Количественные закономерности массовых случайных явлений

Лабораторная работа №1

Количественные закономерности массовых случайных явлений

Задание №1.

Решить задачи:

1) В урне 10 белых и 8 черных шаров. Выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черным?

2) Из слова «студент» выбрасывается наугад одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет гласной; будет согласной?

3) Определить вероятность того, что при двух измерениях появится одна положительная ошибка?

4) Из урны с а белыми и b черными шарами подряд вынимают все шары. Какова вероятность того, что последний шар будет белым; второй по порядку шар будет черным?

5) По условиям задачи 4 из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что они белые?

6) В каком случае образуется полная группа событий:

а) выстрел по цели, события: А₁ – попадание, А₂ – промах;

б) стрельба по цели, два выстрела, события: А₁ – два попадания, А₂ – два промаха;

в) измерение трех углов, события: А₁ – углы измерены с ошибкой, А₂ – углы измерены без ошибок; А₃ – два угла измерены с ошибками, один угол – без ошибок.

7) Ниже перечислены события, относительно которых необходимо установить: являются ли они несовместимыми; являются ли равновозможными: образуют ли полную группу; относятся к группе случаев?

а) бросание монеты, события: А₁ – герб, А₂ – цифра;

б) бросание двух монет, события: А₁ – два герба, А₂ – две цифры, А₃ – один герб и одна цифра;

в) бросание кости, события: А₁ – 1 или 2 очка, А₂ – 2 или 3 очка, А₃ – 3 или 4 очка, А₄ – 4 или 5 очков, А₅ – 5 или 6 очков.

8) Книга имеет 189 страниц. Определить вероятность того, что номер наугад открытой страницы будет оканчиваться на 5?

Методические рекомендации:

Получение того или иного факта в результате эксперимента (наблюдения) называется исходом случайного события.

События бывают следующих видов:

случайные, если при выполнении определенных заданных условий они могут произойти или, не произойти;

простые (элементарные), имеющие один исход и с л о ж н ы е, состоящие из элементарных событий (при одном выстреле по цели исход простого события есть либо попадание, либо промах; при нескольких выстрелах событие будет сложным);

невозможные, непроявляющиеся ни при каких условиях (одновременно попадание и промах при одном выстреле по цели);

достоверные, осуществляющиеся при любом опыте (извле­чение черного шара из урны с черными шарами);

противоположные, взаимно исключающие друг друга (либо попадание, либо промах при одном выстреле по цели);

равновозможные, объективно одинаково возможные исходы при выстреле по цели);

несовместные, невозможные одновременно (попадание и промах при одном выстреле по цели);

совместные, возможные одновременно (попадание в цель при двух выстрелах).

Если из нескольких возможных событий исход хотя бы одного неизбежен, то все они образуют полную группу событий.

Полная группа несовместных и равновозможных событий составляет систему случаев. Она обладает симметрией возможных исходов.

Случай является благоприятствующим данному событию, если с его появлением произойдет само событие. Противо­положный случай называется неблагоприятствующим данному событию.

Основными показателями случайного события являются вероятность и частота события.

Вероятность, как количественная мера объективной возможности благоприятствующего исхода, при определении по схеме случаев описывается отношением

Р(А) = M/N, (1.1)

где М — число благоприятствующих исходов; .N — число всех равновозможных исходов, стремящееся к бесконечности; Р (А) — теоретическая вероятность.

По формуле (1.1) возможен непосредственный подсчет вероятностей. В соответствии с ней вероятность изменяется в пределах от 0 до 1, т. е.

0 £ Р(A) £ 1 (1.2)

Поскольку А событие, противоположное событию А, вероятности А и будут связаны соотношением

(1.3)

Сравнивать возможности появления событий А и помогает отношение вероятностей

(1.4)

Оно выражает шансы в пользу А или против . Заметим, что

Р(А) + Р( ) = 1. (1.5)

Выражение (1.5) является вероятностной записью условия полной группы событий.

Понятие случайного события относится к качественной характеристике стохастической ситуации, т.е. ситуации, главной особенностью которой является наличие элемента случайности.

Относительная частота события – это отношение числа случаев появления события к числу всех произведенных испытаний:

Q = k/n (1.6)

Относительная частота события подсчитывается после опыта и выражается дробью или в процентах.

В ходе экспериментов стохастической ситуации становятся присущи некоторые количественные характеристики, называемые случайными величинами. Они принимают различные числовые значения под влиянием различных случайных причин. Например, при стрельбе по мишени случайной величиной будет число попаданий, при подбрасывании монеты — число выпадений герба, при измерениях — расхождение результатов.

Случайные величины в отличие от случайных событий принято обозначать буквами X, Y, Z..

Появление того или иного значения случайной величины из некоторого множества ее возможных значений связано с его вероятностью, т. е. каждому из возможных значений случайной величины соответствует некоторая вероятность.

Совместное описание возможных значений случайной величины и их вероятностей представляет собой закон распределен и я. Он дает правило нахождения вероятностей возможных событий, связанных со случайной величиной. В частности, закон распределения позволяет определить вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение или попадет в какой-то промежуток числовых значений.

Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан рядом распределения и функцией распределения.

В общем случае вероятность успеха в одном т произвольном испытании определяется по формуле Бернулли

, (1.6)

где р = 0, 5 — постоянная величина.

Например, вероятность появления трех благоприятствующих исходов при десяти бросаниях монеты составит

.

Осн: 1осн.[267-289].

Доп: 7[4-43].

Контрольные вопросы:

1) Какие события называются случайными?

2) Какие вы знаете виды событий?

3) Как вычисляется вероятность события?

4) Какое событие называется противоположным?

5) Какая величина называется случайной?

6) Что описывает закон распределение?

7) Какие вы знаете виды распределения?

Лабораторная работа №2

Лабораторная работа №3

Лабораторная работа №4

Лабораторная работа №5

Задание 1.

1. В треугольнике измерены два угла со СКП: и . Найти СКП третьего угла по двум измерениям.

2. Найти СКП превышения , если длина измерена со СКП и угол наклона измерен со СКП .

3. Найти СКП площади круга, если его радиус со средней квадратической ошибкой измерения радиуса .

4. В прямоугольнике измерены две стороны и . Вычислить СКП площади и периметра прямоугольника.

- номер варианта.

Задание 2.

Найти абсолютные ошибки функций, полагая, что аргументы функций измерены со средней квадратической ошибкой

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Методические рекомендации:

Искомую величину нередко находят вычислениями как функции измеренных величин. Ошибка функции будет зависеть от ошибок аргументов, по которым она была вычислена, и от вида функции.

Существуют следующие формулы для оценки точности функций:

1) Общий случай, когда искомая величина увычисляется как функция независимых измеренных аргументов

,

ее СКП вычисляется по формуле переноса погрешностей:

,

где - частные производные рассматриваемой функции по всем измеренным аргументам;

- СКП измеренных величин аргументов.

2) Частные случаи:

1) линейная функция

,

где - постоянные множители, получит оценку по формуле

Если , то

.

Если измерения равноточные с СКП , то

;

2) оценка функции произведения измеренного аргумента на постоянный множитель выражается формулой ;

3) функция вида оценивается по формуле ;

4) логарифмическая функция оценивается по формуле

.

Осн: 1.[47-54], 3.[22-23].

Контрольные вопросы

1) Какая формула называется формулой переноса погрешностей?

2) В каких случаях применяется формула переноса погрешностей?

3) Что влияет на определение СКП функции?

4) Какие частные случаи вы знаете?

 

Лабораторная работа №6

Задание 1.

1. Вес угла равен . Определить вес утроенного значения угла.

2. В треугольнике измерены три угла с весами , , . Определить вес суммы углов треугольника.

3. Радиус окружности R измерен с весом, равным N_в. Определить вес длины окружности и площади круга.4. Вычислить вес Р угла , если вес углов a и b соответственно равен , .

- номер варианта.

Задание 2.

Найти вес нижеследующих функций, если их аргументы измерены непосредственно с весом, равным р.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Методические рекомендации:

Вес измерений вычисляют по формуле

,

где - ошибка единицы веса.

Если величина определена как функция измеренной величины, то вес функции при ее известной СКП вычисляется по формуле

.

Величину, обратную весу, называют обратным весом

; .

по известным весам вычисляется как

Частные формулы:

1) Для функции имеем .

2) Для линейной функции ;

.

Если , то имеем .

Если , то имеем или .

Осн: 1.[61-62], 3.[24-25].

Контрольные вопросы:

1) Что такое вес измерения?

2) Что такое вес функции измерении и как он вычисляется?

3) Какие вы знаете частные формулы для вычисления веса функции?

Лабораторная работа №7

Лабораторная работа №8

Лабораторная работа №9

Лабораторная работа №1

Количественные закономерности массовых случайных явлений

Задание №1.

Решить задачи:

1) В урне 10 белых и 8 черных шаров. Выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черным?

2) Из слова «студент» выбрасывается наугад одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет гласной; будет согласной?

3) Определить вероятность того, что при двух измерениях появится одна положительная ошибка?

4) Из урны с а белыми и b черными шарами подряд вынимают все шары. Какова вероятность того, что последний шар будет белым; второй по порядку шар будет черным?

5) По условиям задачи 4 из урны вынимают два шара. Какова вероятность того, что они белые?

6) В каком случае образуется полная группа событий:

а) выстрел по цели, события: А₁ – попадание, А₂ – промах;

б) стрельба по цели, два выстрела, события: А₁ – два попадания, А₂ – два промаха;

в) измерение трех углов, события: А₁ – углы измерены с ошибкой, А₂ – углы измерены без ошибок; А₃ – два угла измерены с ошибками, один угол – без ошибок.

7) Ниже перечислены события, относительно которых необходимо установить: являются ли они несовместимыми; являются ли равновозможными: образуют ли полную группу; относятся к группе случаев?

а) бросание монеты, события: А₁ – герб, А₂ – цифра;

б) бросание двух монет, события: А₁ – два герба, А₂ – две цифры, А₃ – один герб и одна цифра;

в) бросание кости, события: А₁ – 1 или 2 очка, А₂ – 2 или 3 очка, А₃ – 3 или 4 очка, А₄ – 4 или 5 очков, А₅ – 5 или 6 очков.

8) Книга имеет 189 страниц. Определить вероятность того, что номер наугад открытой страницы будет оканчиваться на 5?

Методические рекомендации:

Получение того или иного факта в результате эксперимента (наблюдения) называется исходом случайного события.

События бывают следующих видов:

случайные, если при выполнении определенных заданных условий они могут произойти или, не произойти;

простые (элементарные), имеющие один исход и с л о ж н ы е, состоящие из элементарных событий (при одном выстреле по цели исход простого события есть либо попадание, либо промах; при нескольких выстрелах событие будет сложным);

невозможные, непроявляющиеся ни при каких условиях (одновременно попадание и промах при одном выстреле по цели);

достоверные, осуществляющиеся при любом опыте (извле­чение черного шара из урны с черными шарами);

противоположные, взаимно исключающие друг друга (либо попадание, либо промах при одном выстреле по цели);

равновозможные, объективно одинаково возможные исходы при выстреле по цели);

несовместные, невозможные одновременно (попадание и промах при одном выстреле по цели);

совместные, возможные одновременно (попадание в цель при двух выстрелах).

Если из нескольких возможных событий исход хотя бы одного неизбежен, то все они образуют полную группу событий.

Полная группа несовместных и равновозможных событий составляет систему случаев. Она обладает симметрией возможных исходов.

Случай является благоприятствующим данному событию, если с его появлением произойдет само событие. Противо­положный случай называется неблагоприятствующим данному событию.

Основными показателями случайного события являются вероятность и частота события.

Вероятность, как количественная мера объективной возможности благоприятствующего исхода, при определении по схеме случаев описывается отношением

Р(А) = M/N, (1.1)

где М — число благоприятствующих исходов; .N — число всех равновозможных исходов, стремящееся к бесконечности; Р (А) — теоретическая вероятность.

По формуле (1.1) возможен непосредственный подсчет вероятностей. В соответствии с ней вероятность изменяется в пределах от 0 до 1, т. е.

0 £ Р(A) £ 1 (1.2)

Поскольку А событие, противоположное событию А, вероятности А и будут связаны соотношением

(1.3)

Сравнивать возможности появления событий А и помогает отношение вероятностей

(1.4)

Оно выражает шансы в пользу А или против . Заметим, что

Р(А) + Р( ) = 1. (1.5)

Выражение (1.5) является вероятностной записью условия полной группы событий.

Понятие случайного события относится к качественной характеристике стохастической ситуации, т.е. ситуации, главной особенностью которой является наличие элемента случайности.

Относительная частота события – это отношение числа случаев появления события к числу всех произведенных испытаний:

Q = k/n (1.6)

Относительная частота события подсчитывается после опыта и выражается дробью или в процентах.

В ходе экспериментов стохастической ситуации становятся присущи некоторые количественные характеристики, называемые случайными величинами. Они принимают различные числовые значения под влиянием различных случайных причин. Например, при стрельбе по мишени случайной величиной будет число попаданий, при подбрасывании монеты — число выпадений герба, при измерениях — расхождение результатов.

Случайные величины в отличие от случайных событий принято обозначать буквами X, Y, Z..

Появление того или иного значения случайной величины из некоторого множества ее возможных значений связано с его вероятностью, т. е. каждому из возможных значений случайной величины соответствует некоторая вероятность.

Совместное описание возможных значений случайной величины и их вероятностей представляет собой закон распределен и я. Он дает правило нахождения вероятностей возможных событий, связанных со случайной величиной. В частности, закон распределения позволяет определить вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение или попадет в какой-то промежуток числовых значений.

Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан рядом распределения и функцией распределения.

В общем случае вероятность успеха в одном т произвольном испытании определяется по формуле Бернулли

, (1.6)

где р = 0, 5 — постоянная величина.

Например, вероятность появления трех благоприятствующих исходов при десяти бросаниях монеты составит

.

Осн: 1осн.[267-289].

Доп: 7[4-43].

Контрольные вопросы:

1) Какие события называются случайными?

2) Какие вы знаете виды событий?

3) Как вычисляется вероятность события?

4) Какое событие называется противоположным?

5) Какая величина называется случайной?

6) Что описывает закон распределение?

7) Какие вы знаете виды распределения?

Лабораторная работа №2

12345Следующая ⇒

Поделиться: