Основные теоремы дифференциального исчисления

 

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f (х₀) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма : в точке наи­большего или наименьшего значения, достигаемого внутри проме­жутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ферма может быть использована для доказательства следующих теорем о среднем.

Теорема Ролля. Пусть функция у =f(х) удовлетворяет следую­щим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале (а, b);

3)на концах отрезка принимает равные значения, т.е. ¦(a)= ¦(b).

Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка сÎ (a, b), в которой производная функция равна нулю: ¦’(с)=0.

Отметим геометрический смысл теоремы Ролля (см.рис.): найдет­ся хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции бу­дет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю(заметим, что на рис. таких точек две: ₁ и ₂ )

Если ¦(а)=¦(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функ­ции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть функция у= ¦(x) удовлетворяет сле­дующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале (а, b);

Тогда внутри отрезка существует, по крайней мере, одна такая точка

Î (а, b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. .

Заключение теоремы Лагранжа может быть записано и в виде: .

Механический смысл теоремы Ла­гранжа: приращение ¦(b)–¦(a) – это изменение функции на отрезке [a; b]; – средняя скорость изменения функции на этом отрезке; значения же производной в точке – это " мгновенная" скорость изменения функции. Таким образом, теорема утвержда­ет: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.: если перемещать прямую АВ па­раллельно начальному положению, найдется хотя бы одна точка Î (а, b), в которой касательная к графику ¦(х) и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ, параллельны.

Следствие. Если производная функции ¦(х) равна нулю на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Теорема Коши. Если функции и :

1) непрерывны на отрезке ,

2) дифференцируемы на интервале , причем для ,

то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

.

Правило Лопиталя. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или беско­нечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указан­ном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то

или .

 

5.3 Исследование функций и построение графиков

 

Возрастание и убывание функций

Напомним, что функция у=¦(х) называется возрас­тающей (убывающей) на промежутке X, если для любых х₁, х₂ Î Х, х₂> x₁ верно неравенство ¦(x₂)> ¦(x₁) [¦(x₂)< ¦(x₁)].

Теорема (достаточное условие возрастания функции).

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом проме­жутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции).

Если произ­водная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторо­го промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке X, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (не положительна) на этом промежутке: ¦’(x)³ 0 (¦’(x)£ 0), хÎ Х, т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

 

Экстремум функции

Материал этого параграфа наиболее ва­жен для решения задач исследования функций и построения их графиков. Выделим наиболее важные, " узловые", точки функ­ции, нахождение которых во многом определяет структуру графика. Это точки экстремума – максимума и минимума функции.

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется нера­венство £ .

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравен­ство ³ .

Значения функции в точках и называются соответст­венно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто на­зывают локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с доста­точно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может слу­читься, что минимум в одной точке больше максимума в дру­гой, например, на рис. .

Наличие максимума (или минимума) в отдель­ной точке промежутка Х вовсе не означает, что в этой точке функ­ция ¦(x) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)).

Необходимое условие экстремума. Если в точке дифферен­цируемая функция имеет экстремум, то в некоторой ок­рестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция имеет экстремум (минимум) в точке x=0, но не дифференцируема в ней.

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сфор­мулировано следующим образом.

Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстрему­ма, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными ). Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой–либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обя­зательно является точкой экстремума.

Таким образом, для нахождения экстремумов функции требу­ется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: