Некоторые вспомогательные формулы

Алгоритм оформляется в виде блок – схем.

начало (конец) програмы ввод – вывод

логический блокарифметический блок

выводя на принтер блок модификаций

обращение к процедуре логическое следование

Типы алгоритмов: линейный, разветвляющийся, циклический

Алгоритм линейной структуры – выполняет действия в строгой линейной последовательности.

Алгоритм разветвляющийся структуры - выполняет действия в одном из предусмотренных направлений

Алгоритм циклический структуры– предусматривает выполнение многократно повторяющихся действий.

Пример выполнения задачи 1Б

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм линейной структуры и составить программу.

Условие: найти площадь грани, площадь полной поверхности и объем куба с длиной ребра - а.

Решение: примем обозначения: а → А, S_гр → SGR,

S_п→ SP, V_куб → V

Блок – схема Программа

REM алгоритм лин. структуры ‘оператор- комментарий

INPUT “Длина ребра куба A”; A ‘ ввод данных

V = A ^ 3

END ‘конец программы

Результат выполнения программы:

Длина ребра куба A? 3_

Sгр = 9 Sп = 54 V = 27

Пример выполнения задачи 2А

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм разветвленной структуры и составить программу вычисления функции

Условие: вычислить значение функции , де

Решение: примем обозначения: Y → Y, a → A, x → X, n → N

При решении необходимо предусмотреть два варианта: при равенстве нулю знаменателя в формуле Y вычисление не происходит и выдается текстовое сообщение, в противном случае вычисляется значение функции Y и печатается результат.

Блок – схема

+ -

Программа

REM алгоритм разветвляющейся структуры ‘оператор- комментарий

INPUT “ A, N”; A, N ‘ввод данных

X = SIN (N+1) / (2+N) ‘операторы присваивания

IF X < > 0 THEN ‘оператор условного перехода

Y = (A+TAN(A ^ 2+1)) / X ^ 2 ‘операторы присваивания

PRINT “Y =”; Y ‘вывод

ELSE

PRINT “Функция Y не определена” ‘вывод

END IF ‘завершение оператора условного перехода

END ‘конец программы

Результат выполнения программы:

1-й вариант

A, N? 2, 3_

Y = -60.25818266

2-й вариант

A, N? 2, -1_

Функция Y не определена

Пример выполнения задачи 2Б

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм разветвленной структуры и составить программу вычисления функции

Условие: , если 1 < x < 2

y = , если x ≥ 2

, если x ≤ 1

Решение: примем обозначения: Y → Y, x → X, a → A, b → B

При решении необходимо предусмотреть три возможных варианта вычисления функции Y по одной из трех формул в зависимости от условий.

Блок – схема

+ -

-

Y 3-я формула

Y 2-я формула

 

Программа

REM алгоритм разветвляющейся структуры ‘оператор- комментарий

INPUT “ A, B, X”; A, B, X ‘ввод данных

IF X > 1 AND X < 2 THEN ‘оператор условного перехода

Y = (A+ X^2) ^ (1 / 3) ‘оператор присваивания

ELSE IF X > = 2 THEN ‘оператор условного перехода

Y = LOG (0.5 + X) ‘оператор присваивания

ELSE

Y = SIN (ABS(X)) + B ‘операторы присваивания

END IF ‘завершение оператора условного перехода

END IF ‘завершение оператора условного перехода

PRINT “Y =”; Y ‘вывод

END ‘конец программы

Результат выполнения программы:

1-й вариант A, B, X? 2, 3, 1.5 _

Y = 1.61977

2-й вариант A, B, X? 2, 3, 4 _

Y = 1.504077

3-й вариант A, B, X? 2, 3, -1 _

Y = 3.017452

Пример выполнения задачи 3 А

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм циклической структуры и составить программу табулирования функции.

Условие: , де ,

Решение: примем обозначения y_k → yk, x_k → xk, Δ → DL, k → К

В основе решения лежит простой цикл, при реализации которого заранее известно число циклических действий (повторений). Решение можно осуществить с помощью операторов WHILE – WEND, DO – LOOP, FOR – NEXT.

Блок – схемы

1. Цикл ''Пока'' 2. Цикл '' До'' 3. Цикл ''Со счетчиком''

k=2

		xk

xk

yk

yk

+

yk

k=k+2

k=k+2

-

+

 

Замечание:

в алгоритмах № 1 и 2 необходимо до начала циклических действий выполнить начальные присваивания – действия, обеспечивающие выполнение первого шага цикла (в данном примере – это начальное значение параметра цикла k = 2).

Программы

REM алгоритм циклической структуры ''Пока'' ‘оператор- комментарий

INPUT “ DL”; DL ‘ввод данных

K= 2 ‘оператор присваивания

WHILE K < = 10 ‘оператор начала цикла

XK =0.2+DL * K: YK = SIN(ABS(1- XK))^3 ‘оператор присваивания

PRINT “Y''; K; ” =”; YK ‘вывод

K= K+2 ‘оператор присваивания

WEND ‘завершение цикла

END ‘ конец программы

REM алгоритм циклической структуры '' До'' ‘оператор- комментарий

INPUT “ DL”; DL ‘ввод данных

K= 2 ‘оператор присваивания

DO ‘оператор начала цикла

XK =0.2+DL * K: YK = SIN(ABS(1- XK))^3 ‘оператор присваивания

PRINT “Y''; K; ” =”; YK ‘вывод

K= K+2 ‘оператор присваивания

LOOP UNTIL K > 10 ‘завершение цикла

END ‘конец программы

REM алгоритм цикл. структуры ''Со счетчиком'' ‘оператор- комментарий

INPUT “ DL”; DL ‘ввод данных

FOR K = 2 TO 10 STEP 2 ‘оператор начала цикла

XK =0.2+DL * K: YK = SIN(ABS(1- XK))^3 ‘оператор присваивания

PRINT “Y''; K; ” =”; YK ‘вывод

NEXT K ‘завершение цикла

END ‘конец программы

Результат выполнения программы:

DL? 0.3 _

Y2 = 7.841378E-03

Y4 = 5.905402E-03

Y6 =.5958232

Y8 =.9987214

Y10 =.5284869

Пример выполнения задачи 3 Б

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм циклической структуры и составить программу вычисления суммы

Условие: , де ,

Решение: обозначимs → S, xi → XI, x₀ → X0, h → H, i → I

Блок – схемы

1. Цикл ''Пока'' 2. Цикл '' До'' 3. Цикл ''Со счетчиком''

	i =1, S=0
		i =1, S=0
			S=0

-

xi

xi

xi

+

Si = cos xi3

-

Si = cos xi3

		S = S + Si
	S = S + Si
		i = i +1

 

 

i = i +1

_

+

Замечания:

Во всех алгоритмах до начала циклических действий выполняются начальные присваивания (в данном примере – это S = 0 – начальное значение суммы и i = 1 – начальное значение параметра цикла в алгоритмах № 1 и 2).

Вывод результата вычисления суммы осуществляется после окончания циклических действий.

Программы

REM алгоритм цикл. структуры ''Пока'' ‘оператор- комментарий

INPUT “ H, X0 ”; H, X0 ‘ввод данных

I = 1: S = 0 ‘операторы присваивания

DO UNTIL I > 11 ‘оператор начала цикла

XI = X0+H * I: SI = COS (XI ^ 3) ‘операторы присваивания

S = S + SI: I = I + 1

LOOP ‘завершение цикла PRINT “S =”; S ‘вывод

END ‘конец программы

REM алгоритм цикл. структуры '' До'' ‘оператор- комментарий

INPUT “ H, X0 ”; H, X0 ‘ввод данных

I = 1: S = 0 ‘операторы присваивания

DO ‘оператор начала цикла

XI = X0+H * I: SI = COS (XI ^ 3) ‘операторы присваивания

S = S + SI: I = I + 1

LOOP WHILE I < = 11 ‘завершение цикла

PRINT “S =”; S ‘вывод

END ‘конец программы

REM алг. цикл. структуры ''Со счетчиком''‘оператор- комментарий

INPUT “ H, X0 ”; H, X0 ‘ввод данных

S = 0 ‘оператор присваивания

FOR I = 1 TO 11 ‘оператор начала цикла

XI = X0+H * I: SI = COS (XI ^ 3) ‘операторы присваивания

S = S + SI

NEXT I ‘завершение цикла

PRINT “S =”; S ‘вывод

END ‘конец программы

Результат выполнения программы:

H, X0? 1.2, 0.4 _

S= -4.155788

Пример выполнения задачи 4

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм комбинированной структуры и составить программу

Условие: Вычислить значение функции

, 0, 5 < с < 2, 5

y = , с ≤ 0, 5 или с ≥ 2, 5,

для с = -1, 5; -0, 5; -0, 1; 0; 0, 5; 1, 75; 1, 8; 2, 5; 3, 4; 5, 7.

Тут . Пренебречь членами ряда, меньшими ε = 10 ^{- 4}

Решение: обозначим z → Z, z_n → ZN, i → I, n → N, ε → EPS как простые переменные, c → C(I), y → Y(I) как одномерные массивы, длина каждого из которых составляет 10 элементов (по количеству заданных значений с).

Комбинированный алгоритм данной задачи состоит из фрагментов разветвляющегося алгоритма и двух циклических: простого (с заранее известным числом повторений) и итерационного (для вычисления суммы Z), прекращение которого происходит при достижении заданной точности вычислений z_n < ε = 10^-4.

Реализация итерационного цикла возможна только с помощью циклических алгоритмов типа ''Пока'' или ''До''. Для простого цикла можно использовать цикл ''Со счетчиком''.

Первая часть алгоритма осуществляет вычисление переменной Z (итерационный цикл) значение которой используется во второй части (простой цикл вычисления функции Y(I) с разветвлением – выбором соответствующей формулы, в зависимости от введенного значения переменной C(I)).

1-й вариант

Блок – схема

+

+ -

Программа

REM алгоритм комбинированной структуры ‘оператор- комментарий

DIM EPS, N, Z, ZN, I, C(1 TO 10), Y(1 TO 10) ‘ описание переменных

INPUT “ EPS ”; EPS ‘ввод данных

DATA –1.5, -.5, -.1, 0,.5, 1.75, 1.8, 2.5, 3.4, 5.7 ‘строка данных

N = 1: Z = 0 ‘оператор присваивания

DO ‘оператор начала цикла

ZN = 0.1*N / (N+0.6)^3: Z=Z+ZN ‘операторы присваивания N= N + 1

LOOP WHILE ABS(ZN) > EPS ‘завершение цикла

PRINT “Z=”; Z ‘вывод

FOR I = 1 TO 10 ‘оператор начала цикла

READ C(I) ‘ввод данных

IF C(I)> .5 AND C(I)< 2.5 THEN ‘оператор условного перехода

Y(I) = (C(I) * Z - 3) ^ 2 ‘оператор присваивания

ELSE Y(I) =.5 * Z ^ 3 - 5 * C(I) ‘оператор присваивания

END IF ‘завершение оператора условного перехода

PRINT “Y”; I; “=”; Y(I) ‘вывод

NEXT I ‘завершение цикла

END ‘конец программы

2-й вариант (с использованием подпрограммы пользователя)

Замечания

Фрагмент вычисления Z выделен в отдельный программный модуль – подпрограмму пользователя (SUB) с именем SUMZ.

Место подпрограммы SUB - после текста основного модуля.

Ввод программы, в тексте которой находится обращение к подпрограмме пользователя, выполняется в 2 этапа:

1. После ввода последней строки основной программы необходимо ввести часть заголовка процедуры, а именно SUB < имя> и нажать ENTER.

На экране появятся 3 строки

SUB имя

-

END SUB

2. Ввод текста процедуры.

После ввода последнего оператора подпрограммы необходимо нажать клавишу F2.

На экране в поле диалога появляются имена головного модуля (например, UNTITLED) и функции.

С помощью курсорных клавиш и ENTERможно перейти в поле редактирования головного модуля или подпрограммы.

Запуск процедуры SUB осуществляется из головной программы оператором CALL

CALL имя подпрограммы (факт. параметр[, ф.п....])

Обмен данными между головным модулем и подпрограммой, осуществляется 2 способами:

1. Использование глобального объявления типов данных с помощью оператора DIM SHARED (данные, которые объявлены глобальными, доступны как в основной программе, так и в процедуре)

2. Использование механизма формально-фактических параметров (здесь подпрограмма использует формальные параметры, значения которых определяются с помощью фактических параметров при обращении к подпрограмме).

Между фактическими и формальными параметрами существует соответствие по типу, количеству и порядку следования.

Оба способа обмена могут быть использованы в одной процедуре.

После выполнения подпрограммы SUB управление передается оператору, следующему за оператором – вызовом подпрограммы CALL

Блок – схема

			n=1, z =0

Z = Z + Zn

n = n + 1

+ -

+

Программа

REM алгоритм комб. структуры с подпрограммой ‘оператор- комментарий

REM основная программа

DIM SHАRED I, EPS, N, Z, ZN ‘описание простых переменных

DIM C(1 TO 10), Y(1 TO 10) ‘описание массивов

INPUT “ EPS ”; EPS ‘ввод данных

DATA –1.5, -.5, -.1, 0,.5, 1.75, 1.8, 2.5, 3.4, 5.7 ‘строка данных

CALL SUMZ(EPS, Z) ‘ обращение к подпрограмме вычисления Z

FOR I = 1 TO 10 ‘оператор начала цикла

READ C(I) ‘ввод данных

IF C(I)> .5 AND C(I)< 2.5 THEN ‘оператор условного перехода

Y(I) = (C(I) * Z - 3) ^ 2 ‘оператор присваивания

ELSE Y(I) =.5 * Z ^ 3 - 5 * C(I) ‘оператор присваивания

END IF ‘завершение оператора условного перехода

PRINT “C”; I; “=”; C(I) ‘вывод

NEXT I ‘завершение цикла

END ‘конец основной программы

SUB SUMZ(EPS, Z) ‘заголовок (начало) подпрограммы SUMZ

N = 1: Z = 0 ‘операторы присваивания

DO ‘оператор начала цикла

ZN =.1*N / (N+0.6)^3: Z=Z+ZN: N= N + 1 ‘операторы присваивания

LOOP WHILE ABS(ZN) > EPS ‘завершение цикла

PRINT “Z=”; Z ‘вывод

END SUB ‘конец подпрограммы SUMZ

Результат выполнения программы:

EPS? .001 _

Z = 5.597609E-02

Y2 = 2.500088

Y3 = 5.000088

Y4 = 8.769555E-05

Y5 = -2.499912

Y6 = 8.421847

Y7 = 8.40561

Y8 = -12.49991

Y9 = -16.99991

Y10 = -28.49991

Пример выполнения задачи 5 А

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм и составить программу обработки одномерных массивов

Условие: Задан одномерный массив, состоящий из mэлементов a_i.

Получить новый массив Виз исходного массива А заменой элементов с четными порядковыми номерами числом π , остальные элементы массива В получить делением соответствующих элементов исходного массива А на максимальный элемент этого массива.

Решение: обозначим a_i → A(I), b_i → В(I), m → M, i → I,

π → PI, a_max → MAX.

Для решения задачи необходимо предварительно найти максимальный элемент массива и затем сформировать новый массив В.

Блок – схема

+ -

+ -

	B(i) = π

Программа

REM одномерный массив ‘оператор- комментарий DIM M, PI, I, MAX ‘описание простых переменных

INPUT “ M, PI ”; M, PI ‘ввод данных

DIM A(1 TO M), B(1 TO M) ‘описание массивов

DATA –1.1, -3.5, 1.8, 0,.75, 3.25, 0, 2.5, 5.25 ‘строка данных

FOR I = 1 TO M ‘оператор начала цикла READ A(I) ‘ввод данных

NEXT I ‘завершение цикла

MAX=A(1) ‘оператор присваивания

FOR I = 1 TO M ‘оператор начала цикла

IF MAX < A(I) THEN ‘оператор условного перехода

MAX = A(I) ‘оператор присваивания

END IF ‘завершение оператора условного перехода

NEXT I ‘завершение цикла

PRINT “MAX”; MAX ‘вывод

FOR I = 1 TO M ‘оператор начала цикла

IF (-1) ^ I > 0 THEN ‘оператор условного перехода

B(I) = PI ‘оператор присваивания

ELSE B(I) = A(I) / MAX ‘оператор присваивания

END IF ‘завершение оператора условного перехода

PRINT “B”; I; “=”; B(I) ‘вывод

NEXT I ‘завершение цикла END ‘конец программы

Результат выполнения программы:

M, PI? 9, 3.14 _ Для расчетов был использован одномерный массив

MAX = 5.25 А = –1.1, -3.5, 1.8, 0,.75, 3.25, 0, 2.5, 5, 25

B1 = -.2095238 В результате получено следующее:

B2 = 3.14 максимальный элемент MAX = 5, 25

B3 =.3428571 новый массив В

B4 = 3.14 В = –0.21, 3.14, 0.34, 3.14, 0.14, 3.14, 0, 3.14, 1

B5 =.1428571

B6 = 3.14

B7 = 0

B8 = 3.14

B9 = 1

Пример выполнения задачи 5 Б

Задание: В соответствии с условием разработать алгоритм и составить программу обработки двумерных массивов

Условие: Задан двумерный массив, состоящий из m строк и nстолбцов элементов: a_ij.

Определить в каждом столбце количество k_jэлементов отличных от 0 с нечетными номерами строк.

Получить новый массив Сиз исходного массива А заменой нулевых элементов последним элементом каждой строки.

Решение: обозначим a_ij → A(I, J), c_ij → C(I, J), m → M, n → N,

i → I, j → J, k_j → K(J).

Блок – схема

- +

K(J)=K(J)+1

﷒

+

- +

C(i, J)=A(I, J)

C(i, J)=A(i, N)

Программа

REM двумерный массив ‘оператор- комментарий

DIM M, N, I, J ‘описание простых переменных

INPUT “ M, N ”; M, N ‘ввод данных

DIM K(1 TO N) ‘ описание одномерного и двумерных массивов

DIM A(1 TO M, 1 TO N), C(1 TO M, 1 TO N)

DATA 3, 6, 0, 2, 9, 5, 0, 4, 0, 7, 3, 2, 3, 8, 0, 5 ‘ строка данных

FOR I = 1 TO M ‘оператор начала цикла по i

FOR J = 1 TO N ‘оператор начала цикла по j

READ A(I, J) ‘ввод данных

NEXT J ‘завершение цикла по j

NEXT I ‘завершение цикла по i

FOR J = 1 TO N STEP 2 ‘оператор начала цикла по j

K(J) = 0 ‘оператор присваивания

FOR I = 1 TO M ‘оператор начала цикла по i

IF A(I, J) < > 0 THEN ‘оператор условного перехода

K(I) = K(I) + 1 ‘оператор присваивания

END IF ‘завершение оператора условного перехода

NEXT I ‘завершение цикла по i

PRINT “K”; J; ”=”; K(J) ‘вывод

NEXT J ‘завершение цикла по j

FOR I = 1 TO M ‘оператор начала цикла по i

FOR J = 1 TO N ‘оператор начала цикла по j

IF A(I, J) = 0 THEN ‘оператор условного перехода

C(I, J) = A(I, N) ‘оператор присваивания

ELSE C(I, J) = A(I, J) ‘оператор присваивания

END IF ‘завершение оператора условного перехода

PRINT “C(”; I; ”, ”; J; “) =”; C(I, J) ‘вывод

NEXT J ‘завершение цикла по j

NEXT I ‘завершение цикла по i

END ‘конец программы

Для расчетов был использован следующий двумерный массив

Результат выполнения программы:

M, N? 4, 4 _ В результате выполнения программы

K1 = 1 K2 = 2 K3 = 1 K2 = 2 получено:

C(1, 1) = 3

C(1, 2) = 6 одномерный массив К = 1; 2; 1; 2 и

C(1, 3) = 2

C(1, 4) = 2 двумерный массив С

C(2, 1) = 9

C(2, 2) = 5

C(2, 3) = 4

C(2, 4) = 4

C(3, 1) = 2

C(3, 2) = 7

C(3, 3) = 3

C(3, 4) = 2

C(4, 1) = 3

C(4, 2) = 8

C(4, 3) = 5

C(4, 4) = 5

ЛІТЕРАТУ