Колебания кубических кристаллов

Для кристаллов кубической сингонии тензор упругой жёсткости имеет отличные от нуля компоненты только для одинаковых или одинаковых пар индексов С_iiii, C_iijj, C_ijij, C_ijji. Тогда матрица тензора колебаний будет:

 

С1111K12+C1221K22 +C1331K32	С1122K1K2+C1212 K1K2	С1133K1K3+C1313 K1K3
С1122K1K2+C1212 K1K2	С2112K12+C2222K22 +C2332K32	С2323K3K2+C2233 K3K2
С1133K1K3+C1313 K1K3	С2323K3K2+C2233 K3K2	С3113K12+C3223K22 +C3333K32

 

Теперь для определения частот колебаний надо из диагональных элементов тензора вычесть rw² и полученный определитель приравнять нулю.

· Волны колебаний в направлении [100].

В этом направлении К₂= К₃=0, К₁=K и определитель тензора колебаний будет иметь вид:

 

С1111K12-rw2
	С2112K12-rw2
		С3113K12-rw2

 

Для того, чтобы определитель равнялся нулю необходимо равенство нулю диагональных элементов.

Наблюдается три волны в направлении x, y, z, причём волны в направлении y, z имеют одинаковые параметры, так как компоненты тензора упругой жёсткости С₂₁₁₂= С₃₁₁₃.

Волны, распространяющиеся в направлении оси х будут иметь частоту:

(4.7) rw²= С₁₁₁₁K², w²=K² С₁₁₁₁/r.

Скорость этой волны будет: v=w/K=Ö (С₁₁₁₁/r).

Волны, распространяющиеся в направлении оси х, со смещениями атомов в направлении y, (z) (поперечная волна) будут иметь частоту:

(4.8) rw²= K²С₂₁₁₂, w²= K²С₂₁₁₂/r, v=w/K=Ö (С₂₁₁₂/r).

· Волны в направлении [110].

Для этого направления К₁= К₂=К/Ö 2, К₃=0. Матрица тензора будет

С1111K12+C1221K22	С1122K1K2+C1212 K1K2
С1122K1K2+C1212 K1K2	С2112K12+C2222K22
		С3113K12+C3223K22

Определитель для главных значений частот будет:

(С1111+C1221 )K2/2-rw2	(С1122+C1212 )K2/2
(С1122+C1212 )K2/2	(С2112+С2222)K2/2-rw2
		(С3113+С3223)K2/2-rw2

 

Получается три решения для трёх типов колебаний.

Для первых двух типов колебаний решение находится как корни квадратного уравнения:

rw² =(С₁₁₁₁+C₁₂₂₁ )K²/2±(С₁₁₂₂+C₁₂₁₂ )K²/2=1/2(С₁₁₁₁+C₁₂₂₁±

( С₁₁₂₂+C₁₂₁₂))К².

Откуда

(4.9) rw² =( С₁₁₁₁+2C₁₂₂₁ + С₁₁₂₂)K²/2,

(4.10) 2rw² =( С₁₁₁₁-С₁₁₂₂)K²/2.

Третье решение будет:

(4.11) 3rw² =С₃₁₁₃K².

Для определения смещения атомов при каждом типе колебаний надо частоту колебаний подставить в исходный определитель и его решить относительно главных направлений тензора. При этом для первого типа имеем после подстановки:

 

(С1122-C1221 )K2/2	(С1122+C1212 )K2/2
(С1122+C1212 )K2/2	(-С2112-С1122)K2/2

 

Алгебраические дополнения для элементов первой строки будут равны (-С₂₁₁₂-С₁₁₂₂)K²/2 и (-С₂₁₁₂-С₁₁₂₂)K²/2, следовательно, амплитуды смещения вдоль оси x и y будут равны и смещение будет происходить вдоль направления [110]. Это продольная волна акустического типа.

Для второго типа колебаний после подстановки частоты в исходный определитель будем иметь:

 

(С1122+C1221 )K2/2	(С1122+C1212 )K2/2
(С1122+C1212 )K2/2	(С2112+С1122)K2/2

 

Алгебраические дополнения для элементов первой строки будут иметь противоположные знаки, что говорит о том, что смещения вдоль оси х и y происходит в разные стороны и вдоль направления [-110], т.е. перпендикулярно направлению распространения волны. Это тип оптических колебаний.

Третий тип колебаний вызывает смещение вдоль оси z, и перпендикулярно направлению распространения волны и является поперечным типом колебаний.

· Волны в направлении [111]

Для этого направления распространения волновые вектора равны:

К₁= К₂= К₃= К/Ö 3.

Тензор будет иметь вид.

(С1111+C1221+C1331) K2/3	(С1122+C1212 )K2/3	(С1133+C1313 )K2/3
(С1122+C1212 )K2/3	(С2112+C2222+C2332 )K2/3	(С2323+C2233 )K2/3
(С1133+C1313 )K2/3	(С2323+C2233 )K2/3	(С3113+C3223+C3333 )K2/3

 

В этом тензоре для кристаллов кубической сингонии все диагональные и все недиагональные элементы равны друг другу.

Для решения поделим все члены определителя главных значений на не диагональный элемент, и получим определитель

х
	х
		х

 

где .

Корни этого определителя находятся путём сложения всех столбцов(первый корень), вычитанием из первого второго столбца, сложением первого, второго и вычитанием удвоенного третьего столбца.

Решение этого определителя будет три частоты, из которых

две будут одинаковые, но с разными функциями смещения атомов:

(4.12) 1.х+2=0; rw² =(С₁₁₁₁+4 С₁₂₂₁+2С₁₁₂₂)K²/3, d_х=d_y=d_z

(4.13) 2.х-1=0; rw² =(С₁₁₁₁+ С₁₂₂₁ -С₁₁₂₂)K²/3, d_х=-d_y, d_z=0

(4.14) 3. х-1=0; rw² =(С₁₁₁₁+ С₁₂₂₁ -С₁₁₂₂)K²/3, d_х=d_y=-2d_z

 

Таким образом, для первого типа колебаний смещение атомов будет происходить в направлении волнового вектора К [111].Это продольная волна акустического типа.

Второй тип колебаний имеет смещения в направлении [1-10] или перпендикулярно направлению распространения, третий тип колебаний имеет направления смещения атомов [11-2] и тоже перпендикулярно направлению распространения волны. Эти два типа колебаний принадлежат к оптической ветви колебаний. Скорости распространения двух последних волн колебаний равны.

Величины волнового вектора К определяется длиной волны К=2p/l, а скорость распространения равна v=w/K. Откуда скорость продольной волны будет: , а скорость поперечных волн будет .

 

· Другие направления распространения колебаний.

Для других направлений следует находить главные значения тензора колебаний и главные направления, однако для них решение может не быть в аналитическом виде. Точно также направления продольных и поперечных волн и подразделение на продольные и поперечные волны зависит от выбранного направления в кристалле.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: