Устойчивость положения равновесия

Выведем механическую систему из положения равновесия, произвольным образом сообщив ее обобщенным координатам и обобщенным скоростям небольшие по модулю значения.

Если при дальнейшем движении системы обобщенные координаты и их скорости будут оставаться по модулю малыми величинами (т.е. система не будет далеко отклоняться от положения равновесия), то рассматриваемое положение будет устойчивым, в противном случае – неустойчивым [1]. Это определение не является математически точным, но оно достаточно широко применяется в механике (строгое определение устойчивости движения впервые дано А.М.Ляпуновым).

Приведем без вывода теорему Лагранжа – Дирихле: если в положении равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво [1].

Так система с одной степенью свободы имеет минимум потенциальной энергии при условии

. (60)

Для консервативной системы с 2-мя степенями свободы устойчивость рассматриваемого положения равновесия так же определяется из условия минимума потенциальной энергии

. (61)

Если вблизи положения равновесия квадратичная форма (61) определенно положительна, то потенциальная энергия в этом положении должна иметь минимум, и, как следствие, это положение должно быть устойчивым.

На вопрос о знаке любой квадратичной формы отвечает теорема Сильвестра: для того, чтобы квадратичная форма была определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы квадратичной формы были положительны (с доказательством этой теоремы можно ознакомиться в курсах линейной алгебры).

Матрица квадратичной формы (61) и ее главные диагональные миноры и имеют вид

; ;

Таким образом, критерий определенной положительности квадратичной формы (61) будет

; . (62)

Итак, порядок действий по оценке устойчивости найденного положения равновесия для систем с любым числом степеней свободы следующий: разлагаем функцию потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат, ограничиваясь членами второго порядка малости; из обобщенных коэффициентов жесткости составляем матрицу; вычисляем величины всех ее главных диагональных миноров. Если они все положительны, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво.

Отметим, что теорема Лагранжа – Дирихле не отвечает на вопрос, будет ли неустойчивым положение равновесия в случае отсутствия в нем минимума потенциальной энергии. Для одного частного случая на этот вопрос отвечает следующая теорема Ляпунова: равновесие консервативной системы неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии определяется членами второго порядка малости в ее разложении в ряд по степеням обобщенных координат.

ПРИМЕР 18. Найти условие, при котором вертикальное положение стержня из примера16 будет устойчиво.

РЕШЕНИЕ. Разложим функцию потенциальной энергии в ряд по степеням

По условию (60) вертикальное положение стержня будет устойчиво, если будет положителен обобщенный коэффициент жесткости; последнее утверждение будет справедливо при условии , что соответствует случаю на рис.21.

Теперь выполним анализ вертикального положения равновесия сопоставлением величин опрокидывающего и восстанавливающего моментов.

В случае, когда , дадим стержню небольшое отклонение вправо от вертикального положения равновесия, после чего внешнее воздействие прекратим. Из рисунка 21 видно, что в этом случае , и стержень будет возвращаться в исходное положение. Если дать стержню небольшое отклонение влево, то , и стержень будет снова возвращен в исходное положение. Вывод – в случае, когда вертикальное положение стержня – устойчивое.

Рассуждая аналогично, нетрудно понять, что в случае, когда , положение стержня оказывается безразличным, так как при небольшом отклонении влево или вправо имеет место равенство (при увеличении значения равенство нарушается).

В случае, когда вертикальное положение стержня оказывается неустойчивым, так как небольшое отклонение приводит к возрастанию отклонения, так как в этом случае (см. рис.21). Возрастание отклонения будет продолжаться, пока отклонение стержня не достигнет величины (следующее положение равновесия). Анализ графиков моментов показывает, что при дальнейшем отклонении от нового положения равновесия вправо на небольшую величину имеет место неравенство , что свидетельствует о стремлении стержня вернуться в пройденное положение равновесия. При отклонении от нового положения равновесия влево на небольшую величину имеет место неравенство , что свидетельствует о стремлении стержня увеличить угол отклонения до величины . На основании анализа можно сделать вывод, что в случае, когда положение равновесия будет устойчивым, а вертикальное положение ( ) - неустойчивым.

ПРИМЕР 19. Для механической системы, изображенной на рис.2.2, найти условие, при котором найденное положение статического равновесия будет устойчивым.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся результатами решения примера 17:

.

В положении статического равновесия (при ) , а обобщенна сила должна быть равна нулю, то есть

.

Тогда квадратичная форма для потенциальной энергии будет . Она определенно положительна при , что является условием устойчивости найденного положения равновесия.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Можно ли утверждать, что малые колебания любых механических систем описываются линейными дифференциальными уравнениями?

2. Какие пути нахождения положений равновесия механической системы вам известны? Как записываются условия равновесия в статике и в аналитической механике?

3. Как записать условие равновесия для консервативной механической системы?

4. Какое положения равновесия называется устойчивым?

5. Расскажите об анализе устойчивости положения равновесия на основании сопоставления момента опрокидывающего и момента восстанавливающего.

6. Как анализировать устойчивость положения равновесия механической системы в общем случае? Сформулируйте критерии Сильвестра для механической системы с двумя степенями свободы.

7. Сформулируйте теорему Лагранжа – Дирихле. В каком случае невыполнение теоремы Лагранжа – Дирихле свидетельствует о неустойчивости положения равновесия (теорема Ляпунова)?

8. Решите следующие задачи из [2]:

Лекция 6

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: