l₁ , B(–3, –2, 3) Î l₂ . Проверяем и на коллинеарность:

= =.

Значит и l₁ l₂. Следовательно, прямые l₁ и l₂ либо скрещиваются, либо пересекаются. Мы найдем расстояние между ними, и, если оно не равно нулю, то прямые скрещиваются.

Расстояние вычисляется по формуле

d =.

Находим

I j k

´ = –1 2 2 = 2 i + 2 j – k; |´ |= = 3.

2 –3 –2

(– 2, – 8, –2), = – 2·2 – 8·2 – 2·(–1) = –18, d =.

Вектор = ´ перпендикулярен и перпендикулярен. Сле-довательно, ^ l₁ и ^ l₁, а значит, является направляющим вектором общего перпендикуляра к этим прямым. Мы уже нашли его коор-динаты: (2, 2, –1). Для того, чтобы

составить уравнение h нам нужно найти координаты одной точки на этой прямой. Для этого мы составим уравнение плоскости π, проходящей через l₁ и h. Для нее векторы, будут направляющими, и AÎ p.

x – 1 y – 2 z – 1

–1 2 2 = 0.

2 2 –1

– 6(x – 1) + 3( y – 2) – 6(z – 1) = 0.

– 2(x – 1) + ( y – 2) – 2(z – 1) = 0.

p: –2x + y – 2z + 2 = 0.

Находим точку пересечения l₂ и π . Для этого из уравнения l₂ подставляем в уравнение π:

–2(–3 + 2t ¢ ) –2 + 3t ¢ – 2(3 – 2t ¢ ) + 2 = 0,

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: