Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид

(10.1)

Где — интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

(10.2)

где - интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживания простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 10.1), у которого имеются два состояния:

S₀— канал свободен (ожидание);

S₁ — канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 10.1 Граф состояний одноканальной СМО с отказами.

Обозначим вероятности состояний:

P₀(t) - вероятность состояния «канал свободен»;

P₁(t)- вероятность состояния «канал занят».

По размеченному графу состояний (рис. 10.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей со­стояний:

(10.3)

Система линейных дифференциальных уравнений (10.3) имеет решение с учетом нормировочного условия Р₀(t) + Р₁(t) = 1. Реше­ние данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от tи выглядит следующим образом:

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность Р₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы u.

Действительно, Р₍₎ - вероятность того, что в момент t канал сво­боден и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следо­вательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно Р₀(t), т. е.

q = P_o(t)

По истечении большого интервала времени (при t--00) дости­гается cтационарный (установившийся) режим:

Зная относительную пропускную способность, легко найти аб­солютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее чис­ло заявок, которое может обслужить система массового обслужива­ния в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероят­ности состояния «канал занят»:

 

Данная величина Р_отк может быть интерпретирована как сред­няя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример 10.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представля­ет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки ав­томобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока ав­томобилей X = 1, 0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1, 8 часа. Поток автомобилей и поток обслужива­нии являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

относительной пропускной способности q;

абсолютной пропускной способности А;

вероятности отказа Р_отк;

Сравните фактическую пропускную способность СМО с номи­нальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслужи­вался точно 1, 8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

2. Вычислим относительную пропускную способность:

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО авто­мобилей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

А = l*q= 1* 0, 356 = 0, 356.

Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0, 356 обслуживания автомобилей в час.

3. Вероятность отказа:

Р_отк = 1-q =1 - 0, 356 = 0, 644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

4. Определим номинальную пропускную способность системы:

Оказывается, что А_ном в 1, 5 раза больше ( 0, 555/0, 644 = 1, 5), чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случай­ного характера потока заявок и времени обслуживания.

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание — простейший поток с интенсивно­стью л. Интенсивность потока обслуживания равна м (т. е. в сред­нем непрерывно занятый канал будет выдавать м обслуженных за­явок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Поток обслужива­ния является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ — «канал свободен»;

S₁ — «канал занят» (очереди нет);

S₂ — «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

S_n— «канал занят» (n — 1 заявок стоит в очереди);

S_N — «канал занят» (N — I заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

Решение приведенной выше системы уравнений (10.10) для на­шей модели СМО имеет вид

Тогда

Следует отметить, что выполнение условия стационарности р = л/м < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превы­шать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением л/ь = р.

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N — 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

относительная пропускная способность системы:

абсолютная пропускная способность:

среднее число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 10.2. Специализированный пост диагностики представ­ляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже нахо­дится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток ав­томобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность л = 0, 85 (автомобиля в час). Вре­мя диагностики автомобиля распределено по показательному зако­ну и в среднем равно 1, 05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста ди­агностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Параметр потока обслуживания автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определя­ется как отношение интенсивностей, т. е.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удов­летворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомо­били в среднем в 15, 8% случаев (P_отк = 0, 158).

Теперь перейдём к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданиембез ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. N- °°). Остальные условия функционирования СМО остаются без изме­нения.

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t -00 для любого n = 0, 1, 2, ... и когда к < \х. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t-00 для любого п = 0, 1, 2, ..., имеет вид

Решение данной системы уравнений имеет вид

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без огра­ничения на длину очереди, следующие:

• среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

• средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

• среднее число клиентов в очереди на обслуживании:

• средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

Пример 10.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 10.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслужива­ние автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероят­ностных характеристик:

• вероятности состояний системы (поста диагностики);

• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслу­живании и в очереди);

• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

• среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение

1. Параметр потока обслуживания м и приведенная интенсив­ность потока автомобилей р определены в примере 10.2:

М= 0, 952; р = 0, 893.

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам

 

Следует отметить, что Р₀ определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаива­ет). В нашем примере она составляет 10, 7%, так как Р₀ = 0, 107.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на об­служивании и в очереди):

4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

7. Относительная пропускная способность системы:

q=1,

т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

8. Абсолютная пропускная способность:

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагнос­тику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для сто­янки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 10.2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

m = Л* Р_N.

В нашем примере при N=3+1=4 и р = 0, 893

т = L • Р₀* р⁴ = 0, 85 • 0, 248 * 0, 8934 = 0, 134 автомобиля в час.

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквива­лентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0, 134 = 1, 6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить ко­личество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1, 6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что ре­шение относительно расширения площади для стоянки автомоби­лей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей кли­ентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: