Линейные дифференциальные уравнения порядка n.

Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением порядка n.

Если то оно называется неоднородным, а если , то однородным: .

 

Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

.

Если составить многочлен с теми же коэффициентами, и степенными функциями той же степени, что был на этом же месте порядок производной, то такой многочлен называется характеристическим, а уравнение - характеристическим уравнением.

Теорема 1. Функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения есть характеристический корень.

Доказательство. Ищем решение в виде .

Если , то , , ... .

Подставим в уравнение .

Получим .

Во всех слагаемых одинаковая экспонента, вынесем её за скобку:

.

Но поскольку , то .

Что и требовалось доказать.

Итак, решениями могут быть не все экспоненты, а лишь некоторые избранные, не более n штук, потому что многочлен степени n имеет не больше n различных корней.

Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.

Доказательство.

Пусть и - два различных решения уравнения

.

То есть, они оба обращают его в тождество:

и

.

Надо доказать, что линейная комбинация тоже подходит в качестве решения. Известно, что для производной, а также и последующих выполняется свойство линейности: , поэтому , , и т.д.

Тогда, подставляя линейную комбинацию в дифференциальное уравнение, получим:

=

Но ведь в каждой скобке 0, так как каждая из этих функция была решением уравнения. Получается .

Таким образом, линейная комбинация решений тоже является решением линейного уравнения.

 

Случай 1. Все характеристические корни действительны и различны.

, . Тогда возможные решения это n различных экспонент: . Эта система функций называется «фундаментальная система решений» (ФСР). Но так как по теореме 2, любая линейная комбинация тоже является решением, то все функции вида тоже решения.

называется «общим решением» дифференциального уравнения.

 

Пример.Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение: , оно сводится к виду , корни , . Тогда решениями могут быть только и . Сделаем проверку для каждой из экспонент. Подставим каждую из них в уравнение.

1) = .

2) = .

Проверка выполнена. Обе экспоненты являются решениями.

При этом никакая третья экспонента не может служить решением этого же уравнения, потому что характеристический многочлен 2-й степени, и он имеет максимум 2 корня.

ФСР состоит из и . Общее решение: .

 

Случай 2.Все характеристические корни действительные, но среди них есть кратные.

Если есть корень кратности , то в системе решений будут присутствовать , то есть одну и ту же экспоненту раз включать в фундаменатльную систему решений нельзя, иначе фактическое количество функций в ФСР получится меньше, чем n.

Кроме самой экспоненты, нужно взять ещё и с домножением на степенные, по нарастанию степеней до .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение: , то есть , характеристическое корни . Тогда ФСР: , а общее решение: .

Сделаем проверку. Для очевидно. Проверим .

, тогда , .

= = = = 0.

 

Случай 3. Не все корни действительны (есть комплексные характеристические корни).

Если корень (а также при этом и ), то в ФСР, в числе всех прочих, входят две такие функции: и .

Пример. , такой пример мы выше решали и другим способом, а теперь рассмотрим это уравнение как линейное. Характеристическое уравнение , корни , то есть . Решения .

 

Теорема 3.(Теорема о наложении решений). Если - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью , а - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью , то сумма является решением уравнения с правой частью .

Доказательство. Доказывается аналогично теореме 2.

Пусть верно и

.

Тогда подставим сумму в левую часть: =

+ = .

Таким образом, если в неоднородном уравнении правая часть состоит из нескольких слагаемых, то можно решить более простые уравнения (для каждого из них отдельно) и сложить решения.

Замечание. Такое же утверждение верно не только для суммы, но и для линейной комбинации. Здесь коэффициенты равны 1 только для простоты и наглядности доказательства.

Следствие 1. Сумма решений линейного неоднородного и соответствующего однородного дифференциального уравнения является решением неоднородного уравнения.

Доказательство. В условиях прошлой теоремы, взять одну правую часть , а вторую . тогда сумма решений является решением уравнения с правой частью .

 

Следствие 2. Разность двух различных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения является решением соответствующего однородного.

(Слово «соответствующего» здесь означает, что с той же левой частью, что и было неоднородное).

 

Понятие линейной комбинации, которое рассмотрели выше, здесь обобщено из векторной алгебры (вспомнить системы векторов). Рассмотрим другие обобщения, например, линейной зависимости и независимости системы.

 

Определение. Система функций называется линейно-независимой, если из равенства следует, что все коэффициенты . Если же это равенство возможно при каком-то наборе коэффициентов (т.е. не все они равны 0), то система называется линейно-зависимой.

 

Примеры. ЛЗС. Возьмём коэффициенты 2 и .

. Если в системе есть хотя бы две пропорциональные функции, то системы ЛЗС.

ЛНС. Какими бы ни были коэффициенты, получается многочлен 2 степени , и здесь 0 может получиться, только лишь в том случае, если обнулить все коэффициенты.

ЛНС. Ни одна экспонента одной степени не представляется в виде другой экспоненты, умноженной на коэффициент.

 

Чтобы выяснить, ЛЗС или ЛНС система векторов, в линейной алгебре применяли определители. Здесь же фактически нет матрицы, так как просто n скалярных функций. Тем не менее, оказывается, что здесь тоже можно достроить до квадратной матрицы, а именно с помощью их производных. Если во 2-й строке записать все их первые производные, в 3-й строке - вторые производные, и так далее, до порядка, с той целью, чтобы получилась именно квадратная матрица, такой определитель называется определителем Вронского.

Рассмотрим определители Вронского в тех примерах, которые были выше.

Система функций .

Система функций . .

Система функций . =

, так как числа разные (разность в скобке точно не 0) а экспонента не равна 0.

Как видим на примерах, определитель Вронского для линейно зависимой системы получился тождественно равен 0, а для независимых - нет. На следующей лекции докажем этот факт в общем виде:

Теорема 4. система функций линейно-зависима.

 

Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).

Лекция № 1

1. Докажите формулу интегрирования по частям.

Лекция № 2

1. Доказать, что замена , где r = НОК (r₁,..., r_k) сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби.

2. Доказать, что замена замена сводит интеграл вида к интегралу от рациональной дроби.

3. Вывести формулы преобразования синуса и косинуса

для универсальной тригонометрической замены .

4. Доказать, что в случае, когда функция нечётна относительно косинуса, замена сводит интеграл к рациональной дроби.

5. Доказать, что в случае, когда

замена: сводит интеграл к рациональной дроби.

6. Доказать, что для интеграла вида замена своит интеграл к рациональной дроби.

7. Доказать формулу

8. Доказать, что для интеграла вида замена своит интеграл к рациональной дроби.

9. Доказать, что для интеграла вида замена сводит интеграл к рациональной дроби.

 

Лекция № 3

1. Доказать, что функция является первообразной от функции .

2. Доказать формулу Ньютона- Лейбница: .

3. Доказать формулу длины явно заданной кривой:

.

4. Доказать формулу длины кривой, заданной в полярных координатах

Лекция № 4

Докажите теорему: сходится , сходится .

Лекция № 5

1. Вывести (доказать) формулу площади явно заданной поверхности .

2. Вывод формул перехода к полярным координатам .

3. Вывод определителя Якоби полярных координат .

4. Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам .

5. Вывод определителя Якоби цилиндрических координат .

6. Вывод формул перехода к сферическим координатам:

.

 

Лекция № 6

1. Доказать, что замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

2. Вывести общий вид решения линейного однородного уравнения.

3. Вывести общий вид решения линейного неоднородного уравнения методом Лагранжа.

4. Доказать, что замена сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению.

 

Лекция № 7.

1. Доказать, что замена понижает на k порядок уравнения .

2. Доказать, что замена понижает на единицу порядок уравнения .

3. Доказать теорему: Функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения есть характеристический корень.

4. Доказать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного дифф. уравнения тоже есть его решение.

5. Доказать теорему о наложении решений: Если - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью , а - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью , то сумма является решением уравнения с правой частью .

 

 

Приложение 2.

Мелкие и устные вопросы на знание теории (для коллоквиумов).

 

Лекция № 1

1. Что такое первообразная и неопределённый интеграл, чем они отличаются?

2. Объяснить, почему тоже является первообразной.

3. Напишите формулу интегрирования по частям.

4. Какая замена требуется в интеграле вида и каким образом она устраняет корни?

5. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни различны и действительны.

6. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни действительны, и есть один кратный корень кратности k.

 

Лекция № 2.

1. Напишите, какое разложение рациональной дроби на простейшие в случае, когда в знаменателе есть множитель 2 степени с отрицательным дискриминантом.

2. Какая замена сводит интеграл к рациональной дроби?

3. Что такие универсальная тригонометрическая подстановка?

4. Какие замены производятся в случаях, когда функция под знаком интеграла нечётна относительно синуса (косинуса)?

5. Какие замены производятся в случае наличия в подынтегральной функции выражений , , или .

 

Лекция № 3.

1. Определение определённого интеграла.

2. Перечислите некоторые из основных свойств определённого интеграла.

3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Напишите формулу объёма тела вращения.

5. Напишите формулу длины явно заданной кривой.

6. Напишите формулу длины параметрически заданной кривой.

 

Лекция № 4.

1. Определение несобственного интеграла (с помощью предела).

2. Чем отличаются несобственные интегралы 1 и 2 рода.

3. Приведите простые примеры сходящихся интегралов 1 и 2 рода.

4. При каких сходятся интегралы (Т1).

5. Как сходимость связана с конечным пределом первообразной (Т2)

6. Что такое необходимый признак сходимости, его формулировка.

7. Признак сравнения в конечной форме

8. Признак сравнения в предельной форме.

9. Определение кратного интеграла.

 

Лекция № 5.

1. Смена порядка интегрирования, показать на простейшем примере.

2. Напишите формулу площади поверхности.

3. Что такое полярные координаты, напишите формулы перехода.

4. Чему равен якобиан полярной системы координат?

5. Что такое цилиндрические и сферические координаты, в чём их отличие.

6. Чему равен якобиан цилиндрических (сферических) координат.

 

Лекция № 6.

1. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка (общий вид).

2. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка, разрешённое относительно производной. Приведите какой-нибудь пример.

3. Что такое уравнение с разделяющимися переменными.

4. Что такое общее, частное решение, условия Коши.

5. Что такое однородное уравнение, каков общий метод его решения.

6. Что такое линейное уравнение, в чём состоит алгоритм его решения, что такое метод Лагранжа.

7. Что такое уравнение Бернулли, алгоритм его решения.

 

Лекция № 7.

1. Какая замена необходима для уравнения вида .

2. Какая замена необходима для уравнения вида .

3. Покажите на примерах, как можно выразить в виде .

4. Что такое линейное дифференциальное уравнение порядка n.

5. Что такое характеристический многочлен, характеристическое уравнение.

6. Сформулировать теорему о том, при каком r функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения.

7. Сформулировать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже есть его решение.

8. Сформулировать теорему о наложении решений и следствия из неё.

9. Что такое линейно-зависимая и линейно-независимая системы функций, привести какие-нибудь примеры.

10. Что такое определитель Вронского системы из n функций, приведите пример определителя Вронского для ЛЗС и ЛНС систем.

 

Приложение 3. Задачи из лекций.

Лекция № 1

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

Пример. Пример. .

Пример. . Пример. .

Лекция № 2

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

 

Лекция № 3 , , , , .

Пример. Вычислить .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Пример. Вывести формулу объёма шара .

Лекция № 4

Вычислить , , , .

Выяснить сходимость: , .

Вычислить , где есть квадрат: , .

Вычислить , D треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1).

 

 

Лекция № 5.

Пример. Сменить порядок интегрирования .

Пример. Вычислить интеграл где D куб .

Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

 

Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .

 

Лекция № 6.

Пример. Решить дифф. уравнение .

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Пример. Решить уравнение .

Пример. Решить уравнение .

Пример. Решить линейное уравнение .

 

Лекция № 7.

Пример. Решить уравнение 2 порядка .

Пример. Решить уравнение 3 порядка .

Пример.Решить уравнение .

Пример.Решить уравнение .

Пример. Решить уравнение .

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: