Основные этапы методов ELECTRE

1. На основании заданных оценок двух альтернатив подсчитываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой, что альтернатива a превосходит альтернативу b.

2. Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми сравниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтернатив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия – ниже, то одна из альтернатив превосходит другую. В противном случае альтернативы несравнимы.

3. Из множества альтернатив удаляются доминируемые. Оставшиеся образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в ядро, могут быть либо эквивалентными либо несравнимыми.

4. Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и несогласия (меньший по значению уровень согласия и больший уровень несогласия), при которых выделяются ядра с меньшим количеством альтернатив.

5. В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. Последовательность ядер определяет упорядоченность альтернатив по качеству.

 

Метод PROMETHEE

Рассмотрим еще один многокритериальный метод сравнения альтернатив.

Постановка задачи

Дано:

 – множество альтернатив,

 – множество критериев.

Требуется: упорядочить альтернативы по ценности.

 

Алгоритм решения

Шаг 1. Парные сравнения альтернатив по каждому критерию. Для каждой пары альтернатив  рассчитывается разница по каждому критерию f_k:

Шаг 2. Вычисление мер предпочтения по критериям .При сравнении двух действий для данного критерия разница не всегда имеет смысл. С одной стороны, разница может, например, принимать некоторые значения ниже определенного порога, после которого она считается незначительной.

С другой стороны, когда разница превышает определенный предел, принимающий решение может сделать вывод о ситуации строгого предпочтения (независимо от еще большего увеличения разницы). Эти примеры иллюстрируют роль мер предпочтения. Они позволяют лицу, принимающему решение выразить то, как различия должны быть интерпретированы. Вычисление мер предпочтения, обозначающихся , осуществляется как отображение  в [0, 1]:

где P_k – положительная неубывающая функция, принимающая 6 форм:

Рис. 5.2 Обычная функция

 

Рис. 5.3 U-образная функция

 

Рис. 5.4 V-образная функция

 

Рис. 5.5 Уровневая функция

 

Рис. 5.6 V-образная функция с порогами безразличия

 

Рис. 5.7 Функция Гаусса

 

Шаг 3. Вычисление индексов предпочтения для каждой альтернативы. Как только парные сравнения действий были сделаны для каждого критерия, можно агрегировать эти значения, чтобы получить глобальную степень предпочтения при помощи взвешенной суммы – индекса предпочтения:

где w_k – относительная важность критерия , .

Шаг 4. Вычисление положительных, отрицательных и чистых оценок:

  − положительный поток;

 − отрицательный поток;

 − чистый поток (PROMETHEE-II).

Пример

Рассмотрим задачу выбора вакансии программистом. Исходные данные представлены в табл. 5.4. Веса критериев заданы: w₁=0, 5, w₂=0, 3, w₃=0, 2.

Таблица 5.4

Исходные данные для выбора вакансии

Альтернативы	Вакансии разработчиков hh.ru	Зарплата (т.р.) f 1	Вакансии f 2	Перспектива f 3
a 1	Python	30	5	10
a 2	PHP	25	3	15
a 3	C++	52	7	5
a 4	1C	15	12	8
a 5	C#	30	4	11

Требуетсяпроранжировать данные виды вакансий по выбранным критериям.

Шаг 1. Для каждой пары альтернатив  рассчитывается разница между оценками альтернатив по критерию «Зарплата» (табл. 5.5).

Таблица 5.5

Разница между оценками альтернатив по критерию «Зарплата»

	а 1	а 2	а 3	а 4	а 5
а 1	0	5	-22	15	0
а 2	-5	0	-27	10	-5
а 3	22	27	0	37	22
а 4	-15	-10	-37	0	-15
a 5	0	5	-22	15	0

 

Для каждой пары альтернатив  рассчитывается разница между оценками альтернатив по критерию «Вакансии» (табл. 5.6).

 

Таблица 5.6

Разница между оценками альтернатив по критерию «Вакансии»

	а 1	а 2	а 3	а 4	а 5
а 1	0	2	-2	-7	1
а 2	-2	0	-4	-9	-1
а 3	2	4	0	-5	3
а 4	7	9	5	0	8
a 5	-1	1	-3	-8	0

Для каждой пары альтернатив  рассчитывается разница между оценками альтернатив по критерию «Перспектива» (табл.5.7).

 

Таблица 5.7

Разница между оценками альтернатив по критерию «Перспектива»

	а 1	а 2	а 3	а 4	а 5
а 1	0	-5	5	2	-1
а 2	5	0	10	7	4
а 3	-5	-10	0	-3	-6
а 4	-2	-7	3	0	-3
a 5	1	-4	6	3	0

Шаг 2. Находим значения функций предпочтения для полученных разностей (табл. 5.8).

Для P₁ – U-образной функции q=5; для P₂ – уровневой функции q=1, s=3; для P₃ – V-образной функции с порогами безразличия q=3, s=5.

Таблица 5.8

Значения функций предпочтения

P 1		а 1	а 2	а 3	а 4	а 5
	а1	0	0	0	1	0
	а2	0	0	0	1	0
	а3	1	1	0	1	1
	а4	0	0	0	0	0
	a5	0	0	0	1	0
P 2	а1	0	0, 5	0	0	0
	а2	0	0	0	0	0
	а3	0, 5	1	0	0	0, 5
	а4	1	1	1	0	1
	a5	0	0	0	0	0
P 3	а1	0	0	1	0	0
	а2	1	0	1	1	0, 5
	а3	0	0	0	0	0
	а4	0	0	0	0	0
	a5	0	0	1	0	0

Шаг 3. Вычисление индексов предпочтения для каждой альтернативы (табл. 5.9).

Таблица 5.9

Индексы предпочтения для каждой альтернативы

	π (а i, a 1 )	π (а i, a 2 )	π (а i, a 3 )	π (а i, a 4 )	π (а i, a 5 )	Φ +
π (а1, aj )	0	0, 15	0, 2	0, 5	0	0, 85
π (а2, aj )	0, 2	0	0, 2	0, 7	0, 1	1, 2
π (а3, aj )	0, 65	0, 8	0	0, 5	0, 65	2, 6
π (а4, aj )	0, 3	0, 3	0, 3	0	0, 3	1, 2
π (а5 , aj )	0	0	0, 2	0, 5	0	0, 7
Φ -	1, 15	1, 25	0, 9	2, 2	1, 05

 

Элемент матрицы (3, 1) высчитывается следующим образом: 1*0, 5+0, 5*0, 3+0*0, 2=0, 65.

Шаг 4. Вычисление положительных, отрицательных и чистых оценок:

Φ (a₁) = Φ ⁺(a₁) - Φ ^-(a₁) = 0, 85 - 1, 15 = -0, 3;

Φ (a₂) = Φ ⁺(a₂) - Φ ^-(a₂) = 1, 2- 1, 25 = -0, 05;

Φ (a₃) = Φ ⁺(a₃) - Φ ^-(a₃) = 2, 6 - 0, 9 = 1, 7;

Φ (a₄) = Φ ⁺(a₄) - Φ ^-(a₄) = 1, 2 - 2, 2 = -1;

Φ (a₅) = Φ ⁺(a₅) - Φ ^-(a₅) = 0, 7-1, 05 = -0, 35.

Результаты ранжирования альтернатив a₃, a₂, a₁, a₅, a₄:

1) C++,

2) PHP,

3) Python,

4) C#,

5) 1С.

Метод NAIADE

Метод NAIADE предназначен для многокритериального оценивания альтернатив в условиях различных типов исходных данных [12].

Постановка задачи

Дано:

 − множество альтернатив;

 – множество критериев для сравнения альтернатив.

Требуется: найти лучшую альтернативу или построить рейтинг альтернатив.

Алгоритм решения

Шаг 1. Определение для каждого критерия альтернативы:

− типа переменной (четкий количественный, нечеткий количественный, стохастический, лингвистический);

− положительной или отрицательной направленности;

− порогового значения (фиксированного значения, определяющего условия, при которых одна альтернатива превосходит другую).

