Момент силы относительно точки и оси. Пара сил

1.4.1. Момент силы относительно точки и оси. Рассмотрим силу , приложенную к твердому телу в точке А(x, y, z).

Очевидно, что сила стремится повернуть тело относительно начала координат. Это воздействие назовем моментом силы относительно точки О; оно характеризуется:

- величиной, пропорциональной как модулю силы, так и наименьшему расстоянию от линии действия силы до начала координат (это расстояние на рис.9 обозначено h и называется плечом силы ),

- положением в пространстве плоскости, в которой лежат векторы и (точнее, нормали к этой плоскости),

- направлением вращательного воздействия.

 

Сопоставим воздействию математическую модель в виде связанного с точкой О вектора, равного

 

(5.а)

 

Очевидно, что принятая математическая модель учитывает все указанные выше характеристики моделируемого вращательного воздействия.

Если известны модуль силы и ее плечо относительно точки О, то модуль вектора момента может быть вычислен как:

 

(5.б)

 

Момент силы относительно точки О может быть определен и через проекции соответствующих векторов на оси координатной системы, как

(5.в)

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки оси.

В качестве примера разберем вычисление момента силы относительно оси z.

Сначала (см. рис. 10) разложим силу на две составляющие – вдоль оси z ( ) и перпендикулярную оси z ( ).

 

 

 

Поскольку состояние тела должно сохраняться при замене равнодействующей на ее составляющие, момент от равнодействующей может быть вычислен, как сумма моментов от ее составляющих, т.е.

 

(6)

 

Заметим, что приведенное выше соображение в некоторых источниках носит название теоремы Вариньона.

Очевидно, что составляющая стремится сдвинуть тело вдоль оси z, не стремясь повернуть его вокруг оси z (т.е. ее момент относительно оси z равен нулю). Кратчайшее расстояние от линии действия составляющей до оси z есть h (см. рис. 3.2).

Таким образом,

 

(7)

 

что совпадает с проекцией вектора момента на ось z в формуле (5.в).

Отметим следующие свойства момента силы:

- момент силы относительно точки не меняется при переносе силы вдоль ее линии действия (т.к. не изменяется плечо силы),

- момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку (т.к. плечо силы равно нулю),

- момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси, либо ее пересекает (т.е. если сила и ось лежат в одной плоскости).

 

1.4.2. Пара сил. Момент пары сил. Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил , действующих на твердое тело (рис. 11). Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил называется плечом пары.

Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который можно моделировать вектором, называемым моментом пары.

Момент пары рассчитывается как сумма моментов сил, образующих пару, и вычисленных относительно некоторой точки О твердого тела, т.е.:

 

(8)

Так как выбор точки О был произволен, то вектор момента пары можно считать приложенным в любой точке, т.е. это вектор свободный.

Таким образом, математической моделью момента пары сил является свободный вектор, направленный перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой стрелки; модуль вектора пары равен произведению модуля одной из сил на плечо пары (см. рис. 11). Заметим, что связанные векторы момента силы относительно точки В и момента силы относительно точки А совпадают с вектором момента пары по величине и направлению; отмеченное обстоятельство позволяет для расчета момента пары использовать формулы (5).

 

 

Из формулы (8) следует, что две пары сил, имеющих одинаковые моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на твердое тело одинаковое механическое действие. При этом пары сил могут располагаться как в одной плоскости, так и в параллельных плоскостях, а величины сил и плеч могут принимать любые значения (при сохранении, конечно, величины их произведения).

Очевидно (см. формулу (8)), что если на тело действует несколько пар с моментами , то сумма моментов всех сил, образующих эти пары, относительно любой точки будет равна

 

(9)

 

то есть вся совокупность этих пар эквивалентна одной паре с моментом . Этот результат выражает теорему о сложении пар.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: