Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема: «Интегральное исчисление функции одной переменной»Стр 1 из 5Следующая ⇒
Тема: «Интегральное исчисление функции одной переменной» Введение Интеграл – одно из основных математических понятий, возникшее в связи с отысканием функции по заданной ее производной и вычислением площади криволинейной трапеции. Эти задачи привели к двум видам интеграла: неопределенному и определенному. Изучение свойств и методов вычисления интеграла составляет задачу интегрального исчисления. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его основные свойства Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала заданной функции. Основной задачей интегрального исчисления является нахождение функции по заданной ее производной или дифференциалу.
Определение: Функция называется первообразной для данной функции, если ее производная равна данной функции.
Обозначение: . Вопрос: Является ли функция х2 первообразной для функции 2х? Ответ: Функция х2 является первообразной для функции 2х, так как .
Вопрос: Какая из двух функций 3х2 или х3 является первообразной для другой? Ответ: Функция х3 является первообразной для функции 3х2, так как . Функция 3х2 является производной от функции х3. Вопрос: Какая из двух функций х5+7 или 5х4 является первообразной для другой? Ответ: Функция х5+7 является первообразной для функции 5х4, так как . Функция 5х4 является производной от функции х5+7.
Упражнения: Какая из двух функций является первообразной для другой?
Дифференциал первообразной Пусть функция является первообразной для функции , то есть . Воспользуемся определением дифференциала функции для вычисления дифференциала первообразной: Дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, то есть .
Вывод: Дифференциал первообразной для данной функции равен произведению данной функции на дифференциал аргумента. Пример: Найти дифференциал первообразной для функции . ; ; . Задача: Являются ли функции ; ; ; первообразными для функции ? Воспользуемся определением первообразной: . ; ; ; . Ответ: Данные функции являются первообразными для функции . Вывод: Функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную: , С – постоянная. Теорема: Если функция является первообразной для функции на интервале , то множество всех первообразных для функции задается формулой , где С – постоянная. Замечание: Операция нахождения всех первообразных для данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование обозначается с помощью знака неопределенного интеграла .
Определение: Неопределенным интегралом от данной функции называется совокупность ее первообразных: . – подынтегральная функция; – дифференциал аргумента х; – подынтегральное выражение; С – постоянная интегрирования. – первообразная для функции . Пример:
Замечание:
Замечание:
Пример: 1) ; . 2) ; .
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы) Замечание: Для получения интегралов от элементарных функций можно воспользоваться известным фактом: операции дифференцирования и интегрирования являются взаимообратными. ; . Табличные интегралы
Методы интегрирования 4)
Ответ: . 2. ; ; 1) ; 2) ; 3) ; ; 4)
; ; 1) ; 2) ; 3) ; ; 4)
; ; Ответ: . 3. ; 1) ; 2) ; 3) ; ;
4)
Ответ: . Упражнения: Вычислить определённые интегралы:
Ответы:
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.
Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7. Решение:
Задача №2. Выразить площади фигур через площади криволинейных трапеций. Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5. Решение:
Задача №3. Найти концы интервала, на котором построена фигура, ограниченная функциями: 1) ; ; 2) ; ; 3) ; . Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Решение: 1) Концами интервала a u b, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссы точек пересечения параболы и оси абсцисс . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; ; Ответ: ; . 2) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения параболы и прямой . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; Ответ: ; . 3) Концами интервала a u b, на котором построена данная фигура, являются абсциссы точек пересечения парабол и . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; Ответ: ; . Упражнения:
Построим криволинейную трапецию Р0М0МР, ограниченную функцией , положительной и возрастающей при рассматриваемых значениях аргумента .
От чего зависит площадь криволинейной трапеции Р0М0МР? 1. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от длины отрезка , на котором она построена: чем больше длина отрезка , тем больше площадь криволинейной трапеции Р0М0МР. 2. Площадь криволинейной трапеции Р0М0МР зависит от вида ограничивающей её функции .
Вывод: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной и неотрицательной функцией на отрезке оси абсцисс равна определённому интегралу в пределах от а до b от функции . Вывод: Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что определённый интеграл в пределах от а до b от непрерывной и неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией на отрезке оси абсцисс. Пример:
Решение: Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции:
. Ответ:
Решение: ; - ветви направлены вниз; ; ; ; ; - вершина параболы; - ось симметрии параболы;
Концы интервала, на котором построена данная криволинейная трапеция, являются абсциссами точек пересечения параболы и оси абсцисс . Решим способом подстановки систему уравнений: Û Û ; ; ; ; ; ; ; Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции: .
Ответ: Упражнения:
Рис. 1. Рис. 2. Решение: Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Приложение Тема: «Интегральное исчисление функции одной переменной» Введение Интеграл – одно из основных математических понятий, возникшее в связи с отысканием функции по заданной ее производной и вычислением площади криволинейной трапеции. Эти задачи привели к двум видам интеграла: неопределенному и определенному. Изучение свойств и методов вычисления интеграла составляет задачу интегрального исчисления. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 767; Нарушение авторского права страницы