ФОРМАЛИЗАЦИЯ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ШКАЛЫ.

Любые наблюдаемые явления представляют собой эмпирическое множество фактов, с которыми напрямую, порой, не удается провести никаких операций (макрокосм, микромир и так далее). Тем не менее, при попытке начала операции измерения можно определить существование двух и только двух, видов отношений на этом множестве.

Первый вид: эквивалентность - J.

Второй вид: предпочтение -П.

Для возможности измерений, чем занимается теория планирования эксперимента, необходимо перейти к числовому множеству, отражающему эмпирическое множество в виде чисел и отношений в числовом множестве, тогда эквивалентности в эмпирическом множестве будет соответствовать равенство или тождество в числовом множестве; а предпочтению в эмпирическом множестве отношения больше или меньше в числовом (Л.4).

Таким образом мы имеем два множества: эмпирическое- Э, с отношениями на нем и числовое - N, с отношениями на нем. Причем, каждому элементу эмпирического множества Э _i ( i =1,… N ) соответствует элемент числового множества Ч _i ( i = 1,… N ).

Теперь необходимо найти функцию f ( x ):- гомоморфную, работающую в одном направлении или изоморфную, работающую в обеих направлениях, переводящую члены одного множества в другое.

Таким образом, упорядоченное статистическое множество (кортеж), состоящий из трех членов: эмпирического множества Э, числового множества N , функции f ( x ), называется статистической измерительной шкалой. В квалиметрии и теории качества этот кортеж носит название квалиметрической или измерительной шкалы.Примерное представление об элементах статистической измерительной шкалы представлено на рис.9.

Рис.9. Представление о статистической шкале

Следует отметить, что, привычная всем шкала любого измерительного прибора не является статистической измерительной шкалой, а представляет собой числовое отображение функции f ( x ). 

Мир шкал велик, существуют различные классы шкал, в том числе и многомерные шкалы, шкалы для различных топологических пространств и структур, рассмотрение которых не входит в круг задач пособия.

Далее рассмотрим основные виды шкал, применяемых в стандартных измерениях. Единственное, что нужно понять и запомнить: любое измерение осуществляется в какой – либо шкале! Причем выбор шкалы влияет на правильность измерений.

Так же как выпуск денежной массы, не обеспеченной товарами, приводит к инфляции и последующей девальвации денежной единицы, также и неверный выбор шкалы обесценивает процесс измерения в ходе эксперимента.

А)  Шкала эквивалентности - ШЭ

 Данная шкала в разных литературных источниках может носить разное название, имея при этом, одинаковый смысл: шкала - номинальная, порядка, эквивалентности, классификационная, наименований, (два последних названия представляются не корректными, что будет видно из дальнейшего изложения), толерантная. Разберемся с логической основой шкалы эквивалентности. Пусть, проводится такое измерение, когда каждому объекту может быть приписано любое значение, но обязательно каждому несхожему объекту свое конкретное значение, что соответствует использованию любой монотонной функции. Набор объектов, имеющих одинаковые значения, приводит к шкале эквивалентности. Например, при выпуске продукции, часть ее бракуется, образуя подмножество Т, эквивалентное в заданном нами смысле, где t ₁ , t ₂ ,… Î T. Виды брака могут быть разными, но они едины с позиций контролера. Подобная ситуация представлена на рис.10. На рисунке для наглядности и возможности сравнения приведены все типы рассматриваемых в пособии шкал.

 

Рис.10. Смысл статистических шкал

 Шкала эквивалентности может быть разделена на две подшкалы:

а) подшкала наименований, – все полученное подмножество Т, со свойственными ему аксиомами, которые кратко представлены ниже:

1. Если t Î T , а t J t , то получаем свойство изоморфности, когда любой элемент равен сам себе.

2. Если t ₁ , t ₂ Î T, а t ₁ J t ₂, то и t ₂ J t ₁ , то получаем свойство симметрии.

3. Если t ₁ , t ₂ , t ₃ Î T, а t ₁ J t ₂ и t ₂ J t ₃, то t ₁ J t ₃ , то получаем известное из школьной математики свойство транзитивности,- когда два элемента порознь равны третьему, то они равны между собой.

б) подшкала классификаций. Разделим Т (полученное подмножество) на классификационный показатель J, частное Т/ J создает непересекающиеся области в Т, имеющие одинаковый показатель эквивалентности.

На рис.10 А) подмножество брака - Т, может содержать разные виды брака. Например, при контроле качества на телевизионном производстве это может быть: скол на фанеровке, несведенные лучи, трещина на кинескопе и т.п. Все эти дефекты эквивалентны по одному признаку - невозможности поставки в торговую сеть из-за обнаруженных несоответствий ТУ. Второй пример, участники первенства премьер - лиги России по футболу (в начале сезона) разделены на команды, имеющие разные цвета на футболках, но их объединяет единый признак эквивалентности - участие в первенстве России.

Логику измерений по шкале эквивалентности можно отразить следующим образом:

Q_i = Q _зад или          Q_i Q _зад ,                                1

где: Q_i - характеристика измеряемого объекта,

  Q _зад- требования ТУ или иных документов.

Отметим, что подмножество Т не вводит никаких числовых значений и не определяется никакими параметрами. Поэтому ШЭ относится к разряду непараметрических шкал.

Б). Шкала предпочтения - ШП

Данная шкала (рис. 10 Б), также имеет разные названия, сохраняя единый смысл (шкала порядка, рангов, предпочтений). При измерениях по этой шкале используется главный принцип квалиметрии - принцип попарного сопоставления.

Логику измерений по шкале предпочтения можно записать в виде:

Q_i ‹ или › Q _j ,                                                      2 

где: Q_i - характеристика измеряемого объекта,

  Q _j - характеристика другого объекта из сравниваемого подмножества j = 1,2,… n.

Полученное подмножество Т можно разложить по оси качества либо по признаку возрастающего предпочтения Q ₁ › Q ₂ › Q ₃ …,либо по признаку убывающего предпочтения Q ₁ ‹ Q ₂ ‹ Q ₃ …. Выбор порядка предпочтения зависит от целей исследования.

В нашем примере с телевизионным контролем за признак предпочтения можно выбрать простоту устранения дефекта, создав ряд: устранение скола фанеровки, сведение лучей, замена кинескопа. При выборе из ряда аналогичных приборов, для установки одного из них на борт самолета, можно избежать точного определения веса, просто попарно сопоставляя приборы на рычажных весах. И когда масса m_i какого-то из них оказывается меньшей, то, естественно, что именно он будет выбран для летательного аппарата. Напомним, что количество топлива увеличивается в пропорции 10 литров на 1 кг аппаратуры для самолета и 100 литров на 1 кг для ракеты.

Аксиоматика шкал предпочтения усложняется незначительно.

1.Если t ₁ , t ₂ Î T , а t ₁ J t ₂ , то либо t ₁ П t ₂, либо t ₂ П t ₁ , и тогда получаем свойство связности.

2. Если t ₁ , t ₂ Î T , а t ₁ П t ₂ , то t ₂   t ₁ и тогда получаем свойство асимметрии.

3. Если t ₁ , t ₂ , t ₃ Î T, а t ₁ П t ₂ и при этом t ₂ П t ₃, то t ₁ П t ₃ и тогда получается известное уже свойство транзитивности.

Расстановка объектов в порядке убывания или возрастания их показателей называется ранжированием и при этой процедуре используется, как это было отмечено выше, принцип попарного сопоставления. Психологи утверждают, что такой принцип лежит в основе любого выбора, то есть сравнивать размеры попарно всегда проще, чем сразу определить их место на шкале предпочтения. Для облегчения измерения по шкале предпочтения (порядка) некоторые точки на ней можно закрепить в качестве опорных (реперных). Студенческие знания оцениваются по этой шкале, а сами цифры носят название баллов.

В качестве примеров можно рассматривать таблицу интенсивности землетрясений по 12-ти балльной шкале MSK – 64 (не путать с 7-ми балльной шкалой Рихтера и 10-ти балльную таблицу твердости минералов по шкале Роквелла.

По шкале предпочтения сравниваются размеры, которые сами остаются неизвестными. Ранжированный ряд может быть получен в результате опытов, расчетов или их комбинации, в результате сравнения принимается решение какой размер больше, меньше или равен. В отличие от теоретического сравнения экспериментальное сравнение является случайным, то есть решение может быть правильным или неправильным. На правильность решения оказывает влияние наличие помех. Отметим, что помехи могут быть как аддитивными, так и мультипликативными. Помеха измерению является предметом самостоятельного изучения, большинство измерений связано с введением поправки корректирующей ошибку, вызванную помехой. При использовании шкал предпочтения введение поправки бессмысленно, так как эта шкала определяет только логические операции, при этом, отсутствует масштаб, и не могут выполняться никакие арифметические действия. Баллы нельзя складывать, вычитать, перемножать или делить. Поэтому, несмотря на малую информативность шкал предпочтения, они, тем не менее, находят широкое применение при оценках в трудно формализуемых областях: в социальной сфере, искусстве, гуманитарных науках, при органолептических экспертизах, при визуальном контроле и т.д.                                             

Рис.11. Структурная схема средства измерения  

Структурную схему средства измерения по шкале предпочтений можно представить в виде, приведенном на рис.11.

Представленная на рисунке схема состоит из компаратора (устройства сравнения) и решателя (устройства принятия решения). Чаще всего в роли компаратора при оценивании по шкале предпочтений выступает человек. При автоматизации процесса это может быть ЭВМ.

Шкала предпочтений является вторым представителем непараметрических шкал. В шкале не проводится действий между несколькими объектами одновременно, а рассматриваются только парные соответствия.

В). Шкала дистанций - ШД

Шкала дистанций, как и две предыдущие, имеет разные названия в разных литературных источниках, при сохранении единой логики. Она носит название шкалы дистанций, разности, интервалов. Шкала (рис.10 В) позволяет определять разность между размерами, которые сами остаются неизвестными, так как в шкале не вводится понятия начала отсчета. В шкале вводятся соотношения между несколькими объектами, поэтому аксиоматика этих шкал достаточно сложна и не будет рассматриваться в пособии. Единственное, что нужно отметить, что оператор D, обозначающий величину дистанции, в записи t ₁ t ₂ D t ₃ t ₄ указывает, что разность t ₁ – t ₂ предпочтительнее, чем t ₃ – t ₄.

Модель теоретического сравнения размеров одной меры представлены в виде

Q_i – Q_j = D Q_ij.                      3

При этом с размером Q_j сравниваются все размеры Q_i. Представим, что имеется ранжированный ряд Q ₅ Q ₄ Q ₃ Q ₄ Q ₅ , порядок появления измерений не имеет значений, так как всегда их можно перенумеровать в порядке возрастания или убывания.  На рис.12 представлен набор пяти дистанций, в качестве Q_j выбран 3-ий размер, если бы мы выбрали Q ₄, произошло бы смещение нуля вправо. То есть точка нуля выбирается произвольно. Следовательно, разность между дистанциями (интервал) может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Само понимание начала отсчета произвольно и полностью зависит от желания исследователя или постановки задачи.  

 

                                                                                        

Рис. 12. Пример построения шкалы дистанций.

Приведем несколько примеров шкалы дистанций.

1. Необходимо измерить высоту здания от основания фундамента. При этом, совершенно не важно от какого уровня вести отсчет, от уровня моря или от той отметки по высоте, на которой находится здание.

2. Расстояние по окружности между противоположными концами диаметра не зависит от начала отсчета.

3. Перепад температур не зависит от выбора разных температурных шкал:

Цельсия 100⁰ - (между таянием льда и кипением),

Реомюра 80⁰,

Фаренгейта 180⁰ ,

 Кельвина – 0 отсчета равен - 273,16 ⁰.

Деление шкалы интервалов на равные части – градации, устанавливает на ней масштаб и позволяет выразить измерение в числовой мере, то есть мы измеряем число градаций укладывающихся в интервале D Q_j. Для удобства измерений и повышения точности можно использовать различные градации:

1) равномерная градация на основе арифметической прогрессии, когда диапазон измерений не велик,

2)  градация на основе геометрической прогрессии, с целью укрупнения масштаба удаленных измерений,

3) градация на основе логарифмической шкалы при большом диапазоне значений и возможности линеаризации характеристик и применения принципа аддитивности,

4) градации на основе вероятностных законов распределения,

5) градация на основе комбинации различных СШ,

6) градация на основе ряда предпочтительных чисел. На шкале интервалов определены такие действия как сложение и вычитание, то есть можно определить, на сколько один размер отличается от другого. Так на рис. 12.

Q ₅ – Q ₄ = D Q ₅ - D Q ₄ ,

Q ₅ – Q ₂ = D Q ₅ – (- D Q ₂ ).

Так как начало отсчета неопределенно, умножение и деление на шкале интервалов не производится.

Структурная схема средства измерения представлена на рис. 13.

Отсчетное устройство

Компаратор

                                                                                             

Q_i                                                                                             

Q_j                                                                                             

 

Рис.13. Структурная схема средства измерения

 

В устройстве сравнения осуществляется операция (3)

Q_i – Q_j = D Q_ij .

Компаратор выполняет те же функции, что и в шкале предпочтений, отличие состоит в том, что дистанция Q_j , с которой производится сравнение, устанавливается один раз. Отсчетное устройство служит для определения разности между измеряемым объектом и базовым размером Q_{j .} Главным элементом отсчетного устройства является градуированная шкала, осуществляющая преобразование D Q_ij D Q_{i г}. Цена деления шкалы называется градуировкой. При реальных измерениях на объект воздействует много факторов, учет их совместного воздействия невозможен, поэтому появляется случайное слагаемое. Пусть измеряем разницу веса D m = m ₁ – m ₂, но на самом деле m ₁ – m ₂ = D m – M, правая часть должна быть преобразована отсчетным устройством в масштаб принятой градуировки. Но так как, в самом преобразовании могут быть ошибки, то получим Х= D m – M – Н, где Х- отдельно взятое показание средства измерения называемое отсчетом – х по шкале интервалов, а Н- аддитивно взятое случайное слагаемое, характеризующее ошибку измерения.

Если удается получить представление о законах распределения M и Н или оценить их средние значения, тогда в показание средства измерений вносится поправка . Так как поправка не является случайной, то она задает смещение D m = х + Q (показание + поправка). Поправка может быть положительной (например, когда часы отстают) или отрицательной (часы спешат).

В общем случае внесение в показание х поправки Q обеспечивает правильность результата измерений. Достаточно вспомнить соотношение между понятием категоричности и надежности статистических оценок. Результат измерений при этом остается случайным и мы никогда не получим точечного категорического ответа, а всегда получим доверительный интервал в котором будут находиться значения.

Г). Шкала отношений - ШО.

Эта шкала также имеют различные названия, - шкала пропорциональности, подобия, отношений, но чаще всего в литературе применяется последнее название. В этой шкале - ШО (рис.10 Г) полагают, что неизвестный размер сравнивается с известным размером и выражается через него в кратном или дольном отношении. В ШО вводится понятие начала отсчета - нулевой точки. Измерения по шкале отношений отвечают на вопрос « во сколько раз больше?» и поэтому позволяют осуществлять все возможные арифметические действия. Шкала отношений не имеет отрицательных значений и лежит в диапазоне от 0 до ∞.

При сравнении двух размеров по ШО следуют отношению:                                                                                                                                                                        Q _I / Q_j = q_ij                   4                                      

Размер Q_j стоящий в знаменателе выступает в качестве единицы измерения, поскольку частное от деления q_ij показывает в размере Q_i . Для обеспечения единства измерений в качестве Q_j выбирается узаконенная единица [ Q ], то есть .

       Все сказанное о помехах выше, применимо и для ШО, т.е. поправка также суммируется или вычитается из измерения

                   Q = X ± Q .

       Пример. Точность рулетки 0,1%, измеряется длина комнаты 500 см., длина рулетки 10 м. Ошибка при измерении составит величину                  Q =1000 см. * 0,001 = 1 см, и тогда с учетом поправки измерения будут лежать в диапазоне - 559 ¸561 см.

Из этого примера, очевидно, что на результат измерения влияет точность средства измерения. Если в ШО за начало отсчета принять абсолютное значение нуля (абсолютная температура, абсолютно черное тело, абсолютное поглощение электромагнитного излучения, скорость света и т.п.), то осуществляется переход к абсолютной шкале. Некоторые авторы выделяют этот тип шкал в отдельный класс. В данном пособии будем использовать только 4 типа СШ, рассмотренных выше.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: