Принятие решений с использованием аппарата теории нечетких множеств: алгоритм Мамдани

Алгоритм Мамдани используется для многокритериальной оценки объектов по набору критериев [18]. Входными данными для алгоритма являются описание и значения нечетких переменных, правила вывода. Результатом работы алгоритма являются четкие значения выходных переменных.

На первом этапе определяется набор критериев k _1, k ₂, …, k_v для оценки объектов, им в соответствие ставятся нечеткие переменные.

Нечеткие переменные представляют собой тройку < a, X, A>, где a – имя переменной, X – область определения a, A – нечеткое множество на X, которое может быть охарактеризовано набором функций принадлежности  m _A(x). Множества X и A определяются конкретным критерием. Например, если в качестве критерия выступает «месторасположение фирмы», то ему будет соответствовать одноименная нечеткая переменная, множество значений которой можно описать тройкой «удобное», «не очень удобное», «неудобное». Каждому значению будет соответствовать своя функция принадлежности.

Правила представляют собой конструкции вида

«если < сложное условие>, то < список выходов> », где

< сложное условие>        : - or(< список условий> ) |

                                                and(< список условий> ) |

                                                < условие>

 

< список условий>           : - (< условие> )[< список условий> ]

< условие>                       : - < имя входной нечеткой переменной>

                                                < значение входной нечеткой переменной>

< список выходов>          : - (< значение выхода> )[< список выходов> ]

 

< значение выхода>        : - < имя выходной нечеткой переменной>

                                                < значение выходной нечеткой переменной>

 

Рассмотрим работу алгоритма Мамдани на примере (рис. 5.11). Пусть база знаний состоит из двух правил:

П1: если х есть А1 и у есть В1, тогда z есть С1,

П2: если х есть А2 и у есть B 2, тогда z есть С2,

где х и у – имена входных переменных, z – имя переменной вывода, A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2 – некоторые заданные функции принадлежности, при этом четкое значение z ₀ необходимо определить на основе приведенной информации и четких значений x ₀ и y ₀.

Рис. 5.11. Основные этапы работы алгоритма Мамдани

 

Алгоритм состоит из 4 этапов:

1. Введение нечеткости: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: A1(x₀), A2(x₀), B1(y₀), B2(y₀). Например, A1(x₀) – это значение функции принадлежности A1 переменной x в точке x₀.

2. Нечеткий вывод: находятся уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил (при этом для логической операции «и» используется операция min, для логической операции «или» используется операция max). В нашем примере:

                                     a1=A1(x₀)Ù B1(y₀),

                                     a2=A2(x₀)Ù B2(y₀).

Затем находятся усеченные функции принадлежности для выходной переменной:

                                     С'₁=(a1Ù C1(z)),

                                     С'₂=(a2Ù C2(z)).

3. Композиция: с использованием операции max производится объединение найденных усеченных функций, что приводит к получению итоговой функции принадлежности для выходной переменной. В нашем примере:

μ _S(z)=C(z)=С'₁Ú С'₂=(a1Ù C1(z))Ú (a2Ù C2(z))=

=(A1(x₀)Ù B1(y₀)Ù C1(z))Ú (A2(x₀)Ù B2(y₀)Ù C2(z)).

4. Дефаззификация: находится четкое значение выходной переменнойz₀ (например, центроидным методом (как центр тяжести для кривой μ _S(z)):

 – для дискретного варианта.

 

Пример

Рассмотрим задачу построения рейтинга компьютерных фирм. В качестве критериев для оценки объектов в данном случае выступают «Качество обслуживания клиентов» и «Месторасположение фирмы». Оба критерия измеряются по пятибалльной шкале, то есть эксперт в качестве значения критерия может выбрать любое целое число в интервале от 0 до 5. Поставим критериям в соответствие нечеткие переменные (табл. 5.34).

Таблица 5.34

Задание нечетких переменных для критериев

Параметры нечеткой переменной	Имя нечеткой переменной a
	«Качество обслуживания клиентов» (КО)	«Месторасположение фирмы» (МФ)
Область определения X	[0, 5]	[0, 5]
Значения нечеткой переменной	«отличное», «приемлемое», «плохое»	«удобное», «не очень удобное», «неудобное»
Функции принадлежности  mA(x) для значений нечеткой переменной

 

В качестве выходной переменной будет выступать «рейтинг объекта» (табл. 5.35).

Таблица 5.35

Задание выходной нечеткой переменной

Имя нечеткой переменной a	«Рейтинг»
Область определения X	[0, 100]
Значения нечеткой переменной	«низкий», «средний», «высокий»
Функции принадлежности  mA(x) для значений нечеткой переменной

 

Для простоты вычислений пусть система правил вывода состоит из 3 правил:

П1: Если КО отличное (А1) и МФ неудобное (В1), то рейтинг средний (C1).

П2: Если КО приемлемое (А2) и МФ не очень удобное (В2), то рейтинг низкий (C2).

П3: Если КО плохое (А3) и МФ удобное (В3), то рейтинг низкий (C3).

Исходные данные представим в виде табл. 5.36.

Таблица 5.36

Исходные данные для альтерантив

№ фирмы	Качество обслуживания, баллы	Месторасположение, баллы
1	4	1
2	3	3
3	1	4

 

Рассмотрим основные этапы работы алгоритма.

Этап 1. Введение нечеткости

Найдем степени истинности для предпосылок каждого правила (табл. 5.37).

Таблица 5.37

Степени истинности для предпосылок правил

№ фирмы	П1	П2	П3
1	А1(4)=0.5, В1(1)=0.35	А2(4)=0, В2(1)=0	А3(4)=0, В3(1)=0
2	А1(3)=0, В1(3)=0	А2(3)=1, В2(3)=0.65	А3(3)=0, В3(3)=0
3	А1(1)=0, В1(4)=0	А2(1)=0, В2(4)=0	А3(1)=0.5, В3(4)=0.3

 

Этап 2. Нечеткий вывод

Найдем уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил (табл. 5.38).

Таблица 5.38

Уровни «отсечения» для предпосылок правил

№ фирмы	П1	П2	П3
1	a1=min(0.5, 0.35)=0.35	a2=min(0, 0)=0	a3=min(0, 0)=0
2	a1=min(0, 0)=0	a2=min(1, 0.65)=0.65	a3=min(0, 0)=0
3	a1=min(0, 0)=0	a2=min(0, 0)=0	a3=min(0.5, 0.3)=0.3

 

Найдем усеченные функции принадлежности для выходной переменной (табл. 5.39).

Таблица 5.39

Усеченные функции принадлежности для выходной переменной

№ фирмы	П1	П2	П3
1	С'1=a1Ù C1(0.35)	С'2=a2Ù C2(0)	С'3=a3Ù C3(0)
2	С'1=a1Ù C1(0)	С'2=a2Ù C2(0.65)	С'3=a3Ù C3(0)
3	С'1=a1Ù C1(0)	С'2=a2Ù C2(0)	С'3=a3Ù C3(0.3)

 

Этап 3 и 4. Композиция и дефаззификация. Результат представлен в табл. 5.40.

Таблица 5.40

№ фирмы	μ S(z)=C(z)=С'1Ú С'2Ú С'3	μ S(z)	zi	Рейтинг
1	max(0.35, 0, 0)=0.35		50	1
2	max(0, 0.65, 0)=0.65		16, 7	3
3	max(0, 0, 0.3)=0.3		18, 62	2

 

Таким образом, в результате работы алгоритма мы имеем набор четких значений выходной переменной «рейтинг» в выбранной нами шкале измерений значений переменной: z₁, z₂, …, z_m, где m – число фирм. Упорядочив полученные значения по убыванию, получим рейтинг фирм P.

 

Вопросы и задания

1. Построение рейтинга объектов – это классификация, ранжирование или классификация и ранжирование внутри класса?

2. Приведите примеры известных Вам рейтингов, которые публикуются аналитическими агентствами.

3. Почему поиск Парето-оптимальных альтернатив является начальным этапом задач принятия решений?

4. Есть ли необходимость в нормировании данных при использовании метода взвешенной суммы?

5. Приведите пример функции предпочтения в методе Promethee, в случае, если критерий направлен «отрицательно», т.е. чем меньше значение критерия, тем выше оценка по критерию.

6. Какова смысловая нагрузка значения показателей Ф⁺ и Ф^- в методе Promethee?

7. Выбрать лучший инвестиционный проект по методу БОФа. Для сравнения проектов выбраны следующие критерии:

– W₁ – объем инвестиций, млн дол.;

– W₂ – годовой оборот проекта, млн дол.;

– W₃ – годовой объем чистой прибыли, млн дол.;

– W₄ – срок окупаемости проекта, лет;

– W₅ – риск потери инвестиций.

При сравнении проектов важно учесть, что для критериев W₁, W₂, W₃ большие значения предпочтительнее меньших, для критерия W₄ меньшие значения предпочтительнее больших, а критерий W₅ имеет качественную шкалу.

Исходные данные представлены в табл. 5.41.

Таблица 5.41

Исходные данные для сравнения инвестиционных проектов

Проекты	W 1 (объем инвестиций, млн дол.)	W 2 годовой оборот проекта, млн дол.)	W 3 (годовой объем чистой прибыли, млн дол.)	W 4 (срок окупаемости проекта, лет)	W 5 (риск потери инвестиций)
Проект 1	33	26	7, 8	5, 5	Н
Проект 2	1, 08	1, 65	0, 585	2, 5	Н
Проект 3	1, 8	4, 55	0, 66	2	О
Проект 4	3	3, 9	0, 825	3	ОН
Проект 5	1, 138	18	1, 3	1, 5	В
Проект 6	0, 66	3	0, 39	2, 5	ОВ
Проект 7	0, 11	0, 754	0, 13	2, 2	О
Проект 8	9, 1	20, 4	2, 6	6, 5	В
Проект 9	1, 1	5, 2	0, 585	2, 75	В

 

«О» – риск отсутствует, «ОН» – очень низкий риск, «Н» – низкий риск, «В» – высокий риск, «ОВ» – очень высокий риск.

Для сравнения проектов по критерию «Риск потери инвестиций» используется порядковая шкала: лучшему значению показателя ставится в соответствие ранг 1, следующему значению ставится в соответствие ранг 2 и т.д. Если несколько проектов имеют одинаковое значение критерия «Риск потери инвестиций», то ранги проектов вычисляются следующим образом. Рассмотрим вариант 1. Проект 1 имеет низкий риск потери инвестиций, проекты 5 и 9 имеют высокий риск потери инвестиций. Тогда проекту 1 в соответствие ставится ранг 1, а проекты 5 и 9 будут иметь одинаковые ранги 2.5, поскольку они разделили 2 и 3 места по этому критерию: .

8. Построить кривые безразличия для оценки альтернатив по критериям «цена» и «качество».

9. Сравнить альтернативы вуз 1, вуз 2, вуз 3 с помощью метода Электра, установив индексы согласия и несогласия. Исходные данные представлены в табл. 5.42.

Таблица 5.42

Исходные данные для сравнения вузов

№	Критерий	вуз 1	вуз 2	вуз 3
1	Лидирующая роль руководства	47, 1	46, 2	53, 9
2	Политика и стратегия в области качества	29, 4	26, 1	24, 0
3	Оценка персонала	68, 9	72, 1	73, 7
4	Партнерство и ресурсы	91, 4	87, 7	98, 4
5	Процессы, осуществляемые       в вузах	29, 6	25, 6	36, 8
6	Удовлетворенность потребителями качеством услуг	47, 6	38, 3	51, 6
7	Удовлетворенность персонала	62, 6	62, 3	65, 8
8	Оценка общества	49	47	47

 

10. Построить функцию ценности для трех критериев, используя аксиоматический метод предпочтений и замещений. Минимальные значения критериев (10, 0, 20), максимальные (20, 50, 60). Все три критерия ориентированы положительно («больше» - «лучше»). Средние по ценности значения для первого критерия (15, 17, 19), второго (5, 10, 20), третьего (50, 53, 57). Первый критерий важнее второго, второй важнее третьего. Профили (17, 0, 20) и (10, 50, 20) равноценны. Профили (10, 10, 20) и (10, 0, 60) также равноценны. Сравнить профили (19, 5, 53) и (10, 10, 30).

11. Выбрать лучший антивирус, используя МАИ Саати и алгоритм Мамдани. Исходные данные для сравнения антивирусов приведены в табл. 5.43.

Таблица 5.43

Исходные данные для сравнения антивирусов

	Антивирус	Стоимость лицензии на год на 1 ПК, руб.	Качество сканирования (ложное срабатывание к эффективности), %	Эффективность проактивной защиты, %	Общая скорость сканирования, сек.	Частота обновлений, количество раз в сутки
1	Doctor Web	990	1.179	84.68	222	10, 7
2	Eset NOD 32	1080	0.099	88.79	159	0, 5
3	Kaspersky KAV	980	0.193	99.46	211	18, 5
4	Alwil avast	бесплатно	0.263	76.93	208	0, 5
5	Symantec SAV	599	0.000	85.17	276	1, 1
6	McAfee VirusScan	825	0.038	94.8	160	0, 2

 

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: