Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения

1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.

Замечание: Обязательным в дифференциальном уравнении является только наличие производных или дифференциалов.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, в него входящей.

Если дифференциальное уравнение зависит только от одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением .

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

.(1.1.1)

Если уравнение (1.1.1) разрешить относительно производной, то его можно записать в виде:

. (1.1.2)

Решением уравнения (1.1.2) является дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (1.1.2) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка:

Уравнение устанавливает связь между координатами точек интегральных кривых (правая часть уравнения) и угловым коэффициентом касательной (левая часть уравнения) к интегральным кривым в этих точках, т.е. уравнение определяет поле направлений интегральных кривых.

Уравнение (1.1.2) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

, (1.1.3)

где – начальное значение аргумента , а – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению (1.1.2) и начальному условию (1.1.3).

Общим решением дифференциального уравнения (1.1.2) называется решение этого уравнения, которое:

1) зависит от произвольной постоянной с;

2) для всякого начального условия (1.1.3) можно найти такое значение постоянной , что функция будет удовлетворять данному начальному условию.

Решение называется частным решением уравнения (1.1.2), соответствующим начальным условиям (1.1.3).

Уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение вида:

, (1.2.1)

где функция зависит только от , а функция только от . Преобразуем его так:

;

Считая известной функцией от , можно рассматривать последнее равенство, как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться только постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по , а правую – по , найдем:

.

т.е. получим общий интеграл уравнения (1).

Уравнение вида

(1.2.2)

называется уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл уравнения (1.2.2):

.

Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в виде:

.

Чтобы разделить переменные, необходимо обе части уравнения разделить на выражение :

;

или:

,

т.е. к уравнению вида (1.2.2).

 

Однородное уравнение

Определение 1. Функция называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество:

.

Пример: ; , т.е. - однородная функция первого измерения.

Определение 2. Уравнение называется однородным относительно и , если:

а) функция - есть однородная функция нулевого измерения относительно и ;

б) его можно представить в виде:

, (1.3.1)

где правая часть зависит только от отношения ;

в) или:

,

где и - однородные функции одинакового порядка.

Пример: = ;

а) = ;

т.е. - функция нулевого измерения относительно и , следовательно, дифференциальное уравнение является однородным.

б) - правая часть зависит только от отношения ;

в) = - в числителе и знаменателе стоят однородные функции одинакового измерения ( ).

Подстановка , где приводит однородное уравнение (1.3.1) к уравнению с разделяющимися переменными. Отсюда:

, ;

;

;

;

.

Найдя интеграл в правой части и подставив вместо функции отношение , получим интеграл уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

,

где и - однородные функции одинакового порядка (измерения).

В этом случае подстановка ; сразу преобразует уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Решение: Метод Бернулли.

Будем искать решение уравнения (1.4.1) в виде произведения двух функций от :

. (1.4.2)

Одну из функций можно взять произвольной, другая определяется на основании уравнения (1.4.1). Продифференцируем (1.4.2):

,

подставим в (1.4.1):

,

или:

Подберем функцию так, чтобы выполнялось условие:

. (1.4.3)

Из выполнения этого условия следует, что

 

(1.4.5)

Уравнение (1.4.3) – уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрировав его, получим какое-нибудь частное решение :

.

Так как достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения (1.4.3), то за функцию возьмем

(1.4.6)

и подставим во второе уравнение системы:

,

,

,

.

Подставляя полученные значения и в формулу (1.4.2), получим:

,

или:

. (1.4.7)

 

Уравнение Бернулли

Уравнение вида:

, (1.5.1)

где и - заданные непрерывные функции от , а – любое действительное число.

При уравнение превращается в линейное, а при – в уравнение с разделяющимися переменными.

При помощи подстановки

, , отсюда ,

где z – новая неизвестная функция, уравнение Бернулли преобразовывается в линейное уравнение относительно z:

.

Но на практике при интегрировании нет необходимости преобразовывать это уравнение в линейное. Здесь можно воспользоваться методом Бернулли, т.е. решение искать виде произведения двух функций:

.

 

Необходимость

Допустим, что

,

тогда, зная формулу дифференциала

получим равенства:

, .

Отсюда можно найти

, .

Используя теорему о независимости смешанных производных от порядка вычисления, получим:

, или .

Достаточность

Пусть в некоторой области выполняется условие:

.

Будем искать функцию следующим образом: из условия

найдем

, (1.6.2)

где - произвольная функция только одного аргумента. Выберем функцию так, чтобы выполнялось еще одно условие:

. (1.6.3)

Продифференцируем обе части равенства (1.6.2) по :

, (1.6.4)

Тогда, сравнивая равенства (1.6.3) и (1.6.4), получим:

,

откуда

. (1.6.5)

Левая часть равенства (1.6.5) зависит только от y и не содержит x, поэтому имеет смысл только в том случае, когда правая часть равенства не содержит x. Продифференцируем правую часть по x и убедимся, что производная равна нулю. Действительно,

в силу условия:

.

Интегрируя равенство (1.6.5) по y, находим и подставляем найденное значение в равенство (1.6.2).

Общее решение уравнения (6.1) имеет вид:

 

 

Определение 3

Два решения и уравнения (2.2.1) называются линейно-независимыми на отрезке , если их отношение не является постоянным на этом отрезке. В противном случае функции называются линейно-зависимыми на отрезке .

Дифференциальные уравнения

1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы.

Замечание: Обязательным в дифференциальном уравнении является только наличие производных или дифференциалов.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, в него входящей.

Если дифференциальное уравнение зависит только от одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением .

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

.(1.1.1)

Если уравнение (1.1.1) разрешить относительно производной, то его можно записать в виде:

. (1.1.2)

Решением уравнения (1.1.2) является дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (1.1.2) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка:

Уравнение устанавливает связь между координатами точек интегральных кривых (правая часть уравнения) и угловым коэффициентом касательной (левая часть уравнения) к интегральным кривым в этих точках, т.е. уравнение определяет поле направлений интегральных кривых.

Уравнение (1.1.2) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

, (1.1.3)

где – начальное значение аргумента , а – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению (1.1.2) и начальному условию (1.1.3).

Общим решением дифференциального уравнения (1.1.2) называется решение этого уравнения, которое:

1) зависит от произвольной постоянной с;

2) для всякого начального условия (1.1.3) можно найти такое значение постоянной , что функция будет удовлетворять данному начальному условию.

Решение называется частным решением уравнения (1.1.2), соответствующим начальным условиям (1.1.3).

Уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение вида:

, (1.2.1)

где функция зависит только от , а функция только от . Преобразуем его так:

;

Считая известной функцией от , можно рассматривать последнее равенство, как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться только постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по , а правую – по , найдем:

.

т.е. получим общий интеграл уравнения (1).

Уравнение вида

(1.2.2)

называется уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл уравнения (1.2.2):

.

Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в виде:

.

Чтобы разделить переменные, необходимо обе части уравнения разделить на выражение :

;

или:

,

т.е. к уравнению вида (1.2.2).

 

Однородное уравнение

Определение 1. Функция называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество:

.

Пример: ; , т.е. - однородная функция первого измерения.

Определение 2. Уравнение называется однородным относительно и , если:

а) функция - есть однородная функция нулевого измерения относительно и ;

б) его можно представить в виде:

, (1.3.1)

где правая часть зависит только от отношения ;

в) или:

,

где и - однородные функции одинакового порядка.

Пример: = ;

а) = ;

т.е. - функция нулевого измерения относительно и , следовательно, дифференциальное уравнение является однородным.

б) - правая часть зависит только от отношения ;

в) = - в числителе и знаменателе стоят однородные функции одинакового измерения ( ).

Подстановка , где приводит однородное уравнение (1.3.1) к уравнению с разделяющимися переменными. Отсюда:

, ;

;

;

;

.

Найдя интеграл в правой части и подставив вместо функции отношение , получим интеграл уравнения.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

,

где и - однородные функции одинакового порядка (измерения).

В этом случае подстановка ; сразу преобразует уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

12Следующая ⇒

Поделиться: