Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы к которой относится число будем указывать в виде нижнего индекса.

10101101.101₂= 1 2⁷+ 0^.2⁶+ 1^.2⁵+ 0^.2⁴+ 1^.2³+ 1^.2²+ 0^.2¹+ 1^.2⁰+ 1^.2^-1+ 0^.2^-2+ 1^.2^-3 = 173.625₁₀

б) Перевести 703.04₈ в" 10" с.с.

703.04₈= 7^.8²+ 0^.8¹+ 3^.8⁰+ 0^.8^-1+ 4^.8^-2= 451.0625₁₀

в) Перевести B2E.4_{16 в} " 10" с.с.

B2E.4₁₆= 11^.16²+ 2^.16¹+ 14^.16⁰+ 4^.16^-1= 2862.25₁₀

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример.

а) Перевести 181₁₀ в " 8" с.с.

Результат: 181₁₀= 265₈

б) Перевести 622_{10 в} " 16" с.с.

Результат: 622₁₀= 26E₁₆

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример.

Перевести 0.3125₁₀ в " 8" с.с.

Результат: 0.3125₁₀= 0.24₈

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Перевести 0.65₁₀ в" 2" с.с. Точность 6 знаков.

Результат: 0.65₁₀ 0.101001₂

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.

Перевести 23.125₁₀" 2" с.с.

1) Переведем целую часть:	2) Переведем дробную часть:

 

Таким образом: 23₁₀= 10111₂; 0.125₁₀= 0.001₂. Результат: 23.125₁₀= 10111.001₂.

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таблица 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таблица 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

Пример.

а) Перевести 305.4₈" 2" с.с.

б) Перевести 7B2.E₁₆" 2" с.с.

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример.

а) Перевести 1101111001.1101₂" 8" с.с.

б) Перевести 11111111011.100111₂" 16" с.с.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример. Перевести 175.24₈" 16" с.с.

Результат: 175.24₈= 7D.5₁₆.

Лекция 2

Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0 0=0 01=0 10=0 11=1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример. Выполнить сложение двоичных чисел: а) X=1101, Y=101;

Результат 1101+101=10010.

б) X=1101, Y=101, Z=111;

Результат 1101+101+111=11001.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

Результат 10010 - 101=1101.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Пример. 1001101=?

Результат 1001101=101101.

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример. 1100.011: 10.01=?

Результат 1100.011: 10.01=101.1.

Упражнения 1.

1. Перевести следующие числа в десятичную систему счисления:

а) 110111₂; б) 10110111.1011₂; в) 563.44₈; г) 721.35₈; д) 1C4.A₁₆; е) 9A2F.B5₂.

2. Перевести следующие числа из " 10" с.с в " 2", " 8", " 16" с.с.:

а) 463; б) 1209; в) 362; г) 3925; д) 11355.

3. Перевести следующие числа из " 10" с.с в " 2", " 8", " 16" с.с. (точность вычислений - 5 знаков после точки):

а) 0.0625; б) 0.345; в) 0.225; г) 0.725; д) 217.375; е) 31.2375; ж) 725.03125; з) 8846.04.

4. Перевести следующие числа в двоичную систему счисления:

а) 1725.326₈; б) 341.34₈; в) 7BF.52A₁₆; г) 3D2.C₁₆.

5. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а) 11011001.01011₂" 8" с.с.; б) 1011110.1101₂" 8" с.с.; в) 1101111101.0101101₂" 16" с.с.; г) 110101000.100101₂" 16" с.с.

6. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а) 312.7₈" 16" с.с.; б) 51.43₈" 16" с.с.; в) 5B.F₁₆" 8" с.с.; г) D4.19₁₆" 8" с.с.

7. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X-Y, если:

а) X=1101001; Y=101111; б) X=101110110; Y=10111001; в) X=100011001; Y=101011.

8. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y, если:

а) X=1000010011; Y=1011; б) X=110010101; Y=1001; в) X=100101.011; Y=110.1; г) X=100000.1101; Y=101.01.

123Следующая ⇒

Поделиться: