Правила сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B).

Теорема сложения вероятностей любых событий.

Вероятность появления хотя бы одного из двух событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB).

 

Если при вычислении вероятности события никаких ограничений не полагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, равна

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

Событие А называется независимым от события В, если Р(А)=Р_в(А), то есть вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. А не зависит от В, только если В не зависит от А. В случае такой ситуации говорят просто о независимых событиях.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ)=Р(А)·Р(В).

Пример. В коробке имеется 5 флагов стран-членов БРИКС. Флаги вынимают по одному и выкладывают в ряд. Какова вероят- ность, что последовательность будет такая: флаг России, ЮАР, Китая, Индии, Бразилии.

Решение. Всего 5 флагов.Вероятность того, что первым будет флаг России равна . Теперь в коробке осталось 4 флага, поэтому вероятность того, что вторым будет флаг ЮАР равна , затем осталось 3 флага и вероятность вытащить флаг Китая равна , Индии , Бразилии 1. Таким образом, искомую вероятность Р найдем по теореме умножения Р= 1= .

 

Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Формула полной вероятности является следствием основных теорем сложения и умножения.

Теорема. Пусть событие А может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Пусть известны вероятности этих событий (т.е. гипотез ) В_i и условные вероятности события А при гипотезах В_i. Тогда полная вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на соответствующую условную вероятность события А

Пример. Собирается определенное число собак для таможенной службы из двух питомников. Первый питомник поставляет 60% всех собак для службы на данной границе, второй − 40%. Вероятность предоставления первым питомником собак с хорошим умением равна 0, 9, вторым питомником − 0, 8. Найти вероятность того, что случайно выбранная из предоставленных собак будет обладать этим умением.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранная собака обладает хорошим умением акцентироваться на запахах, а через В₁, В₂ –гипотезы, состоящие в том, что это собака из первого, или второго, соответственно, питомника. Из условия задачи следует, что Р(В₁)=0, 6; Р(В₂)=0, 4; (А)=0, 9; (А)=0, 8.

Используя формулу полной вероятности, получаем Р(А)=

Теорема. Пусть событие А может произойти с одним из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Произведем опыт, в результате которого произошло некоторое событие А. Тогда

, i=1, 2, …, n.

Эти формулы называют формулами Байеса.

Пример. Два вуза готовят сотрудников таможни. Первый вуз готовит 75% всех сотрудников данной таможни, второй – 25%. Первый вуз выпускает 95% высококвалифицированных кадров, второй – 90%. Выбранный наугад сотрудник этой таможни оказался хорошим специалистом. Найти вероятность того, что он окончил второй вуз.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный сотрудник - хороший специалист, В₁, В₂ –гипотезы, состоящие в том, что выбранный наугад сотрудник – выпускник первого, или второго вуза соответственно. При этом по условию, Р(В₁)=0, 75; Р(В₂)=0, 25; (А)=0, 95; (А)=0, 9. В соответствии с формулами Байеса при n=2 имеем Р_А(В₂)= =0, 24. Обратите внимание на то, что знаменатель P(A)=0, 75·0, 95+0, 25·0, 9 вычисляется по формуле полной вероятности.

 

Повторные испытания

На практике зачастую приходится сталкиваться с ситуациями, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при определенном комплексе условий. При этом важным бывает узнать результат не единичного опыта, а серии одинаковых испытаний.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Описанная последовательность независимых испытаний носит название схемы Бернулли.

Теорема.

Пусть производится " n" независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, вероятность появления события А в каждом опыте равна " р", а вероятность не появления q=1-p. Тогда вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, равна .

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. При заполнении таможенной декларации надо ответить на 6 вопросов. Вероятность правильного ответа на каждый вопрос 0, 9. Найти вероятность правильного ответа на 5 из поставленных вопросов.

Решение. Вероятность события А (правильный ответ при заполнении декларации) р=0, 9, тогда q= 1-0, 9=0, 1. Искомая вероятность равна = 6·0, 591·0, 1=0, 354

Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется такое число k₀, для которого вероятность P_n(k₀) превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел k появления события A, то есть P_n(с)≥ P_n(k). Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний n и вероятность появления события A в отдельном испытании. Если произведено " n" независимых испытаний и вероятность появления события А в каждом из них равна р¹ 0, то наивероятнейшее число k₀ заключено в пределах .

Пример. Вероятность получения удачного результата при досмотре перевозимого груза на пограничном таможенном пункте
(обнаружение в грузе запрещенных веществ) равна 0, 75. Найти наивероятнейшее число положительных результатов, если общее количество досмотров за одну смену равно 10.

Решение. В этом примере n=10, p=0, 75, q=0, 25.Неравенство имеет вид , . Только одно целое число является решением этого двойного неравенства – число k₀=8.

Если число испытаний n велико, то вычислять вероятности по формуле Бернулли становится сложно. В этих случаях используют формулы для приближенного значения вероятностей P_n(k).

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность " р" появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в " n" испытаниях ровно " k" раз, выражается приближенной формулой

где - функция четная, ее значения протабулированы и сведены в таблицу, в зависимости от значений " х". Если х ³ 4, то j(х) = 0.

 

Пример. Вероятность поражения мишени биатлонистом при одном выстреле р=0, 85. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах спортсмен поразит мишень 90 раз.

Решение.

 

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: