Вероятностный анализ нелинейных систем во временной и частотной областях. Параметрические и непараметрические методы оценки вероятностных распределений

 

Область прикладной математики называемая “Статистическая динамика нелинейных систем” располагает значительным набором методов и приемов исследования нелинейных динамических объектов, работающих под действием случайных возмущений. К сожалению не все эти методы достаточно эффективны при исследовании сложных систем, рассматриваемых в задачах строительной механики корабля. Из точных методов анализа нелинейных систем при случайных воздействиях наибольшее распространение в прикладной математике и физике получили методы, основанные на теории марковских процессов. При этом в большинстве случаев законы распределения случайных координат системы находятся как чрезвычайно трудоемкие решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Ввиду большой сложности, а зачастую и невозможности получить решение поставленной задачи подобным образом широкое распространение при решении проблем прикладной механики получили приближенные методы исследования нелинейных систем при случайных воздействиях, которые и рассматриваются ниже. Множество этих методов можно условно разбить на 2 большие группы. К первой из них относятся методы исследования динамических систем во временной области. Они основаны на численном интегрировании уравнений типа (3.1), описывающих поведение системы, получении реализаций выходных процессов и последующем их анализе (например, с использованием метода Монте-Карло). Ко второй группе относятся методы исследования динамических систем в частотной области, основанные на установлении связи между спектральными составляющими входных и выходных процессов и определении вероятностных свойств выходных процессов на базе характеристик этой связи и информации о свойствах входного процесса. К числу широко используемых методов второй группы относятся методы статистической линеаризации, функционального преобразования случайных величин (квазистатический метод), эквивалентных возмущений, интерполяционный и др. Иногда при исследовании нелинейных систем используются методы первой группы, например, метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), который носит достаточно универсальный характер, но требует большого объема вычислений и немыслим без использования современных ЭВМ. Наряду с этими методами излагаются и новые подходы к анализу нелинейных динамических систем, пока не получившие широкого распространения, но позволяющие эффективно определять вероятностные распределения ординат и амплитуд выходных процессов (метод условной статистической линеаризации, метод возмущений).

Как уже отмечалось, при разработке методов расчета и надежности прочности судовых конструкций обычно рассматривается механическая система, представляющая собой совокупность следующих подсистем: судно, окружающая его жидкость, упругие конструкции. Входным случайным процессом, воздействующим на систему, является в подавляющем большинстве случаев морское волнение. В качестве выходных процессов рассматриваются изменения во времени обобщенных перемещений при общей вибрации судна, гидродинамических давлений на элементы корпуса, изгибающих моментов в сечениях корпусами других параметров.

Как известно, важнейшими статистическими характеристиками выходных процессов являются функции распределения и плотности распределения вероятностей (ПРВ) амплитуд, которые содержат наиболее важную информацию, необходимую для решения вопросов прочности и ресурса конструкций. При оценке ПРВ применяются два подхода. В первом предполагается, что ПРВ описывается функцией известного вида, зависящей от неизвестных параметров. Такой метод оценки ПРВ называется параметрическим и сводится к оценке неизвестных параметров распределения. В частности, на параметрических оценках основывается известный метод статистической линеаризации, широко используемый в инженерном деле. Вместе с тем в большинстве случаев информация о ПРВ процессов на выходе нелинейных систем полностью или частично отсутствует. Использование параметрических методов с определением малого числа параметров распределения (иногда одного или двух) в таких случаях носит предвзятый характер. При исследовании нелинейных систем обычно удается сформулировать лишь самые общие сведения о вероятностных распределениях, такие, например, как гладкость, область определения ПРВ и т.д. В подобных ситуациях следует применять непараметрические методы или параметрические методы, допускающие достаточно широкое варьирование формы распределения, достигаемое при значительном числе отыскиваемых параметров распределения. Поэтому таким методам уделено особое внимание при изложении новых подходов к решению задач статистической динамики судовых конструкций.

Математические модели нелинейной качки судна и вибрации конструкций, обусловленной слемингом или другими причинами, обычно формируется в виде нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно фазовых координат Z_i(t) в качестве которых могут рассматриваться линейные и угловые перемещения судна при качке, обобщенные перемещения при упругих колебаниях корпуса, а также скорости этих перемещений. Внешние силы, используемые в расчетах прочности судовых конструкций, обычно выражаются через такие перемещения, скорости, ускорения и параметры волн. В общем виде анализируемые процессы (фазовые координата, внешние силы и т.д.) находятся как решения (или функции решений) системы дифференциальных уравнений вида

 

, (4.1)

 

где y_i - некоторая нелинейная функция n фазовых координат; x(t) - случайный процесс морского волнения (входной процесс).

В соответствии с традиционными подходами к исследованию качки судна и силовых воздействий на него на первой стадии анализа обычно исследуются процессы, происходящие на относительно коротких стационарных режимах морского волнения, а на завершающих стадиях производится определение так называемых долговременных распределений изучаемых процессов с учетом нестационарности волнения, наблюдающейся при рассмотрении длительных интервалов времени. Причем последняя стадия исследований в случае отсутствия ограничений на условия эксплуатации судна хорошо методически обоснована [8, 31] и не вызывает принципиальных затруднений. Основные трудности возникают при оценке параметров качки и силовых воздействий на конструкции на стационарных режимах волнения.

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: