Обратная функция. Элементарные функции

Понятие функции

Когда наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области экономики или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения.

Переменной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, может прини­мать различные значения. Постоянной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, сохраняет одно и то же значение.

Отметим, что выполнение комплекса условий является очень важным. Так, одна и та же величина может быть переменной или постоянной в зависимости от того, в каких условиях она рассматривается. Например, цена на хлеб (и некоторые другие продукты) в условиях рыночной экономики является величиной переменной. В условиях жесткого планирования цена на хлеб может держаться на одном уровне и быть постоянной величиной.

Переменные величины обычно обозначаются последними бук­вами латинского алфавита (х, у, z, и, v, w), а постоянные — первыми (а, Ь, с).

Изучая какое-нибудь явление, обычно имеем дело с сово­купностью переменных величин, которые связаны между собой так, что каждым значениям одних величин соответствуют значе­ния других. Так, например, ясно, что:

1) каждому значению цены товара соответствует определен­ная величина спроса;

2) каждому значению объема производства соответствует определенная величина издержек;

3) каждому году соответствует сумма накопившегося денеж­ного вклада в Сбербанке.

Во всех этих примерах общим является то, что каждому чи­словому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.

Дадим определение понятия функции, являющегося центральным понятием математического анализа, причем внача­ле ограничимся случаем двух переменных величин. Пусть даны два множества X и Y.

Определение. Правило , сопоставляющее каждому числу единственное число , называется функцией, заданной на множестве X и принимающей значения в множестве Y. Задать функцию – значит задать три объекта: 1) множе­ство X, 2) множество , 3) правило . О функции говорят, что она действует из X в и пишут: .

Иногда функцией называют также уравнение у = f(x), т.е. формулу, где у выражено через х с помощью правила . В урав­нении у = f{x) переменную х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной. О величинах х и у говорят, что они связаны функциональной зависимостью.

Множество всех значений независимой переменной, для ко­торых определена функция (т. е. при которых функция вообще имеет смысл), называется областью определения или об­ластью существования этой функции, обозначается D(f). Множество всех значений функции называется областью зна­чений функции и обозначается E(f).

В экономических задачах часто приходится рас­сматривать зависимости одной переменной от многих других. Например, национальный доход Y зависит от затрат труда L и объема производственных фондов; издержки производства зави­сят от материальных затрат и расходов на оплату рабочей силы. В этом случае говорят о функции нескольких переменных.

Бывают случаи, когда одной переменной соответствует несколько других. Например, некоторому значению цены на товар соответствуют определенные значения спроса и предложения, т.е. одной переменной соответствуют две другие. Тогда говорят о двузначной или многозначной функции (в отличие от однозначной).

Наличие функциональных зависимостей социально-экономи­ческих явлений позволяет использовать для решения экономиче­ских проблем методы математического анализа.

1.3 Способы задания функции

Различают три способа задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический.

1. Аналитический способ. Если функция выражена при помощи формулы, устанавливающей, какие вычислительные опе­рации надо произвести над х, чтобы получить у, то говорят, что она задана аналитически.

При аналитическом способе задания функция может быть задана:

явно, когда дано выражение у через х, т. е. формула имеет вид ;

неявно, когда х и у связаны между собой уравне­нием вида F(x, у)=0;

параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены через третью переменную величину t, называемую параметром.

Аналитический способ удобен для выполнения математиче­ских действий над функцией и решения задач прогнозирования.

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таб­лицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции , например таблица логарифмов.

3. Графический способ состоит в изображении графика функ­ции – множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значе­ния функции y=f(x).

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность. Функция называется чет­ной, если для любых значений х из области определения = и нечетной, если = . В противном случае функ­ция у = называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ор­динат (например, график функции y=x²), а гра­фик нечетной функции симметричен относительно начала коор­динат (например, график функции у=х³ ).

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумен­та из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значе­ние функции.

Функции возрастающие и убывающие называются монотон­ными функциями.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что М для любого х X.

Например, функция у= sin х ограничена на всей числовой оси, ибо 1 для любого х R.

4. Периодичность. Функция у = f (х) называется периодической с периодом Т 0, если для любых х из области определения функции (х + Т) = (х).

Напр., функция у= sin х имеет период Т = 2 , так как для любых х sin (х +2 ) = sin х.

 

Классификация функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий. К чис­лу алгебраических функций относятся:

• целая рациональная функция (многочлен или полином): у= ;

• дробно–рациональная функция – отношение двух многочле­нов;

• иррациональная функция (если в составе операций над аргу­ментом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной. К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

 

Глава 2. Элементарные функции

2.1 Основные элементарные функции

Прежде чем ввести необходимые определения отметим, что функции, называемые элементарными, были первыми функци­ями, которые подверглись математиками наиболее детальному изучению и начали широко использоваться в приложениях мате­матики. Их особая роль в математическом анализе объясняется тем, что они обладают рядом важных свойств. Приведем два наиболее важных из них: 1) всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения; 2) производ­ная от элементарной функции есть также элементарная функция.

К основным элементарным функциям относят пять классов функций:

1) степенные;

2) показательные;

3) логарифмические;

4) тригонометрические;

5) обратные тригонометрические.

 

2.2 Преобразования графиков функций

Если известен график функции y=f(x), то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осе­вой и центральной симметрии и т. п.) можно построить графики более сложных функций.

1. График функции получается сжатием графика f (x) в b раз к оси Оу при b > 1 или растяжением в 1/b раз от этой оси Оу при 0< b < 1 (рис. 1).

2. График функции f (х+с) получается параллельным пере­носом графика f {x) в отрицательном направлении оси Ох на |с| при с> 0 и в положительном направлении на |с| при с< 0 (рис. 2).

3. График функции af (x) получается растяжением графика f (x) вдоль оси Оу в а раз при а > 1 и сжатием вдоль этой оси в 1/ а раз при 0< а< 1 (рис. 3).

 

4. График функции f(x)+k получается параллельным пере­носом графика / (х) в положительном направлении оси Оу на k при k > 0 и в отрицательном направлении этой оси на при k < 0 (рис. 4).

рис. 4 рис. 5

5. График функции y=f (–х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Оу (рис. 5).

6. График функции у= –f (х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Ох (рис. 6).

7. График функции получается из графика функ­ции y=f(x) следующим образом: часть графика y=f(x), лежа­щая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох (рис. 7).

рис. 7 рис. 8

 

8. График функции получается из графика функции y=–f(x) следующим образом: при график y=f(x) сохраня­ется, а при х< 0 полученная часть графика отображается сим­метрично относительно оси Оу (рис. 8).

9. «Сложение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции + , достаточно для каждого х сложить ординаты графиков этих функций (рис. 9).

10. «Умножение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции ∙ , достаточно для каждого х перемножить ординаты графиков этих функций. График функции строят, деля на ординаты графика функции .При этом в точках, где обращается в нуль, функция не определена. Обычно около этих точек график функции неограниченно удаляется от оси абсцисс (рис. 10).

 

 

 

 

Понятие сходимости

Последовательностью называется числовая функция , заданная на множестве натуральных чисел . В дальнейшем вместо будем писать . Если – натуральное число, а – значение последовательности в точке , то говорят, что называется номером числа , а само число называют общим или -ым членом последовательности. Последовательность с общим членом обозначают кратко .

Последовательности бывают конечные и бесконечные.: бесконечная последовательность – последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ...; конечная последовательность – последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

У некоторых бесконечных последовательностей члены с большими номерами оказываются близкими к какому–то постоянному числу, причем это приближение тем точнее, чем больше номер члена.

Определение: число а называется пределом числовой последовательности , если для любого (сколь угодно малого) положительного числа найдется номер N такой, что для всех членов последовательности с номерами п > N выполняется неравенство . Если это выполняется, то пишут .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что доля достаточно больших члены последовательности как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине меньше, чем на число , каким бы малым оно ни было).

Определения предела функции

Понятие предела функции лежит в основе математического анализа. Пусть – число. Если значения функции приближаются к некоторому числу b, когда значения аргумента приближаются к числу а, то это число b называют пределом функ­ции в точке а.

Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится и ее предел равен . Принято писать .

Определение 2. («на языке – »): число b называется пределом функции f(x) в точке а (или при стремлении х к а), если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 найдется число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < < (1), выполняется неравенство < (2).

Замечание. В определении предполагается, что функция f(x) опре­делена в некоторой окрестности точки а (за исключением, возможно, самой точки а) и что х в неравенствах (1) и (2) принадлежит этой окрестности.

Геометрически означает, что точки графика функции у = f(x) приближаются к точке (а, b) на плоскости Оху при приближении точки х к точ­ке а на оси х (рис. a). Неравенства (1) и (2) геометрически означают, что при всех х, достаточно близких к а, точки графика функции f(x) лежат в сколь угодно узкой полоске вида b– < y < b + (рис. б) .

 

Расширение понятия предела

Бесконечно малая последовательность–это последовательность, пре­дел которой равен нулю.

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последователь­ность.

Если члены последовательности с ростом номера неограниченно воз­растают, то говорят о бесконечном пределе последовательности.

Определение: предел последовательности x₁, х₂, ...., х_n…,... равен бесконечности, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 найдется номер N такой, что при всех п ³ N выполняется неравенство . В этом случае пишут .

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Теорема: если , то ; если , то .

Односторонние пределы. В некоторых вопросах важно изучать поведение функции не просто вблизи заданной точки, а с одной стороны от этой точки – слева или справа (односторонние пределы.).

Определение: число b₁ называется левым пределом, (или пределом слева) функции f(x) в точке а, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству a– < x< a (3), выполняется неравенство < (4).

Принято писать , или .

В определении предполагается, что функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т. е. при х Î (а – , a), где > 0, и что х в не­равенствах (3) и (4) принадлежит этой полуокрестности.

Аналогично определяется правый предел (или предел справа): , или .

В этом случае (3) следует заменить неравенством а < х < а + .

Обычный предел существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и равны.

Бесконечные пределы.

Если при приближении х к некоторой точке а значения функции неограниченно возрастают, говорят о бесконечном пределе функции в этой точке.

Определение: функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0< < (5), выполняется неравенство (6).

Принято писать = . (читается «предел f(x) в точке а равен бесконечности» или « f(x) стремится к бесконечности при х а»). График функции у = f(x), имеющей бес­конечный предел в точке а, при х а неограничен­но удаляется от оси х, приближаясь к прямой х = а («вертикальная асимп­тота», см. рис.).

Если при х, удовлетворяющих (5); вместо (6) выполняется не­равенство f(x) > Е (или f(x) < – Е), то говорят, что =+ , соответственно =– .

Вводятся также односторонние бесконечные пределы.

Замечание. Возможен случай, когда левый предел конечный, а правый бесконечный (или наоборот); возможен также случай, когда нет ни конечного, ни бесконечного предела.

Если при неограниченном возрастании аргумента значения функции приближаются к некоторому числу, говорят о пределе функции на беско­нечности.

Определение: число b₁ называется пределом функции f(x) на плюс бесконечности, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству

х > (7), выполняется неравенство < . Принято писать = b₁.

В данном определении предполагает­ся, что функция f(x) определена в ок­рестности плюс бесконечности, т. е. при х > , где > 0 – некоторое число. Геометрически = b₁ означает, что при неограниченном удалении точки х от начала координат вправо график функции неограниченно приближается к прямой у = b₁ («горизонтальная асимптота»).

Определение предела функции на минус бесконечности отли­чается от определения тем, что вместо (7) следует написать неравенство х < – . Геометрически =b₂означает, что при неограниченном удалении влево от начала координат график функции неограни­ченно приближается к прямой у = b₂.

Теоремы о пределах функций

1) если предел функции в точке а существует, то он единственный;

2) предел постоянной равен этой постоянной;

3) + – предел суммы равен сумме пределов;

4) = –постоянный множитель можно выносить за знак предела;

5) ∙ – предел произведения равен произведению пределов;

6) , если ¹ 0–предел отношения равен отношению пределов.

В теоремах 3) – 6) предполагается существование пределов всех функ­ций в правых частях равенств.

Для непрерывных функций, вычисление пределов в точках, при­надлежащих области определения, сводится к подстановке соответствую­щих значений аргумента функции, т. е. В частности, это правило относится к элементарным функциям и их комбинациям.

Если =0, то , т.е. величина, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая; если = , то , т. е. величина, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая. Здесь а означает конечную точку или символ .

Выражения вида в случаях, и либо и , называется неопределенностями вида 0/0 или / .

Раскрыть неопределенность – значит вычислить .

Способы раскрытия неопределенностей вида 0/0, / , 0∙ , - , :

1) тождественное преобразование выражения;

1) использование «основных пределов»: первый замечательный предел ;

второй замечательный предел ;

3) применение правила Лопиталя: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных двух функций, то предел отношения этих функций существует и равен пределу отношения произ­водных: .

4.4 Непрерывность функции.

Определение. Функция непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке , т.е. существует ;

2) имеет конечный предел функции при или существуют односторонние пределы функции слева и справа и они равны;

3) предел функции равен значению функции в точке , т.е. .

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва первого рода и второго рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва и неустранимого разрыва или скачка.

Точки устранимого разрыва: существует предел функции при (или существуют односторонние пределы функции слева и справа и они равны), но он не равен ( они не равны) значению функции в этой точке , либо функция не определена в точке .

Устранимый разрыв или скачок: существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу и , но . Величина называется скачком или разрывом.

Разрыв второго рода: хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) если функции и непрерывны в точке , то их сумма + , произведение ∙ и частное / , при условии , являются функциями, непрерывными в точке ;

2) если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке = , то сложная функция непрерывна в точке .

Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. , т.е.

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непре­рывных на отрезке:

1) Если функция не­прерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

2) Если функция не­прерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и своего наибольшего значения M.

3) Если непрерывная функция меняет знак на замкнутом промежутке [а, b], то она имеет по крайней мере один корень внутри интервала (a, b).

 

 

 

а) б) в)

 

Понятие функции

Когда наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области экономики или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения.

Переменной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, может прини­мать различные значения. Постоянной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, сохраняет одно и то же значение.

Отметим, что выполнение комплекса условий является очень важным. Так, одна и та же величина может быть переменной или постоянной в зависимости от того, в каких условиях она рассматривается. Например, цена на хлеб (и некоторые другие продукты) в условиях рыночной экономики является величиной переменной. В условиях жесткого планирования цена на хлеб может держаться на одном уровне и быть постоянной величиной.

Переменные величины обычно обозначаются последними бук­вами латинского алфавита (х, у, z, и, v, w), а постоянные — первыми (а, Ь, с).

Изучая какое-нибудь явление, обычно имеем дело с сово­купностью переменных величин, которые связаны между собой так, что каждым значениям одних величин соответствуют значе­ния других. Так, например, ясно, что:

1) каждому значению цены товара соответствует определен­ная величина спроса;

2) каждому значению объема производства соответствует определенная величина издержек;

3) каждому году соответствует сумма накопившегося денеж­ного вклада в Сбербанке.

Во всех этих примерах общим является то, что каждому чи­словому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.

Дадим определение понятия функции, являющегося центральным понятием математического анализа, причем внача­ле ограничимся случаем двух переменных величин. Пусть даны два множества X и Y.

Определение. Правило , сопоставляющее каждому числу единственное число , называется функцией, заданной на множестве X и принимающей значения в множестве Y. Задать функцию – значит задать три объекта: 1) множе­ство X, 2) множество , 3) правило . О функции говорят, что она действует из X в и пишут: .

Иногда функцией называют также уравнение у = f(x), т.е. формулу, где у выражено через х с помощью правила . В урав­нении у = f{x) переменную х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной. О величинах х и у говорят, что они связаны функциональной зависимостью.

Множество всех значений независимой переменной, для ко­торых определена функция (т. е. при которых функция вообще имеет смысл), называется областью определения или об­ластью существования этой функции, обозначается D(f). Множество всех значений функции называется областью зна­чений функции и обозначается E(f).

123Следующая ⇒

Поделиться: