Виды динамических характеристик. Временные характеристики.

Название «характеристика» соответствует графическому представлению;

Название «функция» соответствует аналитическому представлению.

Динамические характеристики (функции) классифицируют:

1) Временные – переходная- (h(t))

-весовая (импульсивная) w (t)

2) Частотные – амплитудно - частотная A(w)

- фазочастотная φ (w)

- амплитудно-фазовая W(jw)

Временные характеристики представляют реакцию звена (системы) на типовые воздействия при нулевых начальных условиях.

Переходная характеристика- это переходной процесс изменения выходной величины при единичном ступенчатом воздействии на входе и нулевых начальных условия.

 

У

1(t)= 0 при t< 0

1 при t ≥ 0

R Mm

Z R

Структурная схема

Y M

Объект регулирования

W→ t

 

Хххххххххххххххххххххххххххххххх

 

 

Д(м) –датчик можно описать дифференциальным уравнением.

 

М=Л2 d² y/dt² +Л1 dy/dt+ Л0, где Л- коэффициент уравнения.

Регулятор- дифференциальным уравнением

R= Б2d² y/dt² +Б1 dy/dt+ Б0

Исполнительный механизм- дифференциальным уравнением

Z= C2 d² y/dt² +C1 dy/dt+ C0

Объект регулирования

У= Д2d² хоб/dt² +Д1 dхоб/dt+ Д0 Хоб=Х-Z

Общееуравнение^

S8 d8y/dt8+S7 d7y/dt7 +…S0=K2 d² x/dt² +K1 dx/dt+ C0

 

Дифференциальные уравнения высоких порядков решаются операторным методом (преобразование Лапласа)

Для записи в операторной форме вводятся символы

 

Для дифференцированияdy/dt=Р; d² /dt² = Р² и т.д.

 

Для интегрированияtʃ dt= 1/p

Преобразования Лапласа основаны на теории функций комплексного переменного: Символ «Р» можно рассматривать как число. Операции дифференцирования и интегрирования заменяются алгебраическими операциями.

Операторный метод заключается в том, что из области функций действительного переменного решение дифференциального уравнения переносится в область функций комплексного переменного, где операции принимают более простой вид.

Это означает, что если имеется функция х(t) некоторой действительной переменной t, то может быть найдена соответствующая ей функция х(р) произвольной комплексной переменной р=а+jw, гдеj=√ -1 (мнимая единица)функция х(t) называется оригиналом, а х(р)- изображением. Сущность преобразования Лапласа состоит в том, что вместо переменной х(t) рассматривается переменная х(р), где «р» - оператор комплексной переменной.

Переход от х(t) к х(р) осуществляется интегральным преобразованием вида

х(р) = ∞ ʃ х(t)exp(-pt)dt- (это прямое преобразование)

 

Операция перехода от оригинала к изображению х(р)=L[x(t)] (символьная форма) Обратный переход х(t)=Lˉ ¹ [x(p)]

Применяются табличные формы обратного перехода (см. выше).
Весовая – это переходной процесс изменения выходной величины при единичном импульсном входном воздействии при нулевых начальных условиях

+∞ δ (t) dt =1 δ (t)= 0 приt҂ 0

-∞ ∞ при t =0

Определение переходного процесса сводится к определению изображения входного воздействия.

Если известна переходная функция, то может быть найдена реакция звена на любое воздействие, т.е.h(t) достаточно полно характеризует динамические свойства звена.

 

 

Частотные функции и характеристики

При исследовании звеньев рассматриваем переходные процессы, возникающие после нанесения единичного скачкообразного возмущения. Существуют и другие методы исследования.

Реакция системы У(Р) =W(P)X(P)

W(P)=Y(P)/X(P)- называется передаточной функцией.

Передаточная функция связывает изображение входного и выходного сигналов (показывает реакцию на входной сигнал). Передаточная функция системы определяется из передаточных функций звеньев.

Нужно знать свойства преобразования передаточных функций.

Для исследования систем в установившихся режимах используются входные синусоидальные сигналы. Реакция системы на такой сигнал- синусоида той же частоты.

 

х вх х вх х вых х вых Т- период

 

ω ω ω =2π /Т

φ

 

Т=1/ω

х(t)=a*sin(ω t+φ ), где а-амплитуда; ω -угловая частота; φ - фазовый сдвиг.

При задании на вход линейной системы синусоидального сигнала на выходе получится сигнал, отличающийся от входного амплитудой и фазой, но той же частоты.

y(jω )=W(jω )*x(jω ) или W(jω ) = y(jω t)/x(jω t); где j =√ -1 мнимая единица

 

х вхsinω t; xвыхsin (ω t+φ ); φ –фазовый сдвиг между колебаниями на входе и выходе.

Можно записать в комплексной форме

jω t j(ω t+φ )

х вх= х вх е х вых = х вых е

 

ФункциюW(jω ) называют комплексным коэффициентом передачи или амплитудно - фазовой характеристикой АФХ систем.W(jω ) показывает, как изменяется амплитуда и фаза входного сигнала при его прохождении через звено (систему) в зависимости от частоты ω (ω =0-∞ )

АФХ можно представить в различных формах:

1. В виде произведения

jφ (ω )

W(jω )=k (ω )e, где k(ω ) отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала на частоте ω.

φ (ω )- разность фаз выходного и входного сигнала на частоте ω.

Функцию к(ω ) называют амплитудно- частотной характеристикой АЧХ ( является модулем); а φ (ω ) – фазо- частотной характеристикой ФЧХ (является аргументом).

А(ω )=√ R² (ω )+ I² (ω ) – АЧХ; φ (ω ) = arctgI(ω )/R(ω ). мн I(ω ) - - - - - -- -

R(ω )- вещественная частотная характеристика k(ω )

I(ω ) – мнимая частотная характеристика 0 φ (ω ) R(ω )(веществ)

Для фиксированной частоты ω 1 комплексный коэффициент передачиW( jω ) может быть представлен графически в виде вектора длиной R(ω ), наклонного к горизонтальной оси под углом φ (ω 1)

как и каждое комплексное число (а +j 6) 1, 2, 3…..- действит.числа W( jω )

действит. мнимое ² √ -1- мнимое

может быть представлено в виде суммы вещественной (действительной) и мнимой части.

W( jω )= R( ω )+ I(ω ); R( ω )- проекция вектора W( jω ) на веществ. ось

I(ω ) - проекция вектора W( jω ) на мнимую ось

Амплитудно- фазовые частотные функции получают заменой передаточных функций

(Р) на ( jω )

При изменении частоты ω от -∞ до+∞ конец вектораW( jω ) опишет некоторую траекторию (годограф), которая называется амплитудно фазовой частотной характеристикой звена (системы) АФХ.

2. В векторной форме на комплексной плоскости

ω =∞ 0 R[W( jω )] (положительное направление фазовых

φ (ω ) ω =0 R углов- против часовой стрелки)

W(jω ) ω - растет [W( jω )] =k(ω )

I[W( jω )] ------------------- модуль вектора, а угол наклона -φ (ω )

сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входному.

 

е= 2, 71 основание натурального логарифма

j =√ -1; j² =-1; j³ =-1√ -1; jᵞ = +1

 

Логарифмические характеристики

АЧХ строят в двойном логарифмическом масштабе по оси абсцисс (ось х) линейно откладывают десятичный логарифм частотыω, а по оси ординат (ось у) – АЧХ, выраженную в децибелах [дб]

k(ω )[дб]= 20log10k(ω )= 20lgk(ω ).

Построенную таким образом АЧХ называют ЛАЧХ (логарифмическая). При построении ЛАЧХ, по оси абсцисс удобнее откладывать логарифм безмерной величины - произведение частоты на одну из постоянных времени. ФЧХ, соответствующую ЛАЧХ, строят в полулогарифмическом масштабе, используя такую же ось абсцисс, что и для ЛАЧХ.

 

k(ω )(дб) φ (ω )

ω тπ /4 ω т

π /2

3/4π

π

 

Термины, применяемые для построения и анализе ЛАЧХ и ФЧХ, взяты из акустики. Если частоты отличаются ω 2/ω 1 = 2, то говорят на октаву, если ω 2/ω 1 =10, то – на декаду.

Изображая изменения амплитуды и частоты в логарифмическом масштабе, можно аппроксимировать (приближение) многие АЧХ прямыми или отрезками прямых.

Аппроксимация ЛАЧХ представляется прямой с наклоном 20n децибел на декаду (дб/дек), иногда (дб/откаву); 20n[ дб/дек]= 6n[ дб/дек]

Звенья первого порядка имеют наклон прямых, аппроксимирующих ЛАЧХ±20 дб/дек

Звенья второго порядка-±40 дб/дек

Звенья нулевого порядка - нулевой наклон.

 

 

Типовые элементарные звенья

Для линейных систем непрерывного действия можно назвать шесть типов элементарных звеньев; различающихся по динамическим свойствам: пропорциональное, интегрирующее, апериодическое, колебательное, дифференцирующее, запаздывающее.

1. Пропорциональное ( усилительное, безинерционное) (простое) выходная величина в каждый момент времени пропорциональна входной. Связь определяется алгебраическим уравнением: х вых= квх, где к- коэффициент усиления или передаточный.

х вх х вых х вых(t) Передает сигнал без искажения

1 ᶄ и сдвига во времени, но изменённым

t t в К раз.

Передаточная функция W(P)= х вых(Р)/х вх (Р) = К I

W(jω ) с

к К

 

АФХ не зависит от изменения частоты ω, то годограф превращается в точку С на расстоянии к от начала координат.

Пример: манометрическая пружина, рычаг, короткий трубопровод, редуктор, электронный усилитель.

2. Интегрирующее (астатическое) (первого порядка) (нейтральное) у него скорость изменения выходной величины пропорциональна входной, а сама выходная величина пропорциональна интегралу входной.

 

Дифференциальное уравнение Тdхвых/ dt = хвх или Т интег=dy /dt=кx; у=к∫ хdt

Операторная форма Тр х вых(Р)= хвх(Р)

Передаточная функция W(P) = х вых(Р) / х вх (Р) = 1 / ТР или = к/р

Это звено характеризуется параметрами Т и к или только ка – отношением скорости изменения выходной величины к входной.

Из передаточной функции легко получить аналитическое выражение вектора АФХ при замене оператора(Р) на выражение jω

х вх х вых х вых(t) кривая разгона

 

1 t0 t t0 t

I

ω =∞ R - АФХ АФХ представляет собой прямую, совпадающую с

ω 2 отрицательной мнимой осью. При изменении частоты от 0 до +∞

ω 3 конец вектора движется по отрицательной мнимой оси от -∞ до 0.

ω 0

 

h(t) ᶄ (ω ) -ЛАЧХ Звено обладает свойством

самовыравнивания

0 t 0 1 ω T

переходная функция L(ω )

h(t)= кt*1/(t) -20дб/дек

весовая- w(t) = к*1(t)

 

W(t) h(t)- переходная

к W(t) - весовая

 

1 t

3. Апериодическое звено (инерционное, статическое) – 1 порядка звено, в котором при скачкообразном изменении входной величины выходная величина стремится апериодически ( по закону экспоненты) к новому установившемуся значению.

Исходное дифференциальное уравнение назначается оригиналом, а преобразованное и записанное в операторной форме - его изображением.

Дифференциальное уравнение ТdХвых+ Х вых= к Х вых

dt

В операторной форме (ТР +1) х вых (Р) =к Хвх(Р) (исходное уравнение становится алгебраическим)

I

Х вх Х вых кривая разгона

Хвых(t)

ᶄ

х вх=

 

t0t t0 t ω

Передаточная функция W(P)= к/TP+1; P=j ω → W(j ω )= к/ T(j)+1 АФХ

действительная часть R[W(j ω )]= 1/(1+² T ω ² ); мнимая I[w(j ω )]=-T ω /(1+T² ω ² )

 

АФХ имеет вид окружности, описываемой концом вектора W(jw) на комплексной плоскости при изменении wот- ∞ до+∞. При w> 0 АФХ представляет полуокружность.

I ² ЛАЧХ φ (w)ФЧХ

w=∞ к АФХ h(t) переходная h() дб 3дб φ

w=0 1

-t/T функция -π /4

w1 -1-e -20 дб/дек

w2 0 t -π /2

 

 

Пример: сосуд с самовыравниванием, теплообменник, термопара, контуры RC; RL; электрогенератор; операционный усилитель, двигатель.

 

4. Колебательное звено.

Колебательным называют звено, в котором при скачкообразном изменении величины на входе выходная величина стремится к новому установившемуся значению, совершая относительно него колебания, с амплитудой, затухающей по закону экспоненты (пунктир. линии).

 

х вх х вых ---I----

х вх

t0 t t0 t

Связь между входными и выходными величинами определяется дифференциальным уравнением Т1d² Хвых/dt² + Т2dХвх/dt + Хвх=ᶄ Х вх

Операторная форма Т1Р² Х вых (Р) + Т2Р Х вых (Р) + Х вых (Р) =ᶄ Х вх (Р)

Колебательное звено имеет 3 параметра: Т0 и Т – постоянные времени, к- коэффициент усиления.

Передаточная функция W(P) = Х вых (Р)/ Х вх (Р)= к/ Т1Р² +Т2Р +1, заменив Р→ j ω

W(j ω ) = к/ T1(j ω )² +T2( j ω )+1

I к Если Т2< 4Т1 – то система как колебательное звено

R Если Т2≥ 4Т1 – то как апериодическое 2-го порядка

 

w1 W(jw) Т2≥ 4Т1

w3 w2 -АФХ

 

t

Пример: механическая система; система из двух сообщающих сосудов, мембранный сервомотор, контур RLC колёсная пара вагона.

5. Дифференцирующие звенья

Названья звеньев связано с тем, что выходной сигнал у(t) прямо пропорционален производной входного сигнала х(t) по времени

y(t)= dx(t)/dt

Различают идеальные и реальные дифференциальные звенья.

Идеальное – y=kdХвх/dt; в операторной форме Х вых (Р) = к(Р)* Х вх (Р)

Передаточная функция W(P) =Х вых (Р)/Х вх (Р) = кP

Аналитическое выражение W(j ω )= k(j ω ) = 0+ jk ω; A (w) =k* ω ; φ (w)=π /2 const

Переходная функция h(t) =kd1(t)/dt= kδ (t)

Im w→ ∞ k(w) -20дб/дек

 

Re 0 1 wT

годограф ЛАЧХ

 

Пример: электро цепь из RC C

Хвх=U1 R Х вых=U2

 

Реальное дифференциальное звено

Дифференциальное уравнениеТ0dХ вых/dt+ Х вых =к *dХвх/dt;

операторная форма То Р Х вых (Р)+ Х вых(Р)=к Р Х вх (Р

Im Хвх Х вых - Типовая кривая разгона

1

w1 tᶄ /То

w2

W=o R/To Re То

 

Типовая кривая разгона показывает, что после подачи на вход возмущения в виде единичного скачка выходной сигнал мгновенно увеличивается на величину к/To, а затем по экспоненте приближается к «о». По кривой разгона легко определить коэффициенты То и к передаточной функции (с помощью касательной) ( смотреть апериодическое звено)

Находят То, затем умножив ординате к/То на То, получают к.

ЛАЧХLg(ω ) =20 lgk ω = 20lgk+20lg ω

L Пример: емкость, индуктивность, тахогенератор,

20lgk +20 дб/дек операционный усилитель, контурRL, контур RC.

lgw

 

6. Запаздывающее звено

Звено, в котором выходная величина идеально повторяет входную, но с отставанием на постоянный отрезок времени, т.е. когда сигнал без искажения передается с задержкой во времени τ Im φ (ω )

Хвх Х вых Re 1

Rew=0 0

to t τ 1 w=1 -1

to -ФЧХ

W(j ω )=exp(-j ω t)

АЧХ k(ω ) =(cos² ω t+sin² ω t)½ =1

ФЧХ φ (ω )=- ω t

АФХ – окружность единичного радиуса

Пример: ленточный транспортер, транспортируемое рабочее место.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: