МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

 

Программа

Программа дисциплины «Методы исследования операций» предназначена для студентов специальности «Экономическая кибернетика».

Цель учебной дисциплины «Методы исследования операций» - вооружить студентов фундаментальными теоретическими знаниями и помочь сформировать практические навыки в вопросах постановки и решения оптимизационных экономических задач методами исследования операций.

Дисциплина имеет практическую направленность относительно решения вопросов оптимального распределения ограниченных ресурсов, выбора оптимального варианта (объекта, проекта) из множества альтернативных вариантов и т.д.

Основное содержание дисциплины раскрывают такие темы:

I семестр

1. Методы исследования операций и их использование в организационном управлении.

2. Общая задача линейного программирования и некоторые методы ее решения.

3. Теория двойственности и двойственные оценки в анализе решений линейных оптимизационных моделей.

4. Анализ линейных моделей экономических задач.

5. Транспортная задача. Постановка, методы решения.

6. Целочисленные задачи линейного программирования. Некоторые методы их решения и анализа.

II и III семестры

7. Элементы теории игр.

8. Блочное программирование.

9. Параметрическое программирование.

10. Задачи календарного планирования.

11. Задачи нелинейного программирования. Некоторые методы их решения.

12. Динамическое программирование.

13. Управление запасами.

Исследование операций — это наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного (или оптимального) управления организационными системами.

Предмет исследования операций — это системы организационного управления (организации), которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений, причем интересы подразделений не всегда согласуются между собой и могут быть противоположными.

Целью исследования операций является количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями.

Решение, которое оказывается наиболее выгодным для всей организации, называется оптимальным, а решение, наиболее выгодное одному или нескольким подразделениям, будет субоптимальным.

В качестве примера типичной задачи организационного управления, где сталкиваются противоречивые интересы подразделений, рассмотрим задачу управления запасами предприятия.

Производственный отдел стремится выпускать как можно больше продукции при наименьших затратах. Поэтому он заинтересован в возможно более длительном и непрерывном производстве, т. е. в выпуске изделий большими партиями, ибо такое производство снижает затраты на переналадку оборудования, а следовательно и общие производственные затраты. Однако выпуск изделий большими партиями требует создания больших объемов запасов материалов, комплектующих изделий и т. д.

Отдел сбыта также заинтересован в больших запасах готовой продукции, чтобы удовлетворить любые запросы потребителя в любой момент времени. Заключая каждый контракт, отдел сбыта, стремясь продать как можно больше продукции, должен предлагать потребителю максимально широкую номенклатуру изделий. Вследствие этого между производственным отделом и отделом сбыта часто возникает конфликт по поводу номенклатуры изделий. При этом отдел сбыта настаивает на включении в план многих изделий, выпускаемых в небольших количествах даже тогда, когда они не приносят большой прибыли, а производственный отдел требует исключения таких изделий из номенклатуры продукции.

Финансовый отдел, стремясь минимизировать объем капитала, необходимого для функционирования предприятия, пытается уменьшить количество «связанных» оборотных средств. Поэтому он заинтересован в уменьшении запасов до минимума. Как видим, требования к размерам запасов у разных подразделений организации оказываются различными. Возникает вопрос, какая стратегия в отношении запасов будет наиболее благоприятной для всей организации. Это типичная задача организационного управления. Она связана с проблемой оптимизации функционирования системы в целом и затрагивает противоречивые интересы ее подразделений.

 

Стандартная форма задачи линейного программирования

Стандартная форма задачи линейного программирования предполагает, что для всех переменных выполняется условие неотрицательности и все условия-ограничения имеют вид уравнений с неотрицательной правой частью.

 

Допустимые базисные решения.

Пусть ограничения задачи ЛП заданы в форме уравнений, т.е. задача записана в стандартной форме и содержит m уравнений и n (n³ m) переменных. Тогда все допустимые крайние точки множества допустимых решений определяются как все однозначные неотрицательные решения системы m уравнений, в которых n-m переменных равны нулю. Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые путем приравнивания к нулю (n-m) переменных, называются базисными решениями. Если базисное решение удовлетворяет требованию неотрицательности, оно называется допустимым базисным решением. Переменные, имеющие нулевое значение называются небазисными или свободными переменными, а остальные базисными.

Симплекс-метод.

Общая идея симплекс-метода заключается в следующем: начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки (обычно начала координат), осуществляются последовательные переходы от одной крайней точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка соответствующая оптимальному решению. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом удобно оформлять в виде симплекс-таблиц.

Алгоритм симплекс-метода состоит из следующих шагов:

Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы, определяют начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю n-m (небазисных) переменных. При этом если матрица системы ограничений задачи линейного программирования содержит единичную подматрицу порядка m, то это решение очевидно. Переменные, столбцы которых образуют эту единичную матрицу, являются базисными, остальные – свободными. Если же такой единичной матрицы нет, то для получения начального базисного решения вводятся искусственные переменные. Затем базисные переменные выражаются через небазисные из соответствующих ограничений и полученные выражения подставляются в целевую функцию. Если используются искусственные переменные, то применяются специальные методы (метод больших штрафов, двухэтапный метод).

Шаг 1. Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если такой переменной нет, вычисления прекращаются, так как полученное базисное решение оптимально. В противном случае переходят к шагу 2.

Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна принять нулевое решение (стать небазисной) при введении в состав базисных новой переменной.

Шаг 3. С помощью метода исключения переменных или метода Гаусса-Жордана находится новое базисное решение, соответствующее новым составам базисных и небазисных переменных и осуществляется переход к шагу 1.

Пример. Решить симплекс-методом задачу

Максимизировать z=3x1+2x2

при ограничениях x1+2x2£ 6;

2x1+x2£ 8;

-x1+x2£ 1;

x1£ 2;

x1³ 0, x2³ 0.

Решение.

Метод ветвей и границ.

На первом шаге также решается задача с ослабленными ограничениями, не содержащая условий целочисленности переменных. Но в отличие от методов отсечений этот метод может применяться как для полностью целочисленной задачи, так и для частично целочисленной. Если полученное оптимальное решение оказывается целочисленным, то оно является также решением исходной задачи. Идея метода заключается в следующем. Пусть xr целочисленная переменная, значение которой xr в оптимальном решении ослабленной задачи является дробным. Интервал

[xr]< xr< [xr]+1

не содержит допустимых целочисленных компонент решения. Поэтому допустимое целое значение xr должно удовлетворять одному из неравенств [xr]³ xr или xr³ [xr]+1. Введение этих условий в задачу с ослабленными ограничениями порождает две не связанные между собой задачи. В таком случае говорят, что исходная задача разветвляется на две подзадачи. Осуществляемый в процессе ветвления учет необходимых условий целочисленности позволяет исключить части многогранника допустимых решений, не содержащие точек с целыми координатами.

Затем каждая из подзадач решается как задача линейного программирования двойственным симплекс-методом. Если полученный оптимум оказывается допустимым для целочисленной задачи, то это решение следует зафиксировать как наилучшее. В противном случае подзадача в свою очередь должна быть разбита на две подзадачи по другой переменной и т.д.

 

Достигает минимума.

Метод решения транспортной задачи [6, 7, 10].

 

Сети

Многие задачи линейного программирования можно сформулировать и решить с помощью сетевых моделей. Специальная структура этих задач позволяет разработать эффективные алгоритмы, которые в большинстве случаев основываются на теории линейного программирования.

Задача минимизации сети.

Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, соединяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммарную длину. Для решения задачи необходимо построить минимальное дерево-остов, применяя следующий итеративный процесс. Начать с любого узла и соединить его с ближайшим узлом сети. Соединенные узлы образуют теперь связное множество, а остальные узлы – несвязное. Далее в несвязном множестве выбрать узел, расположенный ближе всего к одному из узлов связного множества. Скорректировать соответствующим образом связное и несвязное множества, а дугу, по которой произошло присоединение запомнить. Процесс повторять до тех пор, пока все узлы не окажутся в связном множестве. Выбранные дуги образуют минимальное дерево-остов. Его длина равна сумме длин этих дуг.

Задача о кратчайшем пути

Задача о кратчайшем пути состоит в нахождении связанных между собой дорог на транспортной сети, которые имеют минимальную длину от исходного пункта до пункта назначения. Для решения этой задачи можно применить следующий алгоритм. Каждому узлу сети будем приписывать временные пометки равные расстоянию от начального узла до данного узла. Если оказывается, что узел принадлежит кратчайшему маршруту, то временную пометку объявляем постоянной. На первой итерации начальному узлу приписывается постоянная пометка равная нулю, а остальным узлам – временные пометки, равные длине дуги из начального узла в рассматриваемый узел, если такая дуга существует и «¥ », если нет такой дуги. Затем, до тех пор пока конечный узел не получит постоянную пометку выполняются следующие две процедуры: 1) среди временных пометок выбирается минимальная и объявляется постоянной; 2) для всех временно помеченных узлов вычисляются новые временные пометки, меньшей из двух величин – старой временной пометки рассматриваемого узла и суммы постоянной пометки последнего постоянно помеченного узла и длины дуги, соединяющей последний постоянно помеченный узел с рассматриваемым узлом. Если при этом постоянную пометку получает конечный узел, то кратчайший маршрут найден. Дуги входящие в этот маршрут определяются следующим образом: если разность между постоянными пометками начального и конечного узлов данной дуги равна длине дуги, то эта дуга принадлежит кратчайшему маршрут.

 

Рассмотрим задачу о максимальном потоке между двумя выделенными узлами связной сети. Каждая дуга сети обладает пропускными способностями в обоих направлениях, которые определяют максимальное количество потока, проходящего поданной дуге. Ориентированная (односторонняя) дуга соответствует нулевой пропускной способности в запрещенном направлении.

Пропускные способности cij сети можно представить в матричной форме. Для определения максимального потока из источника s в сток t используется следующий алгоритм.

Шаг 1. Найти цепь, соединяющую s с t, по которой поток принимает положительное значение в направлении s®t. Если такой цепи не существует, перейти к шагу 3. В противном случае перейти к шагу 2.

Шаг 2. Пусть cij- (cij+) – пропускные способности дуг цепи (s, t) в направлении s®t (t®s) и q = min{cij-}> 0. Матрицу пропускных способностей (cij) изменить следующим образом:

(а) вычесть q из всех cij-;

(б) прибавить q ко всем cij+.

Литература

 

1. Протосеня А.Г., Кулиш С.А., Азбель Е.И. и др. Математические методы планировании и управлении горным производством. Учебное пособие для вузов. - М.: Наука, 1985.

2. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. -М.: Мир, 1984.

3. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985.

4. Грешилов А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях. - М.: Радио и связь, 1991.

5. Попов Ю.Д. Линейное и нелинейное программирование. Учебное пособие. - Киев, 1988.

6. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Учебное пособие для студентов вузов. - Киев: Вища школа. Головное издательство, 1979

7. Таха Х.. Введение в исследование операций: в 2-х книгах. - М.: Мир, 1985.

8. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1997.

9. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986.

10.  Данко. Высшая математика в примерах и задачах.

Контрольная работа.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради или на листах. Контрольная работа состоит из 7 заданий, представленных в общем виде. Числовые данные к каждой задаче выдаются преподавателем и должны следовать в выполненной контрольной работе после титульного листа. Решения задач должны сопровождаться достаточными пояснениями. При решении допускается использование ПЭВМ. Контрольная работа считается выполненной, если решены все задания. Контрольная работа защищается на консультации либо в течение семестра, либо перед зачетом. К зачету допускаются только студенты, защитившие свою работу.

 

Задание 1

Для изготовления трех видов продукции Р1, Р2 и Р3 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3 и S4. Запасы ресурсов, количество каждого ресурса, затрачиваемое на изготовление единицы продукции, прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице.

 

Вид ресурса