Тема 4. Теория вероятностей.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

1. Знать и уметь применять основные формулы комбинаторики.

2. Знать классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.

3. Знать и уметь применять теоремы сложения и умножения вероятностей.

4. Знать и уметь применять формулы полной вероятности и Байеса.

5. Знать и уметь применять формулу Бернулли.

6. Знать и уметь применять локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.

7. Знать и уметь применять формулу Пуассона.

8. Знать определение случайной величины.

9. Знать определение функции распределения и ее свойства.

10. Знать определение плотности распределения вероятности и ее свойства.

11. Знать определение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины и их свойства.

Задания для самостоятельного выполнения

Задача 1. Порядок выступления 8 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Задача 2. Расписание одного дня состоит из 4 дисциплин. Определить количество вариантов расписания при выборе из 15 дисциплин.

Задача 3. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Задача 4. Из 25 студентов 5 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 2 студента – разрядники?

Задача 5. Среди 1000 новорожденных оказалось 487 девочек. Найти относительную частоту рождения девочек.

Задача 6. На отрезке L длины 30 см помещен меньший отрезок l = 15 см. Найти вероятность того, что точка наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Задача 7. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0, 9; второй – 0, 8; третий – 0, 7. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только первый экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Задача 8. Среди 1000 лотерейных билетов 25 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

Задача 9. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока в 98%, 88% и 92% случаев.

1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Задача 10. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 8 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) будет продано 2 пакета; 2) не будут проданы 5 пакетов.

Задача 11. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе частное предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 100 зарегистрированных в регионе частных предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 48 предприятий; б) от 48 до 55.

Задача 12. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке составляет 0, 02%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий будет повреждено три изделия.

Задача 13. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х
Р	0, 3	0, 5	0, 2

Найти функцию распределения и построить ее график.

Задача 14. Случайная величина Х задана функцией распределения

Вычислить вероятности попадания СВ Х в интервалы (1, 5; 2, 5) и (2, 5; 3, 5).

Задача 15. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения СВ Х.

Задача 16. СВ Х подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем

Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) найти вероятность попадания Х в промежуток (1; 2).

Задача 17. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение СВ Х, заданной законом распределения:

Х	-5	-2
р	0, 2	0, 1	0, 3	0, 15	0, 25

Задача 18. СВ Х в интервале (0; 4) задана плотностью распределения , вне этого интервала . Найти дисперсию Х.

Образцы решения заданий

Задание 1. Сколько существует способов распределить три премии между десятью сотрудниками отдела: а) одинакового размера; б) разных размеров; в) одинакового размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза; г) разного размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза?

Решение. Каждому работнику отдела поставим в соответствие некоторый номер – 1, 2, …, 10. Тогда любая тройка номеров из этого списка соответствует одному варианту распределения премий. Условимся также премии располагать слева направо в порядке убывания, когда они различаются по размеру.

а) если премии одинакового размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1) неразличимы (они соответствуют факту награждения первых трёх сотрудников по списку). Поэтому здесь важен только состав, порядок расположения элементов в наборе роли не играет. Значит, способов распределить три премии одинакового размера столько же, сколько сочетаний «из 10 по 3», .

б) если премии разного размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2) разные (для 2-го и 3-го сотрудников). Поэтому здесь важен не только состав, но и порядок расположения элементов в наборе. Значит, способов распределить три премии разного размера столько же, сколько размещений « из 10 по 3», .

в) если премии одинакового размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) неразличимы. В обоих случаях 2 премии получил работник с № 1 и 1 премию – работник № 3. Значит, способов распределить три премии одинакового размера в этом случае столько же, сколько существует сочетаний с повторениями « из 10 по 3», .

г) если премии разного размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) различные. В первом варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 2-ю по величине, во 2-м варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 3-ю по величине. Значит, наборы представляют собой размещения с повторениями. Поэтому способов распределить три премии разного размера в столько же, сколько существует размещений с повторениями « из 10 по 3», .

Задание 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6}

а) без повторений; б) с повторениями?

Решение. а) Так как числа 123 и 321 разные, то порядок расположения внутри набора существенен. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений « из 6 по 3», .

б) Если цифры повторяются, то важен и состав, и порядок в наборе. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений с повторениями « из 6 по 3», то есть .

Задание 3. В отделении банка работают 25 человек, 10 из них мужчины. Для перевода в другое отделение банка необходимо отобрать 5 сотрудников. Какова вероятность того, что среди отобранных сотрудников три женщины?

Решение. Пусть событие A означает, что из 5 отобранных для перевода в другое отделение сотрудников три женщины. Тогда

Общее число n способов выбора 5 сотрудников из 25 равно числу сочетаний из 25 по 5, т.е. . Определим число m, благоприятствующих событию А исходов — «среди отобранных 5 сотрудников будут 3 женщины». Число способов выбрать 3 женщины из 15 равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2-х мужчин из 10. Следовательно, . Тогда

= = = = = 0, 38.

Ответ:

Задание 5. В течение года три фирмы независимо друг от друга могут обанкротиться (прекратить функционирование) с вероятностями = 0, 08 соответственно. Вычислить вероятность того, что в течение года будут функционировать:

а) только две фирмы;

б) хотя бы одна фирма;

в) не более одной фирмы.

Решение

Пусть , i=1, 2, 3 – события, означающие банкротство каждой из трёх фирм. Тогда P( ) = 0, 06, P( ) = 0, 09, P( ) = 0, 08; P( ) =0, 94, P( ) = = 0, 91, P( ) = 0, 92. Здесь , , – противоположные относительно , , случайные события.

а) Рассмотрим событие В= + + . Оно заключается в том, что в течение года не обанкротятся только две фирмы.

Так как , , несовместны и (i=1, 2, 3) независимы, то на основании теорем сложения и умножения вероятностей получим:

Р(В)= Р( ) Р( ) Р( ) + Р( ) Р( ) Р( ) + Р( ) Р( ) Р( )= =0, 94∙ 0, 91∙ 0, 08+0, 94∙ 0, 09∙ 0, 92+0, 06∙ 0, 91∙ 0, 92=0, 196496≈ 0, 1965.

б) Обозначим через С событие, состоящее в том, что все три фирмы в течение года обанкротятся. Тогда

Р(С)=Р( )= Р( ) Р( )Р( )=0, 06∙ 0, 09∙ 0, 08=0, 000432.

Вероятность того, что хотя бы одна фирма не обанкротится, равна

1– Р(С)=1–0, 000432=0, 999568≈ 0, 9996.

в) Пусть теперь D – случайное событие, состоящее в том, что в течение года будет функционировать не более одной фирмы. Оно означает, что либо все три фирмы обанкротятся, либо будет функционировать только одна фирма. Тогда D= + + и

Р(D) = Р(С)+ Р( Р( Р( ) + Р( ) Р( )Р( ) + Р( )Р( Р( ) = =0, 000432+0, 94∙ 0, 09∙ 0, 08+0, 06∙ 0, 91∙ 0, 08+0, 06∙ 0, 09∙ 0, 92=0, 016536≈ 0, 0165.

Ответ: а) 0, 1965; б) 0, 9996; в)0, 0165.

Задание 6. В магазине имеются холодильники, произведенные двумя заводами в количественном соотношении 2: 9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока холодильника, произведенного первым заводом, равна 0, 005, а вторым – 0, 009. Купленный в магазине холодильник выдержал гарантийный срок. Вычислить вероятность того, что этот холодильник произведен вторым заводом.

Решение

Пусть А–событие, состоящее в том, что холодильник выдержит гарантийный срок, и – гипотезы, состоящие в том, что он произведен первым или вторым заводом соответственно. Тогда

; .

Из условия задачи следует, что: .

Вероятность того, что холодильник, выдержавший гарантийный срок, произведен вторым заводом, т.е. вычислим по формуле Бейеса: Ответ: 0, 82.

Задание 7. При проведении социологического опроса студентов каждый из них, независимо друг от друга, может дать неискренний ответ с вероятностью 0, 12. Вычислить вероятность того, что из 300 ответов неискренних будет:

а) ровно 30;

б) не более 70;

в) не менее 30 и не более 70.

Решение

а) Так как число опрошенных студентов достаточно велико, а вероятность сравнительно мала, то воспользуемся локальной теоремой Муавра–Лапласа:

, где .

В нашем случае , ,

Функция четная, поэтому (– 1, 07)= (1, 07). По таблице [1, Приложение 1] найдем (1, 07) = 0, 2251. Искомая вероятность .

б) Требование, чтобы неискренних ответов было не более 70, означает, что их число может быть равно 0, 1, 2, …, 70. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять , и воспользоваться интегральной теоремой Муавра–Лапласа, по которой , где – функция Лапласа, ; .

Вычислим и :

; .

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. , используя таблицу значений [1, Приложение 2], получим

Для значений полагают .

в) В этом пункте нужно вычислить , т.е. вероятность того, что из ответов трехсот опрошенных студентов неискренних будет не менее 30 и не более 70. Вычислим и :

; .

Следовательно,

Ответ: а) 0, 0401; б) 1; в) 0, 8577.

Задание 8. Два товароведа проверяют партию изделий на качество. Производительности их труда относятся как 5: 4.Вероятность выявления брака первым товароведом составляет 85 %, вторым – 90 %. Из проверенных изделий отбирают три. Составить закон распределения случайного числа – годных изделий среди отобранных. Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение σ (Х).

Решение

Из условия задачи следует, что – дискретная случайная величина, возможными значениями которой являются числа , , , .

Так как имеют место оба условия схемы Бернулли, вероятности их появления будем вычислять по формуле Бернулли .

Пусть А– случайное событие, состоящее в том, что каждое изделие из трех отобранных для проверки окажется годным; – гипотезы, заключающиеся в том, что оно проверено первым или вторым товароведом соответственно. Тогда по формуле полной вероятности

По условию , , , .

Значит, .

Итак, для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли

Тогда

; ;

; .

Контроль: 0, 002197+0, 044109+0, 295191+0, 658503 = 1.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

X
P	0, 002197	0, 044109	0, 295191	0, 658503

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

По определению .

Значит, .

По формуле вычислим дисперсию.

Среднее квадратическое отклонение

Замечание. Рассмотренная в задаче случайная величина Х – дискретная и распределена по биномиальному закону. Поэтому математическое ожидание и дисперсию можно вычислить так:

; .

Задание 9. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса не допущена ошибка, равна 0, 9. Аудитору на заключение представлено 4 баланса предприятия. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Найдите:

1) числовые характеристики этого распределения: М(Х), D(X);

2) функцию распределения F(X) и постройте ее график;

3) вероятность того, что:

а) ни один бухгалтерский баланс не получит положительного заключения;

б) хотя бы один бухгалтерский баланс получит положительное заключение;

в) не более двух бухгалтерских балансов получат положительное заключение.

Решение. Составим закон распределения случайной величины Х – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Из четырех проверяемых балансов положительное заключение может получить ни один баланс, один, два, три и все четыре баланса, т.е.