Основы дифференциального исчисления

 

Пример. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) y=ln ; д) .

Решение:

а) Используя правило дифференцирования дроби и таблицы производных элементарных функций, получим:

б) Воспользуемся вначале правилом дифференцирования сложной степенной функции:

Найдём далее производную разности (3^arctg2x –ln(1+4 ²))

Производная выражения 3^arctg2x есть производная сложной, показательной функции. Она равна:

(3 ^arctg2x )^/ = 3 ^arctg2x ln3 (arctg2x)^/=3 ^arctg2x ln3

Производная выражения есть производная сложной логарифмической функции. Она равна (ln(1+4 ²))^/

Окончательно имеем

y^/= (3 ^arctg2x ln3 )=

(3 ^arctg2x ln3-4x)

в) Воспользуемся вначале правилом дифференцирования сложной показательной функции:

Окончательно будем иметь: .

г) Предварительно преобразуем функцию, используя свойство логарифмов: y=ln ln (ln ln ).

Применяя правило дифференцирования разности функций и сложной логарифмической функции, получим:

(ln ln .

д) Предварительно прологарифмируем по основанию обе части равенства:

ln = ln(x+1)^arctgx = arctg x ln(x+1).

Далее продифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x:

( arctg x) ln(x+1) + arctg x (ln(x+1)) = ln(x+1) + arctg x

Окончательно выразим y :

Задания для самостоятельной работы

Найти производные функций:

1) а) y = ; б) y=2^cos3x + tg 3 ; в) y = e^sin2x ln 4 ; г) y = ln ; д) y = (2x+3)^tgx;

2) а) y = ; б) y =(3^sin2x – sin² 2x); в) y=2x² cos 3x; г) y =ln ; д) y = (1+ cos x )^x;

3) а) y = ; б) y =(5^tg2x –x³); в) y =e^-3x sin 4x; г) y =ln ; д) y =(x + 2)^sinx;

4) а) y = ; б) y =(2^arcsinx + arcsin2x); в) y =x² sin³ x; г) y =ln ;

д) y = (x + 1)^arctgx;

5) а) y = ; б) y =(4^tgx – tg 2x); в) y=ln xarctg x; г) y =ln ; д) y = (x + sin x)^x;

6) а) y = ; б) y =(5^sin2x – cos² 2x); в) y =ln2x*tg ; г) y =ln³ ;

д) y = (tg 2x)^tg2x;

7) а) y = ; б) y = ; в) y =cos 4x *e^6x; г) y =ln ;

д) y = (sin x)^cos3x;

8) а) y = ; б) y =(3^cos2x +cos² x); в) y =arcos xsin 3x; г) y =ln ;

д) y = (1-x²) ^sinx;

9) а) y = ; б) y = ; в) y =e^2x ln tg x; г) y =ln ;

д) y = (ctg 4x)^3x;

10) а) y = ; б) y = ; в) y =sin 4xctg 6x; г) y =ln ; д) y =(sin 2x)^tgx.

Полное исследование функции

Полное исследование функции позволяет определить для построения графика характерные точки функции:

· точки разрыва

· точки пересечения кривой с осями координат

· точки экстремума

· точки перегиба

 

1. 1) Область определения функции (о.о.ф)

2) Точки разрыва и интервалы непрерывности

3) Поведение функции в окрестности точек разрыва; вертикальные асимптоты

4) Точки пересечения кривой с осями координат

5) Чётность или нечётность функции (симметрия графика)

 

2. Интервалы монотонности функции; точки экстремума;

3. Интервалы выпуклости и вогнутости;

4. Поведение функции на бесконечностях. Наклонная (горизонтальная) асимптота

 

Пример: Провести исследование функции и построить график

Решение:

 

1. 1) о.о.ф.: х (-∞ ; -1) (-1; 1) (1; +∞ ) так как х² – 1 = 0 т.е. х ≠ -1, х ≠ 1.

2) х = -1, х = 1 – точки разрыва; функция непрерывна при

х (-∞ ; -1) (-1; 1) (1; +∞ ).

3) Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва. Для этого найдём односторонние пределы в этих точках:

В точке х = -1;

 

Так как односторонние пределы бесконечны, то х = -1 – точка разрыва второго рода, а значит, график имеет вертикальную асимптоту в виде прямой х = -1. Причём:

 

; ,

В точке х = 1

Так как односторонние пределы бесконечны, то х = 1 - точка разрыва второго рода, значит, график имеет вертикальную асимптоту в виде прямой х = 1. Причём:

 

4) Точки пересечения с осями координат.

С осью Ох график пересекается в точке (0; 0), так как у = 0 имеем х = 0; с осью Оу пересекается также в точке (0; 0), так как при х = 0 имеем у = 0.

5) Функция является нечётной, поскольку:

А это значит, что график функции симметричен относительно начала координат.

2. Найдём интервалы возрастания и убывания, и точки экстремума функции. Для этого вычислим производную

и приравняем ее нулю, т.е. у′ = 0. Далее решим уравнение

или

Так как х² + 1 ≠ 0, то последнее уравнение корней не имеет. Поэтому, данная функция «критических» точек на экстремум не имеет. А значит не имеет точек экстремума. Точки разрыва функции х = -1, х = 1, при которых у′ тоже не существует, разбивают числовую прямую на интервалы монотонности (-∞ ; -1), (-1; 1), (1; +∞ ). Проверкой знака у′ в каждом из этих интервалов убеждаемся, что у′ везде отрицательна; значит функция во всех трёх интервалах убывающая.

 

 

3. Исследуем выпуклость и вогнутость кривой, на точки перегиба. Для этого найдём вторую производную и приравняем её нулю:

 

т.е.

Так как х² + 3 ≠ 0, то у′ ′ = 0 только при х = 0, а при х = -1 и х = 1 у′ ′ не существует. Отметим эти точки на числовой прямой и проверим знак у′ ′ в каждом из интервалов: (-∞ ; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; +∞ )

В интервалах (-∞ ; -1) (0; 1) у′ ′ < 0, т.е. кривая выпуклая. При х = 0 кривая имеет точку перегиба, у_пер = 0. Точки х = -1, х = 1 не могут быть точками перегиба, так как являются точками разрыва.

 

4. Исследуем поведение функции на бесконечностях. Для этого вычислим:

 

Отсюда видно, что при х → -∞ функция стремится к 0 снизу, а при х→ +∞ стремится к 0 сверху.

 

Найдём наклонную асимптоту в виде прямой: у = kх + b:

 

Итак, наклонной (горизонтальной, так как k = 0) асимптотой кривой будет прямая у = 0 – ось Ох

График функции, построенный по результатам исследований приведен на рисунке:

 

 

Задачи для самостоятельной работы

Провести полное исследование функции и построить ее график

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Интегральное исчисление

Примеры приемов интегрирования

Найти неопределённый интеграл.

а) (^1+sin7x )

Решение

Для вычисления интеграла применим способ подстановки. Пусть 1+sin 7 = t. Тогда d(1+sin7 )= или 7cos7 или cos7 = Подставив полученные выражения в интервал, будем иметь

cos7 *5^(1+sin7x) = = +C

Сделаем проверку дифференцированием:

ln5(1+sin7x)^/ +0=

7cos7 = 5^(1+sin7x)cos7

Получение подинтегральной функции свидетельствует о правильности вычисления интеграла.

б) Найти неопределённый интеграл

Решение

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена по формуле

В нашем случае:

Получим

Сделав замену: x+1=y; , будем иметь:

arc sin

Возвращаясь к исходной переменной, получим

Сделаем проверку дифференцированием

- верно.

в) Найти неопределённый интеграл

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле: udv=u v- vdu

Положим: u=x, dv=sin3 . Находим du=dx,

= =

Получим: ) =

= + = +C

Сделаем проверку дифференцированием:

+ ( (

+ +

+ - верно.

г) Найти неопределённый интеграл

Решение

Подинтегральная функция представляет собой правильную дробь, так как старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя. Найдём корни квадратного трёхчлена

Воспользуемся способом разложения подинтегральной функции на простые дроби

Для нахождения коэффициентов А и В применим метод неопределённых коэффициентов.

Способ 1. Для этого приравняем числители, а затем приравняем множители при одинаковых степенях x.

Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными

Способ 2. Так как равенство числителей справедливо при любом x, вычислим значения правой и левой частей при х=1 и х= - 2. Получим

2+7=А(1+2) + В(1-1) и – 4+7=А(-2+2) + В(- 2-1). Откуда сразу найдем А=3, В= -1.

Далее, определив тем или иным способом коэффициенты, будем иметь

=3ln( ) - ln ln

Сделаем проверку дифференцированием:

(ln (3ln( ) - ln( )+ =

-верно.

д) Найти неопределённый интеграл

Разложим подинтегральную функцию на простые дроби

Далее, приравняв числители

( _* )

и раскрыв скобки приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

A + B = 1, - при х³;

6A + 4B + C = 6, - при х²;

12A – 2B + D = 13, - при х;

8A – 4B – 4C – 2D = 6, - при х⁰.

Прежде чем решать систему воспользуемся вторым способом, положив в ( _* ) х = 2, вычислим значения левой и правой частей:

2³ + 6 _* 2² +13 _* 2 + 6 = А(2 + 2)³ , откуда найдем А = 1.

Положив х = - 2, вычислим (-2)³ + 6 _* (-2)² +13 _*(- 2) + 6 = D(- 2 - 2), откуда D = 1.

Далее, подставив в первое уравнения системы A = 1, получим B = 0;

Подставив известные значения А, В и D в последнее уравнение найдем С: 8 – 0 – 4С – 2 = 6 или С = 0.

Искомый интеграл примет вид

Последние два интеграла находятся легко:

Задания для самостоятельной работы

Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:

Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

Примеры вычисления определенного интеграла

Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определённый интеграл

а)

Решение

а) Для вычисления интеграла в подинтегральной функции проведём замену переменной

t t-1 =(t-1)² = d(t-1)² =2(t-1) dt).

Найдём пределы интегрирования для новой переменной .

При x=0 имеем t = 1, при x= 1, t = 2.

Получим dt=

= dt.

Для вычисления полученного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница: = Окончательно будем иметь:

=

ln2)-2( ln1) = ln2-1.

б) Вычислить определённый интеграл cos³

Решение

Для нахождения определённого интеграла воспользуемся формулой и методом подведения под знак дифференциала:

=

= - ( ^{5 5} 0)=

в) Вычислить определённый интеграл ln( )

Решение

Воспользуемся способом интегрирования по частям в определённом интеграле

udv=uv vdu

Положим ln( )=u, dv= . Найдём d(ln( ))=du

du , v =

Вычислим интеграл

ln( ) =ln( ) ln2- =

=ln2- + ln2-x ln( )

=ln2-(1-0)+ (ln2-ln1)=2ln2-1

Задания для самостоятельной работы

Вычислить значения определенных интегралов:

1) 7 2) ² 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) ln

10) 11) 12)

13) 14) 15) ln( )

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: