Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Кафедра высшей математики и информатики – 247-06-22
деканат факультета экономики и бизнеса – 385-96-54
Базовые определения и примеры ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайные события Опытом или испытанием называют осуществление на практике какого-либо набора условий, при которых может наблюдаться изучаемое явление. Существует множество задач, для решения которых нужно учитывать случайные факторы, вносящие в исход опыта элемент неопределенности. В вероятностном эксперименте (опыте), результат невозможно предсказать заранее, так как он является случайным в силу сложного сочетания естественных причин. Примеры: бросание игрального кубика или монеты, карточные игры, лотерея и др. Любое действие в экономике по своей сути является вероятностным экспериментом. Например, строительство автомобильного завода в контексте получения прибыли является вероятностным экспериментом. Событие – это любой исход (результат) или совокупность исходов какого-либо вероятностного эксперимента. Например, получение прибыли можно рассматривать как результат строительства завода. Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий. Например, при бросании игрального кубика имеется одна и та же возможность появления любой из цифр от 1 до 6, при бросании монеты выпадение «орла» и «решки» также считается равновозможным. Все события делят на три основные группы: 1) невозможные события - те, которые не происходят никогда при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра 8); 2) возможные (вероятные, достоверные) события - те, которые обязательно произойдут при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра от 1 до 6); 3) случайные события - те, которые при заданных условиях могут произойти, а могут и не произойти (на игральном кубике выпала цифра 4). Теория вероятностей изучает случайные события, которые можно повторить неограниченное или достаточно большое число раз в неизменных условиях, а также количественные законы, связанные с этими событиями. Действия над случайными событиями Случайные события обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С и т.д. Невозможное событие будем обозначать , а множество всех возможных событий – . Пусть А и В – некоторые события. 1. Событие С будем называть объединением событий А и В, если С происходит тогда, когда происходит или А, или В. Запись: C = или С = А + В. 2. Событие D будем называть пересечением событий А и В, если D происходит тогда, когда происходят А и В одновременно. Запись: D = или D = AB. 3. Событие будем называть дополнением к событию А ( противоположным к А), если оно происходит тогда, когда не происходит А. . 4. Событие C называется разностью событий А и В, если С происходит тогда, когда происходит А и не происходит В. Запись: С= . Два события являются противоположными, если одно их них происходит тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован). Пример 1. Бросают игральный кубик. Пусть событие А = {выпадет четное число}, событие В = {выпадет число, которое делится на 3}. Найти сумму, произведение, разность событий А и В, противоположные к ним события. Решение. А = {2, 4, 6}; B = {3, 6}. А + В ={2, 3, 4, 6}. AB = {6} ={2, 4}. ={1, 3, 5}, ={1, 2, 4, 5}. Иногда случайные события можно записать как объединение некоторых других событий из всего множества возможных событий, например, в примере 1 A = , где A1 = {2, 4}, A2 = {6}. Случайные события, которые нельзя разложить в объединение некоторых других событий, называются элементарными событиями. Таким образом, если мы имеем правильный игральный кубик, то элементарными событиями являются {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Элементы комбинаторики Для каждого вероятностного эксперимента можно определить пространство элементарных событий. Если это пространство содержит сравнительно небольшое количество событий, то их можно выписать и пересчитать. Если же элементарных событий достаточно много, то для нахождения вероятности нужно вычислить их количество. Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются методы подсчета количества различных элементов (перестановки, размещения, сочетания). Перестановкой из n элементов называется их произвольный набор. Количество перестановок из n элементов: (читается “эн-факториал”) Если необходимо выбрать m элементов из n, то следует учитывать состав элементов и в некоторых случаях их порядок. Размещения – это комбинации из n элементов по m, которые отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования. Количество размещений из n элементов по m: . Сочетаниями называются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга только составом элементов. Общее число сочетаний из n элементов по m обозначается и определяется из формулы: , . Пример 2. Рассмотрим различные комбинации чисел 1, 2. 3. Перестановки из чисел 1, 2, 3: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}. . Размещения из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2}. . Сочетания из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. . |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 477; Нарушение авторского права страницы