Интерференция волн от двух и многих когерентных источников.

Интерференция волн от двух и многих когерентных источников.

Интерференция света от двух источников.

Интерференция характерна для любых процессов. Явление заключается в следующем:

При сложении волн от нескольких источников наблюдается устойчивое перераспределение энергии волнового процесса в пространстве. Это перераспределение характеризуется чередующимися max и min энергии. Интерференция служит признаком волнового процесса. Было обнаружено для света.

Пусть есть два источника света, и они излучают на одной и той же частоте.

○ в этой точке складываются два колебания с одинаковой частотой.

1 х₁

○

 

х₂

○ 2 Е₀²=Е₁₀²+Е₂₀²+2Е₁₀*Е₂₀*cosΔ φ, Δ φ (t)≠ const

В качестве меры энергии световой волны служит интенсивность(энергия, приходящаяся на единицу поверхности в единицу времени). I=|Ŝ |-вектор Пойтинга.

Т.к I~E₀², то

I=I₁+I₂+2√ I₁*I₂ *cosΔ φ

Анализ I в условиях когерентности и некогерентности излучения:

1)некогерентное, ∆ φ =f(t), [0; 2π ]. Все значения ∆ φ равновероятны, I=I(∆ φ )-> устойчивой картины нет и мы наблюдаем усредненную величину: < I> =< I₁> +< I₂> +0. Интерференция не наблюдается из-за постоянного случайного изменения ∆ φ.

2) когерентные источники

ω 1=ω 2…; ∆ φ! =f(t), ∆ φ зависит от координат.

Для выбранной точки ∆ φ =const и I зависит от ∆ φ и не зависит от t. I(x, y, z)-> устойчивая картина

1. Δ φ =2π n

I=I₁+I₂+2√ I₁*I₂ - условие max интерференции

Если I₁=I₂ , то I=4 I₁

2. Δ φ =π (2n+1)

I= I₁+I₂-2√ I₁*I₂ - условие min интерференции

Если I₁=I₂ , то I=0

 

Е₁=Е₀₁cos(ω t-kx₁)- уравнение плоской гармонической волны

Е₂=Е₀₂cos(ω t-kx₂)

У нас 2 волны, у которых ω одинаковы, а kx- разные-> kx определяет ∆ φ.

Δ φ =φ ₂- φ ₁= kx₁- kx₂

Каждая волна может двигаться в своей среде, у которой свой коэффициент преломления.

Δ φ =kx₁- kx₂=n₁*2π /λ ₀*x₁-n₂*2π /λ ₀*x₂=2π /λ ₀(n₁x₁-n₂x₂) x(s)-геометрический путь

nx(ns)-оптический путь

Δ = n₁x₁-n₂x₂=n₁s₁-n₂s₂ -оптическая разность хода волн зависит от положения точки в пространстве. Как результат, сложение волн в пространстве зависит от точки в пространстве.

В общем случае ∫ ₁²nds-оптический путь

∆ φ =∆ 2π /λ ₀

1. max

Δ φ =2π m, m=0, 1…

2π /λ ₀(n₁x₁-n₂x₂)= 2π m => Δ =mλ ₀

1. min 2π /λ ₀*Δ =π (2m+1) => Δ =λ ₀/2*(2m+1)

Существует множество других точек, где результат сложения волн даёт промежуточное значение интенсивности. В произвольной точке I_min≤ I≤ I_max

Max относительно центра располагаются симметрично.

 

 

Δ х_max=λ ₀l/nd

Разрешение картины определяется двумя параметрами: длиной волны и отношением l/d.

По мере удаления Δ φ растет и вектор Е поворачивается.

I=I₁+I₂+2√ I₁*I₂ *cosΔ φ =2I₀+2I₀cosΔ φ =4I₀+

I~cos²(x)

Поскольку координаты max зависят от длины волны, то положение max для разных длин волн будут разные на экране. Если источники является источниками белого света, то на экране получится разложение в спектр.

Интерференция света от многих источников.

Лучи, идущие под одним углом, собираются в одной и той же точке. Происходит сложение N электромагнитных волн. Результат сложения зависит от того, с какими разностями фаз они приходят.

 

Е₀₁=Е₀₂= … =Е₀.

 

В центр картины в главный фокус приходят волны в одной и той же фазе

Е=N*Е₀ => I=N²*I₀ – интенсивность в центре больше в N² раз.

Если мы уходим от центра, то лучи приходящие в некоторую точку имеют разность не равную нулю, у них появляется разность хода.

I=N²I₀cos²(Δ φ /2) I=I₀sin²(N Δ φ /2)/sin²(Δ φ /2); Δ =dsinα -> Δ φ = dsinα 2π /λ ₀

Поскольку интенсивность зависит от Δ φ, то у неё есть max и min значения. В картине распределения интенсивности выделяются главные и дополнительные min и max.

1. главный max

I=N²I₀, Δ φ =0 => Δ φ =2π m, m=0, 1, 2…

Величина m называется порядком главного max. Количество max слева и справа от центрального должно быть одинаково.

1. главный min

I=0 N*Δ φ /2=mπ, m=1, 2…, N-1

N*Δ φ =2π m

Поскольку количество векторов ограниченное, то многоугольник нельзя постоянно накручивать. Между каждой парой max находится N-1 min. Между каждой парой min находится max, но не главный. Такой max называется дополнительным: N Δ φ =(2m+1)π, m=1,..., N-2

Поляризованный свет. Способы получения поляризованного света.

Закон Кирхгофа

Если взять замкнутую систему тел с разными температурами, то постепенно температуры всех тел выровняются. Равновесие может быть достигнуто за счёт только теплового излучения.

Тела с большей t остынут с меньшей t нагреются ( за счёт поглощения)

Когда будет достигнуто равновесие, то количество поглощений и излучений в единицу времени станет одинаковым.

Из опыта было установлено, что тела с большей испускательной способностью должны и больше поглощать.

= = =…

- не зависит от природы тела, а является универсальной функцией частоты излучения(длинны волны) и температуры тел. Сначала эта функция была определена экспериментально.

Закон Стефана-Больцмана

=∫ f(ν, T)dν =σ T⁴; σ -постоянная Стефана Больцмана.

Гипотеза Эйнштейна

Свет не только излучается, но и поглощается в виде порций, квантов.

Фотоны, падая на поверхность металла, поникают на очень короткое расстояние в металл и поглощаются нацело отдельными его электронами проводимости. Они сразу же увеличивают свою энергию до значения, достаточного, чтобы преодолеть потенциальный барьер вблизи поверхности металла, и вылетают наружу.

Закон сохранения энергии позволяет написать простое соотношение, связывающее скорость фотоэлектронов с частотой поглощаемого света.

Энергия фотона после поглощения его, с одной стороны, расходуется на преодоление потенциального барьера (эта часть энергии называется работой выхода электрона из металла), а с другой стороны, частично сохраняется у электрона вне металла в виде кинетической энергии. Таким образом, соотношение для энергии таково: , где А - работа выхода электрона. Это соотношение подтверждает тот факт, что энергия фотоэлектронов, действительно, никак не зависит от интенсивности света, а линейно зависит от частоты света.

1. hν =Aвых ( hν < Aвых металл можно только нагреть но электроны не вылетят.)
2. Кинетическая энергия вылетевших электронов .

т.к. свет излучается и поглощается квантами, то световой поток это всегда поток

квантов (локализованных порций) – фотонов.

Свойства потока (они есть у фотона)

1. Eф =hν

2. импульс p=E/c= hν /c=h/λ

3. mo=0 если фотон останавливается то он исчезает.

m = hν - релятивистская масса фотона.

Три закона внешнего фотоэффекта:

1.Число фотоэлектронов n, вырываемых из катода за единицу времени, пропорционально интенсивности света. n=Ф/hν

2. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности.

3. Для каждого вещества существует “красная граница” фотоэффекта, те min частота света, при которой еще возможен фотоэффект. Она зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности.

Гипотеза Луи де Бройля

Электромагнитное излучение изначально трактовалось как волновой процесс, но вдруг у него обнаружились свойства, характерные для частиц. А не может ли быть, что явления, которые обусловлены свойствами частиц, являются волновыми? (обратно) Согласно де Бройлю частицы должны обладать волновыми свойствами. Он объединил и => , . Любой объект на микроуровне, движущийся с импульсом p, должен характеризоваться некоторой длиной волны , которая зависит от импульса так же, как это имеет место для фотона.

Опыт Дэвиссона и Джермера подтвердил эту гипотезу. Опыт –в откачанном сосуде металлическая пластинка, пучок электронов падает на неё под определённым углом, гальванометр регистрирует электроны, отражённые от пластинки. Исследовалась зависимость I, регистрируемой гальванометром, от угла падения. max I при . Эксперимент подтвердил гипотезу и позволил рассчитать положение min и max при дифракции плоских электронных волн: max - ; min - ; .

Электронные волны падают на кристалл и отражаются от различных крист плоскостей. Отраженные волны интерферируют, что приводит к наличию max и min, где отраженные волны будут в фазе- max, иначе- min. Возникли вопросы: какова природа этих волн, все ли частицы обладают такими свойствами? Одно из предположений: в пучке электронов возникают волны пространственного заряда.

В электрическом пучке может распространятся волновой процесс. Если по каким-то причинам электроны начинают совершать колебания, то эти колебания распространяются. Отдельные электроны продемонстрировали наличие волновых свойств. Другие опыты показали, что волновые свойства характерны для отдельно взятой частицы (это не коллективный эффект).

 

Дифракция была обнаружена у электр. частиц, атомов и молекул. у них есть волновые свойства.

Длины волн де Бройля совпадали с дифракционной картиной.

Волновая функция

В опыте Дэвиссона и Джермера можно описывать происходящее как распространение плоских гармонических волн. Де Бройль предполагает с частицами связывать некоторую волновую функцию.

Для свободно движущегося электрона: -уравнение плоской гармонической волны.

Какой смысл самой этой функции и её параметров?

1) *2π /2π => => 2) => Частота зависит от энергии, волновое число от импульса. Процесс отражения происходит случайным образом, I-> p за распределением стоит вероятность процесса. В результате опытов по дифракции электронных волн мы найдем волновую функцию, характеризующую электроны после рассеивания. Для тех направлений, где вероятность рассеяния больше, больше и значение , а для меньших- меньше и . Квадрат волновой функции характеризует плотность вероятности нахождения частицы в произвольной, достаточно малой области пространства.. Если как обычно пуляем электрон, то вероятность, что он окажется на dS экрана dP=ψ ²dV. - плотность распределения вероятности. - нормировка волновой функции, означает, что частица обязательно находится в каком-то месте пространства. Интеграл берется по всей области пространства. Частица хоть где-то, да находится.

Квантовая механика утверждает, что возможно лишь вероятностное описание движения частиц. Если получена , то мы полностью описали движение. Понятия траектории для частиц нет. Электрон не кубик, даже в идеальных условиях не летит одинаково.

Свободное движение частиц.

Во время свободного движения квантовой частицы никакие силы на нее не действуют и можно ее потенциальную энергию равной нулю. Пусть движение частицы происходит в направлении , тогда (*) принимает вид: .

Частным решением этого уравнения является ф-ции вида , где и – константы. Если подставить искомое решение в само уравнение, то мы получим связь энергии частицы и величины :

Полная волновая функция с учетом зависимости от времени для свободной частицы имеет вид . Это плоская монохроматическая волна с частотой и волновым числом . Так как , а , то .

Мы получили обычное выражение, связывающее кинетическую энергию и импульс нерелятивистской частицы. Величины и такой частицы ничем не ограничены, те свободная квантовая частица может иметь любое значение энергии и импульса. Вероятность обнаружения частицы в интервале координат определяется соотношением .

Величину, стоящую перед , будем называть плотностью вероятности .

Это означает равную вероятность обнаружения свободной частицы в любой точке направления , т.е. область движения вдоль « » у свободной частицы ничем не ограничена. Энергия частицы может быть любой, начиная с нуля, так как из уравнения Шрёдингера нет никаких ограничений на величину .

Туннельный эффект.

Прошедшая волна

Проанализируем теперь движение квантовой частицы. Пусть , тогда 1 – область слева от барьера, 2 - область барьера, 3 - область справа от барьера. Волновые функции частицы в этих областях обозначим соответственно . Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области: Первая область

Падающая+отраженная

Вторая область: . Третья область: . Решения этих уравнений имеют вид (очевидно и ): , ,

Так как в первой области решение содержит отраженную волну, то это означает, что частица имеет конечную вероятность отражения от барьера (у классической частицы вероятность равна 1). Так как в третьей области есть прошедшая волна, то у частицы есть вероятность прохождения за барьер (с классической точки зрения в принципе не может быть). Такая способность квантовых частиц проникать сквозь потенциальный барьер при получила название туннельный эффект. Коэффициенты связаны между собой Эта связь может быть определена из условий непрерывности и на границах барьера: , , Для описания туннельного эффекта используются не сами коэффициенты, а их отношения. Вероятность отражения частицы от потенциального барьера – коэффициент отражения R и вероятность прохождения частицы сквозь барьер – коэффициент прозрачности барьера D. , . Оба коэффициента связаны соотношением .

 

 

Вырождение состояний.

1. Общая ситуация: , область прямоугольная.

Если . Для любой пары квантовых чисел: .

 

 

2. Если , т. е. два различных состояния (разные волновые функции) обладают одной энергией. Такие состояния называются вырожденными. Значения энергии тоже называются вырожденными значениями, или вырожденными энергетическими уровнями. Количество вырожденных состояний называется степенью вырождения уровня. Вырождения появляются с появлением симметрии. В 3-х мерном пространстве: . Состояние будет однозначно описываться тройкой квантовых чисел , . Если возьмем кубическую яму, то произойдет вырождение. Перестановка квантовых чисел будет приводить к одинаковой энергии. Число квантовых чисел и число вырожденных уровней связано с количеством пространственных ограничений.

 

 

Интерференция волн от двух и многих когерентных источников.

12345Следующая ⇒

Поделиться: