II. Задача о диете (рационе питания)

1. Экономическая постановка задачи

Имеется несколько видов продуктов. Определить такой рацион питания (количество каждого вида продукта), чтобы были обеспечены нижние границы норм потребления некоторых питательных веществ, а стоимость рациона была наименьшая. Цены за единицу каждого продукта известны.

2. Математическая модель

2.1. Исходные параметры

– количество видов продукта

– количество контролируемых питательных веществ

– нормы потребления каждого питательного вещества (нижние границы)

– содержание i-го питательного вещества в единице j-го продукта

– цена каждого продукта

2.2. Управляемые параметры

– объем закупок каждого продукта

– вектор управляемых параметров (решение, план закупок или рацион)

2.3 Формулировка критерия оптимальности

Сформулируем критерий оптимальности. Пусть – стоимость произвольного рациона . Требуется найти рацион наименьшей стоимости

2.4. Ограничения модели

Потребление каждого питательного вещества не должно быть ниже нормы.
Пусть – содержание i-го питательного вещества в произвольном рационе . Система ограничений имеет вид:

Таким образом, задача о диете ставится как задача определения такого набора управляемых параметров

,

на котором достигается наименьшее значение критерия

при условии

III. Транспортная задача.

1. Экономическая постановка задачи

В некоторых пунктах A_i сосредоточен однородный товар в количестве соответственно а_i . Пункты B_j имеют потребность в этом товаре в количестве b_j соответственно. Известны тарифы перевозок единицы товара. Необходимо составить план перевозок, который обеспечит минимум транспортных затрат.

2. Математическая модель

2.1. Исходные параметры

– количество пунктов A_i

– количество пунктов B_j

– количество товара в пункте A_i

– количество товара в пункте B_j_,причем .

– тариф перевозки единицы товара из пункта A_i в пункт B_j.

2.2. Управляемые параметры

– количество товара, перевезенного из пункта A_i в пункт B_j.

– матрица управляемых параметров (решение, план перевозок).

2.3 Формулировка критерия оптимальности

Сформулируем критерий оптимальности. Пусть – стоимость произвольного плана перевозок . Требуется найти план перевозок наименьших транспортных затрат.

2.4. Ограничения модели

Необходимо вывезти весь товар из пунктов A_i и полностью удовлетворить потребности пунктов B_j в этом товаре Система ограничений имеет вид:

Таким образом, транспортная задача ставится как задача определения такого набора управляемых параметров ,

на котором достигается наименьшее значение критерия

при условии

.

В некоторых случаях для построения математической модели задачи необходимо выполнить дополнительные расчеты. Рассмотрим конкретный пример таких расчетов.

IV. Задача о раскрое.

1. Экономическая постановка задачи

Имеются стержни длиной 5 м. Необходимо их разрезать на заготовки 2-х видов: А – длиной 1, 5 м; В – длиной 0, 8 м для производства 20 изделий. На каждое изделие требуется две длинных заготовки (А) и три коротких (В). Определить число стержней, которое необходимо разрезать каждым из возможных способов, чтобы изготовить нужное число изделий и минимизировать отходы.

2. Математическая модель

Прежде всего, перебрав все возможные способы, построим карту раскроя одного стержня (таблица 1).

Таблица 1

Способ Количество заготовок А (по 1, 5 м) Количество заготовок В (по 0, 8 м) Отходы, м

- 0, 5

0, 4

0, 3

- 0, 2

Для изготовления 20 изделий потребуется 40 заготовок А (20´ 2=40) и 60 заготовок В (20´ 3=60).

Введем переменные (управляющие параметры). Обозначим за – количество стержней, которые будут разрезаны I способом, – II способом, – III способом, – IV способом.

Сформулируем критерий оптимальности. Пусть целевая функция Z описывает отходы. Ее будем минимизировать. Найдем отходы, полученные при разрезании стержней:

– отходы, полученные при разрезании стержней 1-м способом, так как 5 - 3·1, 5 = 0, 5;

– отходы, полученные при разрезании стержней 2-м способом, так как 5 - 2·1, 5 - 2· 0, 8 = 0, 4;

– отходы, полученные при разрезании стержней 3-м способом, так как 5 - 1·1, 5 - 4· 0, 8 = 0, 3;

– отходы, полученные при разрезании стержней 4-м способом, так как 5–6· 0, 8 = 0, 2.

Тогда .

Составим систему ограничений задачи.

Ограничение на заготовки А.

При разрезании стержней 1-м способом получим заготовок А, стержней 2-м способом – заготовок А, стержней 3-м способом – заготовок А, при разрезании стержней 4-м способом заготовок А не образуется. Таким образом, всего получим + + заготовок А, что по условию задачи должно быть не менее 40, т.е. + + .

Аналогично получим ограничение на заготовки В:

.

Составим ограничения на смысл переменных. Так как количество стержней может быть только неотрицательным числом, то и – целые.

Итак, математическая модель данной задачи имеет вид

;

Сформулируем общую задачу линейного программирования, а именно – математическую модель задачи.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 617; Нарушение авторского права страницы