Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.
Определение 5. Пусть множество в , и каждой точке поставлено в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что на множестве Х определена числовая функция n переменных или функция нескольких переменных. Правило, по которому устанавливается соответствие, обозначают некоторой буквой, например и пишут или , . Другими словами функция n переменных есть отображение множества на множество : , где . Множество Х является областью определения функции , а называют аргументом или независимой переменной. Функция называется элементарной, если она задана с помощью конечного числа арифметической операции и суперпозиций элементарных функций одной переменной. Определение 6. Графиком функции называют множество точек связанных соотношением . Примеры. 1) Функция является линейной функцией n переменных и называетсягиперплоскостью. Область определения её все точки, принадлежащие . 2) Функция называется эллиптическим параболоидом. Если a=b, то это параболоид вращения.Область определения ее множество (нарисовать график). 3) Для функции область определения получается из условия . Откуда следует, что выполнятся неравенства ( . Таким образом, областью определения являются концентрические кольца с центром в начале координат. 4) Функция n-переменных называется квадратичной формой (квадратичная функция n переменных). Пусть определяется на и есть предельная точка множества Х. Определение 7 (О.Л. Коши 1789-1857 фр.). Число называется пределом функции в , если для любого положительного можно указать положительное число такое, что из выполнения условия для любого следует выполнение неравенства . Это определение символически можно записать следующим образом: : . Определение 8. (Г.Э.Гейне 1821-1881 нем.). Число называется пределом в точке , если , сходящейся к следует, что последовательность сходится к . Как и для функции одной переменной доказывается, что определения 7 и 8 равносильны. Предел функции многих переменных обозначается
или . Пример. Найти . Решение. Докажем, что предел равен 0. Выберем , возьмем , такое, что , удовлетворяющих условию и отличных от начала координат справедливо неравенство: .
Для пределов функций нескольких переменных справедливы следующие утверждения, аналогичные соответствующим теоремам для функций одной переменной. • Если имеет предел при , то он единственный. • Критерий Коши. Для того, чтобы имела конечный предел при необходимо и достаточно, чтобы , такое что для из выполнения условий и следовало бы выполнение неравенства . • Пусть и функции с общей областью определения и существуют пределы и . Тогда существуют пределы функций , и и имеют место равенства: , , , . Определение 9. Число называется пределом функции при , если и записывается . Определение 10. Пусть и , при . Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка при . Если , то функции и называются эквивалентными при . Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка по отношению к . Определение 11. Число называют пределом функции по множеству в точке , если , такое что для произвольного из выполнения условия следует . Обозначение . Это обобщение предела функции в точке, на тот случай, когда функция рассматривается не во всей окрестности точки , а на некоторой ее части. Если есть непрерывная кривая Г, проходящая через точку , то называют пределом по кривой Г. В частности, если Г – есть прямая линия с направленным единичным вектором , , то предел по Г называют пределом по направлению вектора . Для функции n-переменных при можно рассматривать n, так называемые, повторные пределы. В частности для функции двух переменных можно рассматривать два повторных предела в точке : и . Если оба повторных предела существуют, то они не обязательно равны между собой. Пример . Найти предел функции в точке . Решение. . . Теорема 3. Если функция определена в , , за исключением может быть самой точки , существует предел и существуют пределы , тогда существуют и повторные пределы и , которые равны между собой и равны : . □ По определению предела функции двух переменных имеем, что существует , такое что, если , то есть . Отсюда следует, что . Переходя к пределу в этих неравенствах при , получим, что при имеет место неравенство . Отсюда следует, что . Таким образом, . Аналогично доказывается, что . < Пусть определена на . Определение 12. Функция называют непрерывной в точке , если – предельная точка множества X; – определена в точке и . На языке « » последнее означает, что , такое, что . Другими словами, если , то тогда . Если не является непрерывной в точке , то она называется разрывной в этой точке, а точку называют точкой разрыва. Можно доказать, что всякая элементарная функция является непрерывной в каждой точке, в которой она определена. Примеры. 1) Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Функция всюду определена и непрерывна, кроме точки . Ранее было показано, что . Тогда точка (0, 0) является точкой устранимого разрыва, т.к. неопределенна, но предел существует и равен 0. Если доопределить , то получим непрерывную функцию. 2) Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Функции и непрерывны при всех как многочлены. По теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций вытекает, что и непрерывны. Так как при любых значениях и , то непрерывна. Определение 13. Функция называется непрерывной намножестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Как и для функций одной переменной справедливы следующие утверждения. • Если функции и определены на множестве и непрерывны в точке , то в определены и непрерывны функции , , . • Если определена и непрерывна в , тогда существует окрестность точки , в которой выполняется условие . Это означает, что функция ограничена в окрестности этой точки. • Если определена и непрерывна в точке и , то существует такая окрестность этой точки, в которой сохраняет знак. • Если функции , , …, непрерывны в точке , а функция непрерывна в точке , где , , то сложная функция непрерывна в точке . Эти теоремы доказываются так же, как теоремы для функций одной переменной.Справедлива также теорема. Теорема 4 (Коши о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть непрерывна на линейно-связанном множестве , причем и значения в точках , а такое, что . Тогда на любой непрерывной кривой Г, соединяющей точки и , целиком принадлежащей Х существует такая точка , что .
Пусть , , …, , – параметрические уравнения кривой , соединяющей точки и из множества и . Тогда на отрезке определена сложная функция одной переменной , где . Очевидно, значение этой функции на отрезке совпадают со значениями на . По теореме о непрерывной сложной функции она непрерывна, а, следовательно, по теореме о прохождении промежуточных значений для функции одной переменной : . Поэтому в точке , координаты которой , , …, будет справедливо равенство . < Определение 14. Функция называется равномерно-непрерывной на множестве , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для и из множества Х таких, что при выполняется неравенство . Это же определение на языке записывается следующим образом . Имеют место утверждения, аналогичные теоремам для функции одной переменной. • Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то ограничена на этом множестве (первая теорема Вейерштрасса). • Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то достигает на точных верхней и нижней граней, т.е. (вторая теорема Вейерштрасса). • Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то равномерно непрерывна на множестве (теорема Кантора). |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 1066; Нарушение авторского права страницы