Шаг 2. Вычисление семантического расстояния (разницы между значениями альтернатив).

Шаг 3. Расчет индексов интенсивности предпочтений (степени предпочтения одной альтернативы над другой по каждому критерию).

Шаг 4. Расчет совокупного отношения предпочтения (степени предпочтения одной альтернативы над другой по всем критериям).

Шаг 5. Расчет энтропии.

Шаг 6. Расчет положительного и отрицательного потоков.

Шаг 7. Определение итогового ранжирования альтернатив.

Рассмотрим каждый из этапов подробнее [13].

Шаг 1. На первом этапе для критериев необходимо установить несколько параметров.

Во-первых, определяется тип данных для каждого критерия: четкий количественный, нечеткий количественный, стохастический или лингвистический.

Во-вторых, устанавливается ориентированность критерия: положительная (большие значения критерия лучше меньших) или отрицательная (меньшие значения лучше больших).

В-третьих, выбираются пороговые значения (t_{(≥ /≤ )}, t_{(> /< )}, t_{(≈ )}, t₍₌₎) для определения шести отношений предпочтения: намного лучше, лучше, приблизительно равные, равные, хуже, намного хуже. Отношения предпочтения – это нечеткие числа, которые отражают определенную степень истинности отношения предпочтения.

Если критерий является качественной переменной, то согласно [13] может принимать следующие девять значений: отлично, очень хорошо, хорошо, более или менее хорошо, умеренно, более или менее плохо, плохо, очень плохо, крайне плохо. Например, функция принадлежности для значения «очень хорошо» рассчитывается согласно формуле (5.8). Функции принадлежности для остальных значений приведены в приложении 1.

                     (5.8)

Если критерий является нечеткой переменной, то согласно [13], может принимать четыре типа функции принадлежности. Например, функция принадлежности для гауссовой функции принадлежности рассчитывается согласно формуле (5.9). Другие виды функций принадлежности приведены в приложении 2.

 

                                                   (5.9)

Шаг 2. Вычисление семантического расстояния.

Пусть даны две функции принадлежности f(x), g(y), для которых:

.

Тогда семантическое расстояние определяется как

.

Семантическое расстояние между двумя объектами будет определяться расстояниями между двумя точками-координатами этих значений в двухмерном пространстве.

Для четкого числового типа данных, семантическое расстояние вычисляется как модуль разности значений альтернатив по критериям.

Шаг 3. Расчет индекса интенсивности предпочтений.

На основе семантических расстояний и функций принадлежности вычисляются индексы интенсивности предпочтений для четырех отношений предпочтения (табл. 5.10). Индексы отражают степень (вероятность) рассматриваемого предпочтения альтернативы А альтернативе B.

Таблица 5.10

Функции отношений предпочтения

Отношения предпочтения	Функции
Намного лучше или намного хуже
Лучше или хуже
Приблизительно равны
Равны

где  – индекс отношения предпочтения для j-го отношения предпочтения между альтернативами А и B по     i-му критерию;

δ – семантическое расстояние между альтернативами А и B;

t_j – пороговое значение для j-го отношения предпочтения.

Шаг 4. Расчет совокупного отношения предпочтения.

Используя индексы интенсивности предпочтений, полученные на предыдущем шаге, вычисляется агрегированный индекс отношения предпочтения, называемый совокупным отношением предпочтения [13]:

,

где A, B –альтернативы;

j – отношение предпочтения;

α – мера консервативности, которая говорит о том, что рассматриваются только те отношения предпочтения, индекс которых больше, чем α ;

n – количество критериев.

Шаг 5. Расчет энтропии.

Когда индекс интенсивности предпочтений близок к пороговому значению, то надежность отношения предпочтения не очень высока, для того чтобы учесть надежность предпочтений, применяется концепция энтропии:

где

где – индекс интенсивности предпочтений i-го критерия.

Энтропия достигает своего максимума – 1, если индекс интенсивности предпочтений равен 0, 5, т.е. когда оценки альтернатив равны пороговым значениям. При значениях индекса 1 или 0, энтропия равна 0.

Шаг 6. Расчет положительного и отрицательного потоков.

Итоговая иерархия альтернатив в методе NAIADE представляется в форме двух частичных ранжирований и диаграммы предпочтений, являющейся результатом пересечения двух потоков, которые вычисляются по следующей формуле:

,

,

где , А – альтернатива;

i – альтернатива отличная от А;

μ _≥ (A, i) – совокупный индекс отношения предпочтения.

Значение положительного потока (Ф⁺) отражает, насколько альтернатива А предпочтительнее других альтернатив. Значение отрицательного потока (Ф^-) описывает насколько все альтернативы доминируют альтернативу А.

Шаг 7. Определение итогового ранжирования альтернатив.

Пример

Дано: исходные данные приведены в таблице 5.11.

Таблица 5.11

Исходные данные

Альтернативы	Языковая школа № 1	Языковая школа № 2	Языковая школа № 3	Языковая школа № 4
Цена за курс (руб.)	9600	7500	11400	8600
Престиж языковой школы (баллы)	8	7	10	5
Месторасположение	Не очень удобное	Удобное	Неудобное	Не очень удобное

Требуется: проранжировать данные языковые школы по выбранным критериям.

Решение. Для решения задачи согласно алгоритму, описанному ранее, использовалась программа [14].

Шаг 1 . Пороговые значения, тип переменной и направленность для каждого критерия приведены в табл. 5.12.

Таблица 5.12

Настройка критериев

Критерий	Тип критерия	Направленность	Пороговые значения
			t(≥ /≤ )	t(> /< )	t(≈ )	t(=)
Цена за курс (руб.)	Четкий количественный	Отрицательная	500	100	50	10
Месторасположение	Лингвистический	Положительная	Пороговые значения отсутствуют
Престиж языковой школы (баллы)	Нечеткий количественный	Положительная	2	1, 5	1	0, 5

 

Шаг 2. Расчет семантического расстояния (табл. 5.13 – 5.15).

 

Таблица 5.13

Семантическое расстояние для критерия «Цена»

Цена	Ожидаемая разница	Семантическое расстояние
Школа №1 − Школа №2	2100	2100
Школа №1 − Школа №3	-1800	-1800
Школа №1 − Школа №4	1000	1000
Школа №2 − Школа №3	-3900	-3900
Школа №2 − Школа №4	-1100	-1100
Школа №3 − Школа №4	2800	2800

 

Таблица 5.14

Семантическое расстояние для критерия «Месторасположение»

Месторасположение	Ожидаемая разница	Семантическое расстояние
Школа №1 − Школа №2	-0, 2537	0, 2494
Школа №1 − Школа №3	0, 5	0, 4986
Школа №1 − Школа №4	0	0, 1078
Школа №2 − Школа №3	0, 7537	0, 7487
Школа №2 − Школа №4	0, 2537	0, 249
Школа №3 − Школа №4	-0, 5	0, 5003

 

Таблица 5.15

Семантическое расстояние для критерия «Престиж»

Престиж	Ожидаемая разница	Семантическое расстояние
Школа №1 − Школа №2	0, 4167	2, 1404
Школа №1 − Школа №3	6, 5417	2, 7692
Школа №1 − Школа №4	1, 2500	2, 1331
Школа №2 − Школа №3	6, 125	2, 238
Школа №2 − Школа №4	0, 8333	1, 9447
Школа №3 − Школа №4	-5, 2917	2, 6323

 

Шаг 3. Расчет индексов интенсивности предпочтений (степени предпочтения одной альтернативы над другой по каждому критерию).

Таблица 5.16

Индекс интенсивности предпочтений для критерия «Цена»

Цена	Намного лучше	Лучше	Приблизительно одинаково	Одинаково	Хуже	Намного хуже
Школа №1 − Школа №2	0	0	0	0	0, 9918	0, 8485
Школа №1 − Школа №3	0, 9741	0, 9987	0	0	0	0
Школа №1 − Школа №4	0	0	1	1	0	0
Школа №2 − Школа №3	0, 9865	0, 9993	0	0	0	0
Школа №2 − Школа №4	0, 8485	0, 9918	0	0	0	0
Школа №3 − Школа №4	0	0	0	0	0, 9987	0, 9741

 

Таблица 5.17

Индекс интенсивности предпочтений для критерия «Месторасположение»

Месторасположение	Намного лучше	Лучше	Приблизительно одинаково	Одинаково	Хуже	Намного хуже
Школа №1 − Школа №2	0	0	0, 3960	0, 0009	0, 5074	0, 2827
Школа №1 − Школа №3	0, 6644	0, 8	0, 1704	0	0	0
Школа №1 − Школа №4	0	0	0, 7249	0, 4309	0	0
Школа №2 − Школа №3	0, 8267	0, 9009	0, 0617	0	0	0
Школа №2 − Школа №4	0, 2827	0, 5074	0, 3957	0, 0009	0	0
Школа №3 − Школа №4	0	0	0, 1718	0	0, 8	0, 6644

 

Таблица 5.18

Индекс интенсивности предпочтений для критерия «Престиж»

Престиж	Намного лучше	Лучше	Приблизительно одинаково	Одинаково	Хуже	Намного хуже
Школа №1 − Школа №2	0, 0090	0, 0716	0, 2757	0, 0001	0	0
Школа №1 − Школа №3	0, 9268	0, 9500	0, 1557	0	0	0
Школа №1 − Школа №4	0, 2356	0, 4098	0, 2373	0	0	0
Школа №2 − Школа №3	0, 9172	0, 9434	0, 1625	0	0	0
Школа №2 − Школа №4	0, 0872	0, 2358	0, 2886	0, 0001	0	0
Школа №3 − Школа №4	0	0	0, 1818	0	0, 9256	0, 8914

 

Шаг 4. Результаты расчета совокупного отношения предпочтения (степени предпочтения одной альтернативы над другой по всем критериям) представлены в табл. 5.19.

Таблица 5.19

Совокупное отношение предпочтения по всем критериям

	Намного лучше	Лучше	Приблизительно одинаково	Одинаково	Хуже	Намного хуже
Школа №1 − Школа №2	0	0	0	0	0, 4996	0, 3270
Школа №1 − Школа №3	1	1	0	0	0	0
Школа №1 − Школа №4	0	0	0, 7233	0, 4076	0	0
Школа №2 − Школа №3	1	1	0	0	0	0
Школа №2 − Школа №4	0, 3562	0, 6540	0	0	0	0
Школа №3 − Школа №4	0	0	0	0	1	1

 

Шаг 5. Расчет энтропии (табл. 5.20).

Таблица 5.20

Энтропия

	Намного лучше	Лучше	Приблизительно одинаково	Одинаково	Хуже	Намного хуже
Школа №1 − Школа №2	0	0	0	0	0, 3561	0, 2045
Школа №1 − Школа №3	0, 4905	0, 3407	0	0	0	0
Школа №1 − Школа №4	0	0	0, 3047	0	0	0
Школа №2 − Школа №3	0, 3934	0, 2626	0	0	0	0
Школа №2 − Школа №4	0, 2045	0, 3561	0	0	0	0
Школа №3 − Школа №4	0	0	0	0	0, 3727	0, 5299

 

Шаг 6. Расчет положительного и отрицательного потоков.

Таблица 5.21

Положительные и отрицательные потоки

	Значение положительного потока	Значение отрицательного потока
Школа №1	0, 75	0, 00
Школа №2	0, 23	0, 15
Школа №3	0, 22	0, 18
Школа №4	0	1

 

Шаг 7. Определение итогового ранжирования альтернатив:

1) Школа № 2,

2) Школа № 1,

3) Школа № 4,

4) Школа № 3.

 

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: