Тема 2.6. Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями коммуникаций.

1. Классификация переменных.

2. Критерий оптимальности.

3. Алгоритм метода потенциалов для решения задачи с ограниченными пропускными способностями.

4. Необходимые условия разрешимости задачи.

5. Признак неразрешимости.

6. Выбор разрешающей коммуникации в случае нарушения условия оптимальности для нулевых небазисных перевозок.

7. Выбор разрешающей коммуникации в случае нарушения условия оптимальности для предельных небазисных перевозок.

8. Переход к новому плану в обоих случаях.

9. Задачи [3] 601 – 700, [9] ATD01 – ATD100.

Тема 2.7. Методы построения допустимого плана.

1. Классический метод.

2. Расширение задачи.

3. Преобразование допустимых планов расширенной задачи.

4. Вычисление резервов пропускной способности коммуникаций.

5. Метод минимального резерва пропускной способности.

6. Основной принцип метода минимального резерва.

7. Задачи [1, 3] 601 – 700, [9] ATD01 – ATD100.

Тема 2.8. Целочисленное программирование.

1. Постановка задачи и методы решения.

2. Алгоритм Гомори построения отсекающих плоскостей.

3. Антье от числа.

4. Дробная часть числа, конгруэнтность чисел.

5. Графический метод отсечения.

6. Аналитический метод построения отсекающих плоскостей.

7. Некоторые экономические задачи целочисленного программирования.

8. [3] 801 – 900

Тема 2.9. Динамическое программирование.

1. Особенности решения многошаговых задач оптимизации.

2. Задача о кратчайшем маршруте.

3. Задача об оптимальном распределении инвестиций.

4. Задача о загрузке рюкзака.

5. Решение задач.

7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

Студенту рекомендуется не ограничиваться при изучении дисциплины только лекциями, необходимо изучать методические рекомендации, издаваемые кафедрой. Для улучшения качества освоения материала следует обращаться к учебникам, учебным пособиям и справочникам, законспектировать новые понятия и определения.

Усвоение курса требует самостоятельного решения задач на практических занятиях, выполнения индивидуальных домашних заданий. При возникновении сложностей по усвоению программного материала необходимо посещать консультации по дисциплине, задавать уточняющие вопросы на лекциях и практических занятиях, а также выполнять дополнительно задания, изложенные в методических рекомендациях по изучению дисциплины (учебные пособия [1], [2], [3], [4], [9], [10]).

В качестве самостоятельной работы студентам необходимо выполнить домашнюю контрольную работу сборника задач [1, 3, 10], усвоение теоретического материала предполагает детальную проработку лекционного материала и ответы на вопросы. В течение семестра студент выполняющий, все предлагаемые виды учебной деятельности имеет возможность набрать соответствующее количество баллов, с последующим выходом на итоговую аттестацию. Критерий выставления оценки:

0 – 34 не допущен;

35 – 60 допущен;

61 – 75 удовлетворительно;

76 –90 хорошо;

91 – 100 отлично.

При изучении дисциплины на практических занятиях студентам выдаются индивидуальные домашние задания.

Модуль 1.

Задание к теме 1.1.

Для задач 001 – 100 [3] найти любое общее и три базисных решения системы методом полного исключения неизвестных (Жордана-Гаусса). Сделать проверку. Решение рекомендуется представить в виде таблицы.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей системы? Как определить ранг матрицы методом полного исключения?

2. Когда система т уравнений с п неизвестными является определенной? Неопределенной?

3. Какая система называется приведенной к единичному базису? Откуда следует ее совместность? Какие неизвестные называются базисными? Какие неизвестные называются свободными?

4. Что называется общим решением системы? Что называется базисным решением системы? Сколько может быть базисных решений у системы?

5. Как называется процедура перехода от одного базиса к другому?

6. Что Вы знаете о целочисленном контроле?

7. Сформулируйте обобщенное правило прямоугольника.

Задание к теме 1.2.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте основную задачу линейного программирования.

2. Дайте определение для следующих понятий: план, допустимый план, оптимальный план, решение задачи.

3. Покажите, что стандартная и каноническая задачи линейного программирования являются частным случаем основной задачи.

4. Всегда ли основную задачу линейного программирования можно привести к каноническому виду?

5. Дайте определения для следующих понятий: выпуклое множество, внутренняя и граничная точки, гиперплоскость, базис.

6. Чем отличается выпуклый многогранник от многогранного выпуклого множества?

7. В чем отличие понятий «линейная оболочка» и «выпуклая оболочка»?

8. Любой ли конус является выпуклым множеством?

9. Какая точка выпуклого множества называется угловой?

Задание к темам 1.3. – 1.4.

Решить графическим методом задачи [3] 801 – 900, [1] 201 – 300.

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается геометрическая интерпретация задачи линейного программирования?

2. Какой план называется опорным?

3. Как связаны базисные планы и угловые точки области определения задачи линейного программирования?

4. Какой план задачи линейного программирования называется вырожденным?

5. Как, с точки зрения геометрической интерпретации, можно представить процесс поиска оптимального плана в задаче линейного программирования?

Задание к теме 1.5.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте критерий оптимальности опорного плана, применяемый в симплекс-методе.

2. Сформулируйте основные этапы стандартной итерации симплекс-метода.

3. Для чего применяется преобразование Жордана-Гаусса?

4. Какой элемент симплекс-таблицы называется разрешающим?

5. При каких условиях делается вывод о неограниченности целевой функции в решаемой задаче? Какая геометрическая интерпретация соответствует данному случаю?

6. Можно ли заранее точно определить количество итераций, которое потребуется для решения задачи симплекс-методом? Можно ли найти верхнюю границу для данной величины?

7. Какая задача называется вырожденной? По каким признакам можно узнать, что текущий план является вырожденным?

8. Какие проблемы возникают при решении вырожденных задач?

9. Какую экономическую интерпретацию имеет ситуация вырожденности?

Задание к теме 1.6.

Решить индивидуальные задания [1] 101 – 200, 201 – 300, [3] 801 – 900.

Задание к теме 1.7.

Решить индивидуальные задания [1] 101 – 200, 201 – 300, [3] 801 – 900.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение двойственной задачи.

2. Какими основными свойствами обладает пара двойственных задач?

3. В чем заключается экономическая интерпретация переменных двойственной задачи?

4. Сформулируйте условия для допустимых изменений целевой функции задачи, при которых ее оптимальный план остается неизменным.

Задание к теме 1.8.

Решить индивидуальные задания ВА001 – ВА100 [3] 801 – 900.

Задание к теме 1.9.

Для задач автора рабочей программы ВА001 – ВА100 выполнить следующие задания.

Вопросы для самопроверки

1. Определить оптимальный ассортимент выпускаемой продукции, доставляющий предприятию максимум выручки.

2. Составить модель двойственной задачи. Используя соответствие между переменными прямой и двойственной задач, выписать оптимальное решение двойственной задачи. Дать содержательный экономический анализ основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач.

3. Оценить рентабельность новой продукции и ее цену, характеристики которой представлены в таблице.

4. Определить границы изменения коэффициентов целевой функции, в пределах которых ассортимент выпускаемой продукции не меняется.

5. Определить границы изменения ресурсов, в пределах которых сохраняется устойчивость двойственных оценок.

Модуль 2.

Задание к темам 2.1.– 2.2.

Для задач 301-400[3] построить начальный план методами: «северо-западного угла», «минимального элемента», методом Фогеля. Из каждого плана найти оптимальный план методом потенциалов.

Вопросы для самопроверки

1. Какие специфические свойства позволяют выделить транспортные задачи в отдельный класс из множества задач линейного программирования?

2. Как доказать, что область допустимых решений транспортной задачи не пустая и ограниченная?

3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи.

4. Опишите методы построения допустимого плана транспортной задачи («северо-западного угла», «минимального элемента», «двойного предпочтения», «эвристический метод Фогеля»).

5. Докажите, что исходное решение, построенное по вышеуказанным правилам, является опорным.

6. Сколько положительных элементов должен содержать невырожденный опорный план транспортной задачи?

7. Сформулируйте критерий оптимальности для допустимого плана закрытой транспортной задачи.

8. Что положено в основу метода потенциалов?

9. Из чего вытекает критерий оптимальности допустимого плана транспортной задачи?

10. Перечислите основные этапы метода потенциалов.

11. Какое экономическое толкование потенциалов?

12. Что такое цикл? Приведите примеры циклов.

13. Докажите, что число вершин в каждом цикле четно.

14. Какие условия должны быть соблюдены при построении цикла пересчета в методе потенциалов?

15. Как определяется величина корректировки плана?

16. Что следует делать при возникновении ситуации вырожденности текущего плана в транспортной задаче?

Задание к теме 2.3.

Задачи 401 – 500 [3] изображены в виде неориентированного связного графа. На ребрах записаны значения удельных стоимостей , на вершинах (в кружках) – значения запасов-потребностей . Построить пробный допустимый план, проверить его на оптимальность. В случае необходимости довести до оптимального плана методом потенциалов.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите общую формулировку линейной сетевой задачи по критерию стоимости. Запишите математическую модель прямой задачи и двойственную к ней.

2. Покажите, что транспортная задача в матричной постановке является частным случаем транспортной задачи в сетевой постановке.

3. Дайте определение понятия «остов сети». Какая связь существует между остовом сети и базисом транспортной задачи в сетевой постановке?

4. Какой план перевозок называют невырожденным?

5. Каким способом можно получить допустимый план в транспортной сети? Назовите требования, предъявляемые к опорному плану.

6. Перечислите основные этапы метода потенциалов для транспортной задачи в сетевой постановке.

7. Как вычисляются потенциалы и оценки?

8. Что называется разрешающей стрелкой? Каково должно быть направление разрешающей стрелки?

9. Что называется циклом пересчета в сетевой задаче?

10. Как определяется величина корректировки плана?

11. Что надо делать, если величина корректировки достигается на нескольких перевозках? Можно ли менять направление нулевых перевозок, появившихся в этом случае?

12. Как в процессе улучшения плана изменяются перевозки в цикле пересчета и перевозки, не вошедшие в цикл пересчета?

13. Назовите способы вычисления целевой функции для начального опорного плана и для последующих планов.

14. В каком случае в сетевой задаче коммуникация, только что вышедшая из базиса, снова имеет наибольшую положительную оценку?

15. В чем состоит задача о кратчайшем пути?

Задание к теме 2.4.

В задачах [3] 501 – 600 приведены таблицы, в клетках которых проставлены элементы матрицы эффективностей задачи о разборчивой невесте. Необходимо найти оптимальный вариант выбора, при котором средняя продолжительность семейной жизни каждой семьи будет наибольшей. Решить задачу методом потенциалов и венгерским методом.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте задачу о назначениях как частный случай транс­портной задачи и запишите математическую модель.

2. Какие значения могут принимать переменные в задаче о назначениях?

3. Какие матрицы называются эквивалентными?

4. Сформулируйте предписания предварительного этапа венгерского метода решения задачи.

5. Сколько звездочек может быть в каждой строке и столбце матрицы эффективностей?

6. Что надо делать, если нет незанятых нулей?

7. Сколько нулей со штрихом может быть в одной строке?

8. Сколько нулей со штрихом может быть в одном столбце?

9. Что надо делать, если в строке, где находится только что отмечен­ный штрихом нуль, нет нуля со звездочкой?

10. Как преобразуется цепочка?

11. Сформулируйте задачу о разборчивой невесте.

12. Запишите оптимальный вариант выбора.

13. Как применяется метод Фогеля в задаче о разборчивой невесте?

14. Каковы особенности метода потенциалов для задачи о разборчивой невесте?

15. Какие значения может принимать величина корректировки в задаче с булевыми переменными?

Задание к теме 2.5.

Решить задачи [3] 501 – 600 методом потенциалов.

Задание к теме 2.6.

Решить задачи [3] 601 – 700, [10] ATD01 – ATD100.

Задание к теме 2.7.

Решить задачи [3] 601 – 700, [10] ATD01 – ATD100.

Вопросы для самопроверки к темам 2.6. – 2.7.

1. Сформулируйте транспортную задачу с ограничениями на пропускные способности коммуникаций (задачи Td).

2. Каковы особенности задачи Td?

3. Классифицируйте переменные, учитывающие особенности задачи.

4. Назовите необходимые условия разрешимости задачи Td.

5.Сформулируйте критерий оптимальности плана задачи Td.

6.Опишите классический метод построения допустимого плана транспортной задачи с ограничениями на пропускные способности (введе­ние фиктивного поставщика и потребителя - расширение задачи).

7. Что является признаком неразрешимости задачи с ограничениями на пропускные способности?

8. Приведите примеры задач с противоречивыми условиями.

9. Опишите метод минимального резерва пропускной способности для построения допустимого плана транспортной задачи с ограничениями на пропускные способности.

10. Как определяется резерв пропускной способности поставщика (потребителя)?

11. Как изменяются резервы пропускной способности коммуникаций поставщиков, если при определении объема очередной перевозки исчерпаны запасы одного из них?

12. Как изменяются резервы пропускной способности коммуникаций потребителей, если при определении объема очередной перевозки удовлетворены потребности одного из них?

13. В каком случае в задаче Td коммуникация просится в базис, но не может войти в базис?

14. Что положено в основу метода потенциалов?

15. Перечислите основные этапы метода потенциалов.

16. Как определяется величина корректировки плана, если разрешающая коммуникация соответствует нулевой небазисной переменной?

17. Как следует корректировать текущий опорный план, если разрешающая коммуникация соответствует нулевой небазисной пере­менной?

18. Как определяется величина корректировки плана, если разрешающая коммуникация соответствует предельной небазисной переменной?

19. Как следует корректировать текущий опорный план, если разрешающая коммуникация соответствует предельной небазисной переменной?

20. Что следует делать при возникновении вырожденности текущего плана в транспортной задаче с ограничениями на пропускные способности?

21. Назовите способы вычисления суммарных транспортных расходов для текущего опорного плана задачи Td.

22. Проведите сравнительный анализ метода минимального резерва пропускной способности коммуникаций и метода Фогеля.

23. Можно ли, не решая задачу Td, определить количество итераций метода потенциалов?

 

Список вопросов к экзамену.

1. Предмет математических методов в экономике. Этапы решения задач о принятии решений.

2. Примеры конкретных практических задач с экономическим содержанием и их математическая формулировка: задача о раскрое; задача о ресурсах; задача о диете; задача об инвестициях; транспортная задача, задача о загрузке оборудования.

3. Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (методом Жордана-Гаусса). Вывод формул пересчета коэффициентов системы. Базисные неизвестные. Свободные неизвестные. Общее решение. Частное, базисное решение. Геометрическая интерпретация базисного решения.

4. Разложение векторов по векторам базиса. Теорема о единственности разложения. Переход от одного базиса к другому.

5. Основная задача линейного программирования. План, оптимальный план.

6. Стандартная задача ЛП. Каноническая задача ЛП. Опорный план. Приведение основной задачи ЛП к каноническому виду.

7. Выпуклые множества. Внутренние, граничные, крайние (угловые) точки. Выпуклый многоугольник, многогранник, опорная плоскость.

8. Объединение множеств, пересечение множеств, лемма о пересечении выпуклых множеств.

9. Теорема о представлении выпуклого многогранника через угловые точки.

10. Геометрическая интерпретация задачи ЛП.

11. Теорема о выпуклости планов задачи ЛП.

12. Теорема о достижении оптимума в угловой точке многогранника решений. Альтернативный оптимум.

13. Теорема о соответствии угловой точки многогранника решений линейно независимой системе векторов.

14. Теорема о соответствии линейно независимой системы векторов угловой точке многогранника решений.

15. Графический метод решения стандартной задачи ЛП с двумя переменными.

16. Графический метод решения канонической задачи ЛП, где число переменных больше двух.

17. Идея симплекс-метода. Построение опорных планов. Вывод формулы пересчета коэффициентов.

18. Теорема о возможности улучшения плана для задачи на минимум. Критерий оптимальности.

19. Теорема о возможности улучшения плана для задачи на максимум. Критерий оптимальности.

20. Алгоритм симплекс-метода, алгебра симплекс-метода.

21. Составление первой симплекс-таблицы, переход к последующим, контроль за ведением таблиц.

22. Геометрический и экономический смысл симплекс-метода.

23. Поиск начального опорного плана методом искусственного базиса. Признак неразрешимости задачи ЛП.

24. Задачи со смешанными ограничениями и методы их решения.

25. Понятие о двойственных задачах ЛП. Примеры построения двойственных задач, имеющих экономическое содержание.

26. Основная задача ЛП и двойственная к ней (правила построения двойственных задач).

27. Несимметричные двойственные задачи. Первая теорема двойственности.

28. Вторая теорема двойственности. Условия дополняющей нежесткости.

29. Определение решения двойственной задачи, используя оптимальную симплекс-таблицу прямой задачи (по первой теореме двойственности).

30. Определение оптимального решения прямой задачи по решению двойственной, используя условия дополняющей нежесткости.

31. Общая постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее математическая модель. Допустимый план. Оптимальный план. Вырожденность. Закрытая транспортная задача. Открытая модель.

32. Теорема о допустимости и разрешимости закрытой транспортной задачи.

33. Теорема о ранге системы ограничений-уравнений закрытой транспортной задачи.

34. Определение цикла. Примеры построения циклов. Теорема о четности вершин в цикле. Означенный цикл. Цикл пересчета.

35. Методы построения начального плана транспортной задачи: «северо-западного угла», «минимального элемента», «двойного предпочтения», «метод Фогеля».

36. Критерий оптимальности транспортной задачи. Метод потенциалов (теоретическое обоснование).

37. Сетевая постановка транспортной задачи по критерию стоимости. Опорные планы. Требования, предъявляемые к опорному плану.

38. Метод потенциалов для транспортной задачи на сети. Вычисление потенциалов. Условия оптимальности. Переход от одного плана к другому.

39. Постановка задачи «о разборчивой невесте», ее математическая формулировка (запрет на многомужество, многоженство и однополые браки).

40. Метод потенциалов для задачи «о разборчивой невесте». Решение проблемы вырожденности. Критерий оптимальности.

41. Определение эквивалентности матриц. Теорема Эгервари.

42. Венгерский метод для решения задач о назначениях, «о разборчивой невесте».

43. Двойственный симплекс-метод. Правила выбора ведущего элемента.

44. Целочисленное программирование. Метод Гомори. Вывод формулы отсекающей гиперплоскости.

45. Метод ветвей и границ.

46. Понятие о выпуклом программировании.

47. Вычислительные методы квадратичного программирования.

48. Простейшие задачи динамического программирования. Вывод рекуррентных соотношений.

49. Постановка транспортной задачи с ограниченными пропускными способностями коммуникаций по критерию стоимости. Математическая модель задачи.

50. Критерий оптимальности задачи Td, метод потенциалов.

51. Классический метод построения опорного плана задачи Td.

52.Метод минимального резерва пропускной способности для построения опорного плана задачи Td.

 

7.2. Правила выбора и выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения.

Изучение дисциплины заканчивается выполнением домашней контрольной работы, состоящей из 6 задач, которые следует выбирать из учебного пособия [1]. Из каждой сотни задач (1-100, 101-200, 201-300, 301-400, 401-500, 501-600) выбирается одна. Номер задачи определяется по двум последним цифрам зачетки. Например, номер зачетки заканчивается цифрами 07 – контрольная работа будет состоять из задач (7, 107, 207, 307, 407, 507), если номер заканчивается цифрами 00 – из задач (100, 200, 300, 400, 500, 600).

Ссылка на методические указания по решению задач контрольной работы записаны в таблице

Задача	Задания (страницы)	Пример решения (страницы)	Литература
		7 – 10	[1]
		61 – 63, 75 – 77	[1]
		37 – 40, 54 – 60, 68 – 71, 74	[1]
		105 – 108, 111 – 116	[1]
		135 – 143	[1]
		180 – 187, 191 - 196	[1]

 

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины; здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует указать использованную литературу.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту, Контрольные работы, содержащие не все задачи или задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решение задач необходимо располагать в порядке, указанном в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи необходимо полностью написать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует заменить общие данные числовыми из соответствующего номера.

6. Решение следует излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы как допущенный, так и не допущенный к собеседованию студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации. Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок. При высылаемых исправлениях должны обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия к ней. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

8. По каждой работе проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе. Без зачтенной контрольной работы студент к зачету (экзамену) не допускается.

9. Студентам, не выполнившим контрольную работу до начала экзаменационной сессии, может быть предложена аудиторная контрольная работа во время сессии.

Образовательные технологии.

При проведении аудиторных занятий, используются активные формы обучения: обучение через сотрудничество, деловые интерактивные игры, ролевые игры, круглые столы, доклады с оппонированием и дискуссии. Активно применяется информационный инструментарий при разработки как теоретического так и практического материала.

Использование пакета прикладных программ:

1. «TORA» (графический метод решения игры).

2. «POMWIN» (решение задачи симплекс-методом).

3. «OPTIMAL» (Решение транспортных задач)

4. «SimplexWin» (Решение задач линейного и целочисленного программирования).

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

Основная

1. Аксентьев В.А. Сборник задач по математическим методам в экономике. Учебное пособие для студентов экономических специальностей. Тюмень: издательство ТюмГУ, – 2003, 264 с.

2. Аксентьев В.А., Пыткеев Е.Г., Хохлов А.Г. Математические методы в экономике и финансах. Учебное пособие для студентов экономических специальностей дистанционной формы обучения. Тюмень: издательство ТюмГУ, 2007. – 764 с.

3.. Аксентьев В.А. Математические методы в экономике. Практикум. Курган: Изд-во «Зауралье», 2008 – 372 с.

4. Аксентьев В.А. Математические методы в экономике, теории управления и исследование операций: Практикум. Тюмень: Издательство ТюмГУ, 2008. – 260 с.

5. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 902 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

6. Аксентьев В.А. Математическое программирование. Методическое пособие для студентов. Тюмень: издательство ТюмГУ, 1992. – 73 с.

7. Аксентьев В.А. Транспортные задачи с ограниченными пропускными способностями коммуникации (метод потенциалов). Тюмень: издательство ТюмГУ, 1990. – 38 с.

8. Аксентьев В.А. Руководство к решению задач по математическим методам в экономике. Тюмень: издательство ТюмГУ, 2006. – 52 с.

9. Аксентьев В.А. Математические методы в экономике: Учебно-методический комплекс. Решение задач демонстрационного варианта. Тюмень: издательство ТюмГУ, 2007. – 86 с.

10. Аксентьев В.А. Математические методы в экономике. Оптимизация резервов пропускной способности в транспортной логистике. Тюмень: издательство ТюмГУ, 2010. – 77 с.

11. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. «Высшая школа», 1986. – 318 с.

12. Данилов Н.Н. Курс математической экономики: Учеб. пособие/ Н.Н.Данилов. – М.: Высш. шк., 2006, - 407 с.

13. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. «Высшая школа», 1975.

14. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического программирования, ЛГУ, 1976, 192 с.

15. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.М., Волощенко А.Е. Математическое программирование, «Высшая школа», 1980, 300 с.

16. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: математическое программирование. Минск.: «Высшая школа, 1994. – 286 с.

17. Сборник задач и упражнений по высшей математике: математическое программирование. Под редакцией профессора Кузнецова А.В. Минск.: «Высшая школа», 1995. – 382 с.

18. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций, 6-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001, 912 с.

19. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 656 с.

20. Сборник задач по высшей математики дл экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 575 с.

21. Т. Ху Целочисленное программирование и потоки в сетях. Пер. с англ. – М.: Издательство «Мир», 1974. – 520 с.

22. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. Учебник, 2-е издание. Минск.: «Вышэйшая школа», 2001, 351 с.

23. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997, - 407 с.

24. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.

25. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М.: Издательство «Наука», 1987. – 510 с.

26. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. – 2-е изд., исправленное. – М.: «Дело», 2002. – 440 с.

27. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений / Пер. с англ. под ред. член-корр. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. – 590 с.

28. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 1 / Пер. с англ. Б.Т. Вавилова. – М.: Издательство «Мир», 1972. – 331 с.

29. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 2 / Пер. с англ. В.Я. Алтаева. – М.: Издательство «Мир», 1973. – 488 с.

30. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 3 / Пер. с англ. Б.Т. Вавилова. – М.: Издательство «Мир», 1973. – 501 с.

31. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1977. – 368 с.

32. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. М.: Изд-во МГУ, 1977. – 256 с.

31. Экономико-математические методы и модели. Задачник. Под редакцией С.И.Макарова и С.А.Севастьяновой. М.: Изд-во «Кнорус», 2008.

9.1. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:

http: //www.aup.ru/books/i008.htm

http: //www.allmath.ru/mathmet.htm

http: //www.gaudeamus.omskcity.com/PDF_library_economic_5.html

http: //www.twirpx.com

 

10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

1.Компьютер, пакеты обучающих программ:

«OPTIMAL», «TORA», «SIMNET II», «POMWIN».

2. Проектор.

3. Интерактивная доска и т.д.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: