Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


А. Наилучшая статистическая оценка



        Используя исходные статистические данные , можно предложить несколько формул для расчета опытного случайного значения , например:

   

                             28

Но какая же из всех возможных формул дает наилучшую оценку для Т0?

В методах математической статистики под наилучшей статистической оценкой  для неизвестного параметра То выбирается такая формула-оценка , которая удовлетворяет трем основным требованиям: состоятельности; несмещенности; эффективности.

Так как статистическая оценка  является случайной величиной, то она имеет свой закон распределения, математическое ожидание и дисперсию.

Свойство состоятельности оценки  заключается в том, что при п  ее математическое ожидание М( ) сходится к математическому ожиданию Т0 = М (Т) изучаемой случайной величины Т:

   

Если  при любых значениях n (в том числе и при малых), то такая оценка обладает свойством несмещенности.

Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию, является эффективной оценкой.

Формула для расчета наилучшей статистической оценки  зависит от вида плотности вероятности F ( t ) случайных величин , входящих в эту формулу.

Используя известный в математической статистике метод максимума правдоподобия, можно показать, что если плотность вероятности F ( t ) исходных случайных величин имеет экспоненциальное распределение, т. е.

                                  29

то наилучшая статистическая оценка  для неизвестного параметра Т0 должна рассчитываться по формуле

                                   30

Например, если имеется t1 = 72 ч, t2 = 56 ч, t3= 103 ч, то наилучшая оценка   равна:

 

Значит ли это, что неизвестный параметр То тоже равен 77 часам ? Конечно, нет! То  = 77 ч только по вероятности. Если повторить эксперимент по оценке То в тех же условиях и снова набрать три значения , то в общем случае получим новое число

                 

Но по прежнему будет справедливо вероятностное приближение То . Значит, случайное число   в каждом повторении опыта при п = const будет принимать случайные значения  , приблизительно равные значению неизвестного числа То.

 

Достоверность определяет степень уверенности в том, что данное статистическое утверждение истинно.

   Рис. 18 Иллюстрация нахождения случайных значений

      Следовательно, если по результатам эксперимента получена какая-то оценка , рассчитанная по формуле (30), то можно лишь с некоторой вероятностной уверенностью утверждать, что область наиболее возможных значений для То находится где-то в районе случайного числа  (см. рис.18). Есть лишь некоторая достоверность того, что неизвестное число То лежит где-то между левой минимальной границей  и правой максимальной Т2= Тшах.

Следовательно, для того чтобы статистически полно определить приближенное вероятностное равенство , необходимо указать достоверность и точность оценки. Количественно достоверность измеряется вероятностью того, что возможные значения неизвестного параметра заключены в определенном интервале. Этот интервал называется доверитель ным интервалом, а его границы — доверительными границами.

       Достоверность численно равна вероятности того, что оцениваемый параметр заключен в доверительном интервале.

       Точность оценки определяется численными значениями границ доверительного интервала (т. е. его левого, минимального, и правого, максимального, значения).

        Если достоверность велика, то велика и практическая уверенность в том, что неизвестный параметр, действительно, заключен между указанными доверительными границами. Поэтому доверительная вероятность физически обозначает меру практической уверенности в истинности статистической оценки.

        Применительно к изучаемому вопросу оценки неизвестного параметра Т0 доверительная вероятность   равна:

                                                                                         31

        Величина доверительного интервала ( ) (см. рис.18) характеризует точность статистической оценки неизвестного параметра безотказности То. Таким образом, характеризуя точность оценки То, можно указать, что возможные значения для Т0  заключены в пределах между Т1 и Т2, т. е.

                                   .

        Другими словами можно сказать, что достоверность — это практическая гарантия того, что То находится в заданных пределах точности оценки.

    Следовательно, если зафиксировать границы точности оценки, то с ростом n увеличивается достоверность оценки. В практических расчетах доверительная вероятность  принимается в интервале 90- 99 %. Доверительные границы выбираются таким образом, чтобы вероятность 1 -  делилась поровну слева от минимального значения и справа от максимального значения. Так, при принятой доверительной вероятности = 90%, нижняя граница определится вероятностью от 5% до нуля, а верхняя граница от 95% до 100%. Левые и правые значения численно равны площадям под кривой распределения и позволяют определить коэффициенты точности оценки  и . Отсюда подставляя вместо неизвестного параметра его наилучшую оценку, получим:

, представляющую нижнюю границу и , представляющую верхнюю границу.       Значения коэффициентов точности табулированы и выбираются при задании объема выборки и заданной доверительной вероятности (беря значения верхней границы - ½(1- ) и нижней границы 1 -½(1- )).

Рассмотрим пример для трех значений времени ,

1. ,

2. Из таблицы определяем значение коэффициента для нижней границы  и для верхней границы .

3. С доверительной вероятностью 90% утверждаем, что неизвестный параметр Т0 заключен в пределах:

      .

      Следует напомнить, что увеличение доверительной вероятности приведет к расширению интервала!


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 239; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.018 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь