Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x

	Факт	Lg(Y)	Переменная	Lg(x)
	Y(t)		X(t)
	64.0	1.806		1.806
	56.0	1.748		1.833
	52.0	1.716		1.914
	48.0	1.681		1.881
	50.0	1.699		1.924
	46.0	1.663		1.982
	38.0	1.580		2.000
		11.893		13.340
Сред.знач.	50.5714	1.699	81.429	1.906

 

Обозначим Y = lg ŷ, X = lg x, A = lg a. Тогда уравнение примет вид:

Y = A + b X - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.6

Таблица 3.6

		1, 8062		1, 8062	3, 2623	3, 2623	61.294	2.706	4.23	7.322
		1, 7482		1, 8325	3, 2036	3, 3581	58.066	-2.066	3.69	4.270
		1, 7160		1, 9138	3, 2841	3, 6627	49.133	2.867	5.51	8.220
		1, 6812		1, 8808	3, 1621	3, 5375	52.580	-4.580	9.54	20.976
		1, 6990		1, 9243	3, 2693	3, 7029	48.088	1.912	3.82	3.657
		1, 6628		1, 9823	3, 2960	3, 9294	42.686	3.314	7.20	10.982
		1, 5798		2, 0000	3, 1596	4, 0000	41.159	-3.159	8.31	9.980
итог		11, 8931		13, 3399	22, 6370	25, 4528		0, 51	42.32	65.407

 

 

 

 

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Y=3.3991-0, 8921 X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

 

Получим уравнение степенной модели регрессии:

 

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации: 0.836

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83, 6 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F> F_ТАБЛ = 6, 61 для a = 0, 05. к1=m=1, k2=n-m-1=5

Уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимое, т. к. F> F_ТАБЛ.

Средняя относительная ошибка

.

В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 6, 04 %.

 

Построение показательной функции

Уравнение показательной кривой: ŷ = a b ^x

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

 

lg ŷ = lg a + x lg b

Обозначим Y = lg ŷ, B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + B x.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.7.

 

 

t
		1, 8062		115, 60		0, 1072	0, 0115	-17, 43	303, 76	60, 6	11, 464	3, 3859	5, 290
		1, 7482		118, 88		0, 0492	0, 0024	-13, 43	180, 33		3, 9632	-1, 991	3, 555
		1, 7160		140, 71		0, 0170	0, 0003	0, 57	0, 33	49, 7	5, 4221	2, 3285	4, 478
		1, 6812		127, 77		-0, 017	0, 0003	-5, 43	29, 47	53, 1	25, 804	-5, 08	10, 583
		1, 6990		142, 71		0, 0000	0, 0000	2, 57	6, 61	48, 6	2, 0031	1, 4153	2, 831
		1, 6628		159, 62		-0, 036	0, 0013	14, 57	212, 33	42, 5	11, 933	3, 4544	7, 509
		1, 5798		157, 98		-0, 119	0, 0142	18, 57	344, 90	40, 7	7, 3132	-2, 704	7, 117
итог		11, 8931		963, 28			0, 0300		1077, 7		67, 903	0, 8093	41, 363
ср знч	50, 57	1, 6990	81, 4	137, 61									5, 909

Таблица 3.7.

 

 

 

Уравнение будет иметь вид: Y=2, 09-0, 0048

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенциирование данного уравнения:

.

Определим индекс корреляции

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 82, 8 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

 

Рассчитаем F-критерий Фишера:

F> F_ТАБЛ = 6, 61 для a = 0, 05; к1=m=1, k2=n-m-1=5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимое, т. к. F> F_ТАБЛ .

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения ŷ для показательной функции отличаются от фактических на 5.909 %.

 

Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: ŷ = a + b / x.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1 / х. В результате получим линейное уравнение

ŷ = a + b Х.

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3.8

Таблица 3.8.

t
			0, 0156	1, 0000	0, 0002441	13, 43	180, 33	61, 5	2, 489	6, 1954	3, 889
			0, 0147	0, 8235	0, 0002163	5, 43	29, 47	58, 2	-2, 228	4, 9637	3, 978
			0, 0122	0, 6341	0, 0001487	1, 43	2, 04	49, 3	2, 740	7, 5089	5, 270
			0, 0132	0, 6316	0, 0001731	-2, 57	6, 61	52, 7	-4, 699	22, 078	9, 789
			0, 0119	0, 5952	0, 0001417	-0, 57	0.32653	48, 2	1, 777	3, 1591	3, 555
			0, 0104	0, 4792	0, 0001085	-4, 57	20, 90	42, 9	3, 093	9, 5648	6, 723
			0, 0100	0, 3800	0, 0001000	-12, 57	158, 04	41, 4	-3, 419	11, 69	8, 997
итого			0, 0880	4, 5437	0, 0011325		397, 71	354, 2	-0, 246	65, 159	42, 202
ср знач	50, 57		0, 0126	0, 6491	0, 0001618						6, 029

 

 

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

ŷ =5, 7 + 3571, 9 / х

Определим индекс корреляции

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83, 5 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

F-критерий Фишера:

F> F_ТАБЛ = 6, 61 для a = 0, 05; к1=m=1, k2=n-m-1=5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимое, т. к. F> F_ТАБЛ .

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 6, 029 %.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 3.9.

Параметры   Модель	Коэффициент детерминации R2	F-критерий Фишера	Индекс корреляции ryx (ryx)	Средняя относительная ошибка Еотн
1.Линейная	0, 822	23, 09	0, 907	5, 685
2.Степенная	0, 828	24, 06	0, 910	6, 054
3.Показательная	0, 828	24, 06	0, 910	5, 909
4.Гиперболическая	0, 835	25, 30	0, 914	6, 029

 

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F – критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R² имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: