ОТ УМНОЖЕНИЯ – К ВОЗВЕДЕНИЮ

В СТЕПЕНЬ

Целостное представление о таблице умножения, исследование её по вертикали и по горизонтали помогает видеть процесс научного осмысления при исходном составлении самой таблицы, а с другой стороны, заставляет нас осознавать тот труд, который вложил в неё создатель, и свою маленькую возможность понять то, что уже кем-то открыто.

При переходе от сложения к умножению дети складывают множители, а при переходе к возведению в степень умножают основание на показатель степени. Надо определять точную причину этих ошибок – нет ли базового знания или срабатывает привычка.

Таблица умножения – научно обоснованная система

 

Демонстрируя ученикам, как строится таблица умножения, мы сразу показываем её компоненты. Целостное представление даёт возможность увидеть таблицу именно как научно обоснованную систему умножения, составляющими которой являются два множителя и произведение. Первый множитель – постоянное число. Второй множитель – обычный счёт до десяти, или увеличенные на единицу числа до десяти (предыдущее число становится в последующем на единицу больше). По возрастающей идут и таблицы на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Так что по вертикали и по горизонтали наблюдается обычный счёт. Только в первом случае увеличивается второй множитель, тогда как первый остаётся неизменным. В дальнейшем увеличивается число, которое умножается. Увеличивается всё время на единицу от предыдущего к последующему. Таким образом, первый множитель в системе умножения – это постоянное одинаковое слагаемое, потому что его одинаковость берётся по схеме таблицы столько раз, сколько указывается во втором множителе.

Что даёт такое исследование всей таблицы умножения? Оно помогает видеть процесс научного осмысления при исходном составлении самой таблицы, а с другой стороны, заставляет нас осознавать тот труд, который вложил в неё создатель, и свою маленькую возможность понять то, что уже кем-то открыто. Учитель и стоит на страже научных истин, которые открыты. Он проводник научного осмысления и применения в системе обучения. Так мы становимся свидетелями открытия, которое работает на обучение, на математическую грамотность. Если же мы не способны видеть систему и закономерность в уже известных выводах, находках, то нам ничего не остаётся, как заниматься зубрёжкой. Такой зубрёжкой таблицы умножения занимались в давние века. И наш век, век компьютеров и интернета, как бы не сдвинулся с места в осознании фундаментальных математических истин, которыми дорожил открыватель. Но мы, учителя, как проводники научных достижений в деле обучения детей математической грамотности, обязаны видеть систему связей, закономерностей и иметь должны возможность легко и доступно объяснить их тем, кого собрались обучать. Однако мы от сложения идём к умножению часто кургузо, не считаясь с тем, что впереди нас ждёт система представлений на таблицу умножения как на схему закономерных отношений чисел определённой последовательности, забывая о том, что должны видеть перспективу развития методического освещения данной темы в целом с тем, чтобы при построении чисел в выражении (4 + 4 + 4; 4 взять 3 раза; 4 · 3) или при переходе от выражения к нахождению его значения
(4 + 4 + 4 = 12; 4 · 3 = 12; 4 взять 3 раза = 12) мы понимали, что строим сразу здание по имени «Таблица умножения». К этой цели ведёт тема, ведёт вся та база знаний, которую мы последовательно закладываем в ребёнка.

Раньше таблицы умножения таким способом можно строить и изучать таблицу сложения (и вместе с ней – таблицу вычитания). Но потом придёт черёд деления. Если прежде мы установили параллель сложения и умножения, то теперь вводим параллель вычитания и деления. Одновременно рассматриваем вычитание как действие, обратное сложению, а деление – как действие, обратное умножению.

 

Прямые действия	Обратные действия
сложение 3 + 2 = 5	вычитание
	5 – 2 = 3
	5 – 3 = 2
умножение 3 · 2 = 3 + 3 = 6	деление
	6 : 2 = 3
	6 : 3 = 2

 

Порой при переходе от сложения к умножению дети, не обращая внимания на знак математического действия, слагают первый множитель со вторым – например, 4 · 3 = 7, а не 12. Почему? Не понимают, что сложение только одинаковых слагаемых можно перевести в умножение и умножением назвать. Ученики сразу слагают два разных числа. Это уже не умножение, а обычное сложение. Не понимают ли дети механизм умножения или это психологическое состояние, когда ребёнок не может перейти от обычного сложения к сложению одинаковых чисел (слагаемых), при котором возможно значительное увеличение числа во столько раз, сколько указано во втором множителе?

Дело в том, что в школе стали произвольно толковать темы, ссылаясь на полярность и многополярность мнений, подходов и методических способов объяснений и доказательств. Так-то оно так. Только можно и перетакивать. Если мы отрываемся от настоящего знания (как некоторые толкователи отрываются от живого художественного текста автора, разбавляя его своими домыслами, не расширяющими и не уточняющими основного содержания), то вместо знаний пытаемся навязывать детям то, что кажется важным нам, забывая о важности фундаментальных научных достижений, закладываемых в учебную базу школьных предметов.

Да, когда открывают в науке что-то особенное – например, таблицу умножения или сложения в математике, то торжествует эйфория поэтического восприятия – восприятия целостного, без всяких аналитических или синтезирующих раскладок. Но после приходит отрезвление реального обучения и повседневной работы, которая требует видеть элементы целого как в системе обучения, так и на отдельном уроке по теме.

 

Психологическая или методическая причина?

 

При переходе к степени ребёнок уже умножает, но основание на степень. Почему? Это может быть психологической ошибкой, когда, освоив умножение, дети по привычке воспринимают возведение в степень как аналогичное математическое действие, не обращая внимания на иную запись – на отсутствие знака умножения, на то, что число, обозначающее степень, написано выше числа, являющегося основанием. Надо определять точную причину. Если это привычка, то её стоит методически выдавливать из сознания ученика практической отработкой; если он не отличает обычного сложения от сложения одинаковых слагаемых, которые переводятся в умножение, а затем при возведении в степень (это действие более высокого порядка) ученик опять умножает, то это означает, что у него нет базового знания.

Механизм возведения в степень внешне похож на механизм умножения, но имеет принципиальное отличие. Если надо выполнить 2³, то число 2 также берём 3 раза, но не слагаемым, а множителем: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, а не 2³ =
2 + 2 + 2 = 6, не 2³ = 2 · 3 = 6. При возведении в степень первое в записи число (основание) умножают на самого себя столько раз, сколько указано в другом – втором числе (показателе степени). Здесь не сумма одинаковых чисел (как при умножении), а их произведение. В нашем примере не первое число 2, или множитель, увеличивается в 3 раза, а то, что получается от умножения числа на самого себя (произведение) потом опять умножается на первое число. Степень указывает только на то, сколько раз умножается число на самого себя. И всё. Если дети данный механизм не понимают, то это одно. Базовое знание не освоено. Методика не найдена. Если же здесь сказывается психологическое свойство, когда по привычке возводят в степень умножением разных слагаемых на определённое число, тогда ясно, что ребёнку сложно перейти от таблицы умножения или от её формирования к новому, более сложному действию – возведению в степень. Ребёнок твёрдо усвоил умножение – соединение в сумму, которую заменили произведением одинаковых слагаемых, но ещё не усвоил то, что в новом действии эти повторяющиеся числа получили статус множителей. Теперь ученик уже не может преодолеть другой вид действия – умножение.

Здесь могут помочь:

1) упражнения на сравнение, сопоставление математических действий с одними и теми же числами –

 

3 + 3 = 6	3 + 3 = 6
3 · 3 = 9	3 + 3 + 3 = 9
33 = 27	3 · 3 · 3 = 27	9 · 3 = 9 + 9 + 9 = 27

 

2) упражнение на противопоставление математических действий –

 

Прямое действие	Обратные действия
возведение в степень	нахождение основания степени
	(извлечение корня)
32 = 3 · 3 = 9	= 3; – 3
(– 3)2 = (– 3) · (– 3) = 9
	вычисление степени (логарифма)
	log 3 9 = 2

 

К сведению

 

Леонтий Филиппович Магницкий – автор первого русского учебника по математике «Арифметика, сиречь наука числительная…». Эту книгу признавали за образец учёности. Магницкий впервые ввёл в русский язык математические термины «множитель», «делитель», «произведение» и др.

 

КОРРЕКТИРОВКА РУССКОЙ

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: