Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Методические указания к расчету фильтров



Задание на курсовую работу

Задание на курсовую работу составлено по 100-вариантной системе. Вариант задания определяется двумя последними цифрами в номере зачетной книжки студента. Курсовая работа включает в себя три задачи:

1. Расчет пассивного LC-фильтра верхних частот (ФВЧ) Баттерворта или Чебышева c использованием таблиц.

2. Расчет симметричного полосового LC фильтра (ПФ) Баттерворта или Чебышева с использованием таблиц.

3. Расчет активного RC-фильтра нижних частот (ФНЧ) Баттерворта или Чебышева аналитическим методом.

 

Задача 1. Рассчитать двухсторонне нагруженный LC ФВЧ Баттерворта или Чебышева по данным: в полосе пропускания (ПП)  ослабление не должно превышать , а в полосе задерживания (ПЗ)  ослабление должно быть не менее . Сопротивления генератора и нагрузки одинаковы, . Данные вариантов приведены в таблице 1. Для вариантов 01-25 и 51-75 кОм, для вариантов 26-50 и 76-100  Ом.

T ребуется

1. Определить порядок ФНЧ – прототипа (ФНЧП).

2. По таблицам определить нормированные значения параметров элементов ФНЧП.

3. Начертить схему LC ФНЧП и схему рассчитываемого LC ФВЧ.

4. Вычислить номинальные (истинные) значения парметров элементов ФВЧ.

5. Рассчитать ослабление A(f) ФВЧ на частотах: 0, 2 , 0, 5 , , , , где  - частота, соответствующая ослаблению 3 дБ фильтра Баттерворта.

6. Начертить график зависимости ослабления от частоты . По графику  выполнить проверку правильности расчета фильтра.

 

3адача 2. Рассчитать симметричный LC ПФ Баттерворта или Чебышева, нагруженный двусторонне по данным: границы ПП нижняя , верхняя  (или  или ширина ПП ), ослабление в этой полосе должно быть не более , а при частоте  ослабление должно быть не менее . Сопротивления генератора и нагрузки фильтра . Для вариантов 01-25 и 51-75 сопротивления  кОм, для вариантов, 26-50 и 76-100  Ом. Данные всех вариантов приведены в табл. 2.

Tребуется

1. Определить порядок n ФНЧП.

2. По таблицам определить нормированные значения элементов ФНЧП.

3. Начертить схему LC ФНЧП и ПФ.

4. Вычислить номинальные значения элементов ПФ.

5. Рассчитать ослабление A(f) на частотах , , , , , 1, 5 , 2 .

6. Начертить график зависимости ослабления от частоты . По графику  выполнить проверку правильности расчета фильтра.

 

Задача 3. Рассчитать ARC ФНЧ Баттерворта или Чебышева по данным: в ПП  ослабление не должно превышать , а при частоте  и более высоких ослабление должно быть не менее . Значения емкости равны , при этом =0, 1 мкФ и  для вариантов 01-50,  и =0, 08 мкФ для вариантов 51-100. Данные всех вариантов приведены в таблице 3.

 

T ребуется

1. Рассчитать порядок n ФНЧП, число звеньев первого и второго порядков;

2. Определить нормированные значения «нулей» знаменателя передаточной функции фильтра.

3. Найти выражения нормированных трехчленов каждого звена второго порядка.

4. Определить выражение нормированной передаточной функции  всего фильтра.

5. Найти выражение операторной передаточной функции для каждого звена .

6. Определить значения сопротивлений и коэффициента усиления K для каждого звена второго порядка.

7. Начертить полную схему фильтра.

8. Рассчитать ослабление фильтра  на частотах , , , 1, 5 , 2 .

9. Начертить график  и выполнить проверку правильности расчета фильтра.


Таблица 1

Требования к частотной характеристике A(f) LC-ФВЧ

Вари-анты

Фильтр Баттерворта

Вари-анты

Фильтр Чебышева

¦S , кГц DА, дБ ¦1,  кГц АS,  дБ ¦S , кГц DА, дБ ¦1,  кГц АS, дБ
01 и 26 1 0, 5 1, 75 15 51 и 76 1 0, 5 1, 75 14
02 и 27 2 0, 5 3, 5 20 52 и 77 2 0, 5 4, 0 18
03 и 28 3 0, 5 6, 0 30 53 и 78 3 0, 5 6, 0 32
04 и 29 0, 5 0, 5 1, 0 25 54 и 79 0, 5 0, 5 1, 25 25
05 и 30 0, 3 0, 5 0, 6 15 55 и 80 0, 3 0, 5 0, 7 20
06 и 31 1 0, 5 2, 5 30 56 и 81 1 1, 0 1, 5 23
07 и 32 2 1 5, 0 25 57 и 82 2 1, 0 3, 0 25
08 и 33 3 1 7, 5 20 58 и 83 3 1, 0 5, 0 16
09 и 34 0, 5 1 1, 0 25 59 и 84 0, 5 1, 0 0, 8 26
10 и 35 0, 3 1 0, 6 15 60 и 85 0, 3 1, 0 0, 5 30
11 и 36 1 1 1, 5 15 61 и 86 1 1, 0 1, 75 30
12 и 37 2 1 3, 2 15 62 и 87 2 1, 0 4, 0 36
13 и 38 3 2 4, 8 20 63 и 88 3 1, 0 6, 0 20
14 и 39 0, 5 2 0, 9 20 64 и 89 0, 5 1, 0 1, 25 25
15 и 40 0, 3 2 0, 54 25 65 и 90 0, 3 1, 0 0, 75 25
16 и 41 1 2 2, 0 25 66 и 91 1 2, 0 1, 5 15
17 и 42 2 2 4, 0 20 67 и 92 2 2, 0 3, 0 13
18 и 43 3 2 7, 5 30 68 и 93 3 2, 0 4, 8 30
19 и 44 0, 5 3 1, 25 25 69 и 94 0, 5 2, 0 0, 8 18
20 и 45 0, 3 3 0, 68 20 70 и 95 0, 3 2, 0 0, 5 20
21 и 46 1 3 1, 5 20 71 и 96 1 2, 0 1, 75 35
22 и 47 2 3 4, 0 15 72 и 97 2 2, 0 4, 0 40
23 и 48 3 3 4, 8 15 73 и 98 3 2, 0 6, 0 20
24 и 49 0, 5 3 0, 8 20 74 и 99 0, 5 3, 0 1, 25 23
25 и 50 0, 3 3 0, 54 25 75 и 100 0, 3 3, 0 0, 75 25

 


Таблица 2

Требования к частотной характеристике ослабления A(f) LC-ПФ

Вари-

анты

Фильтр Чебышева

Вари-

анты

Фильтр Баттерворта

¦-1, кГц ¦1, кГц D¦, кГц ¦0, кГц ¦S2, кГц AS2, дБ DA, дБ ¦-1, кГц ¦1, кГц D¦, кГц ¦0, кГц ¦S2, кГц AS2,  дБ DA, дБ
01 и 26 8 12, 5 - - 16 16 0, 5 51 и 76 10 14, 4 - - 16 14 1
02 и 27 - 12, 5 - 10 16 20 0, 5 52 и 77 10 - 4, 4 - 16 13 1
03 и 28 8 - 4, 5 - 16 36 0, 5 53 и 78 - 14, 4 - 12 16 12 1
04 и 29 10 14, 4 - - 16 26 0, 5 54 и 79 10 14, 4 - - 16 12 0, 5
05 и 30 10 - - 12 16 22 0, 5 55 и 80 10 - 4, 4 - 16 13 0, 5
06 и 31 10 - 4, 4 - 16 28 0, 5 56 и 81 - 14, 4   12 16 14 0, 5
07 и 32 9 16 - - 18 20 0, 5 57 и 82 10 - 4, 4 - 16 13 2
08 и 33 - 16 - 12 18 22 0, 5 58 и 83 - 14, 4 - 12 16 15 2
09 и 34 8 12, 5 -   16 18 1 59 и 84 8 12, 5 - - 18 15 0, 5
10 и 35 - 12, 5 - 10 16 22 1 60 и 85 8 - 4, 5 - 18 19 0, 5
11 и 36 10 14, 4 - - 16 26 1 61 и 86 - 12, 5 - 10 18 19 1
12 и 37 - 16 - 12 20 36 1 62 и 87 8 12, 5 - - 18 22 1
13 и 38 9 16 - - 20 32 1 63 и 88 8 12, 5 - - 18 22 2
14 и 39 9 - - 12 20 40 1 64 и 89 - 12, 5 - 10 18 28 2
15 и 40 9 - 7 - 20 35 2 65 и 90 8 12, 5 - - 18 28 3
16 и 41 8 12, 5 - - 16 20 2 66 и 91 9 16 - - 20 20 0, 5
17 и 42 8 - 4, 5 - 16 24 2 67 и 92 9 16 - - 20 20 1
18 и 43 - 12, 5 - 10 16 28 2 68 и 93 9 16 - - 20 20 2
19 и 44 9 16 - - 18 28 2 69 и 94 9 16 - - 20 20 3
20 и 45 16 25 - - 30 22 2 70 и 95 9 - 12 - 20 20 0, 5
21 и 46 - 25 - 20 30 20 2 71 и 96 16 25 - - 30 25 0, 5
22 и 47 16 - - 20 30 36 2 72 и 97 16 25 - - 30 25 1
23 и 48 8 12, 5 - - 16 25 3 73 и 98 - 25 - 20 30 25 2
24 и 49 9 16 - - 20 22 3 74 и 99 16 - 20 - 30 22 2
25 и 50 10 14, 4 - - 16 25 0, 5 75 и 100 16 25 - - 30 23 3

 


Таблица 3

 Требования к частотной характеристике ослабления A(f) ARC-ФНЧ

Вари-анты

Фильтр Чебышева

Вари-анты

Фильтр Баттерворта

¦S , Гц DА, дБ ¦1, Гц АS, дБ ¦S , Гц DА, дБ ¦1, Гц АS, дБ
01 и 51 70 0, 25 30 17 26 и 76 240 2 120 15
02 и 52 230 0, 25 100 20 27 и 77 150 3 75 14
03 и 53 80 0, 5 40 18 28 и 78 120 3 60 16
04 и 54 110 0, 5 50 16 29 и 79 300 3 150 15
05 и 55 90 0, 5 40 15 30 и 80 160 2 80 13
06 и 56 180 1 100 20 31 и 81 90 2 50 15
07 и 57 200 1 100 18 32 и 82 180 3 90 14
08 и 58 200 1 80 16 33 и 83 120 2 60 18
09 и 59 140 1 50 13 34 и 84 100 2 40 15
10 и 60 90 1 40 15 35 и 85 180 1 100 13
11 и 61 90 1 30 22 36 и 86 100 2 40 13
12 и 62 360 2 200 20 37 и 87 150 3 70 15
13 и 63 110 2 50 22 38 и 88 140 0, 5 60 18
14 и 64 100 2 40 19 39 и 89 120 0, 5 50 16
15 и 65 200 3 100 25 40 и 90 90 0, 5 40 14
16 и 66 150 3 60 30 41 и 91 100 3 50 14
17 и 67 100 3 50 23 42 и 92 100 3 40 15
18 и 68 100 3 40 20 43 и 93 70 3 30 17
19 и 69 140 3 70 19 44 и 94 110 2 50 14
20 и 70 120 3 60 15 45 и 95 110 2 60 16
21 и 71 160 0, 1 80 16 46 и 96 140 1 70 13
22 и 72 120 0, 1 50 17 47 и 97 140 1 60 14
23 и 73 100 0, 1 60 14 48 и 98 140 1 50 12
24 и 74 100 0, 1 40 18 49 и 99 200 3 100 13
25 и 75 90 0, 1 30 14 50 и 100 130 3 60 15

 

Методические указания к расчету фильтров

Основы теории фильтров

Электрические фильтры (ЭФ) - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами. Они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания, подведенного к его входу, частотных составляющих определенного спектра частот в заданной полосе частот с небольшим ослаблением (полоса пропускания - ПП) и подавления тех составляющих, которые расположены в других, также заданных полосах частот (полоса задерживания - ПЗ).

Нагрузка фильтров

 

Фильтры могут быть нагружены двухсторонне (рис. 3 а) и односторонне (рис. 3 б, в).

 


                                   

                 U RH                                                         

а)                            б)                       в)

Рис. 3. Виды нагрузок фильтров

(1, a)

 

Операторная передаточная функция для схемы (рис.3, а) определяется выражением

Для схем рис.3, б, в           .                                   (1, б)

Ослабление фильтра для всех трех схем вычисляется по формуле

 

                             (2)

Нормирование

 

При синтезе фильтров широко исполь­зуется нормирование по сопротивлению и частоте:

– нормированное сопротивление;

 - нормированная комплексная частота;

 

 

W = ω / ω 0 – нор мированная вещественная частота.

 

Нормирование по сопротивлению и частоте

(3)

 

В этих формулах  и  - нормирующие сопротивление и частота.

ФПНЧ - это фильтр-прототип нижних частот с нормированными значениями сопротивления и частоты, равными единице.

Нормированные сопротивления r, индуктивности l, емкости c вычисляются по формулам

;  ; .                  (4)

Денормирование

Денормирование - это переход от нормированных величин к действительным (номинальным). Коэффициенты денормирования сопротивлений, индуктивностей и емкостей определяются по формулам

; ; .                          (5)

Действительные номинальные сопротивления, индуктивности и емкости вычисляют через коэффициенты денормирования по формулам

; ; .                            (6)

Полиномиальные фильтры

 Это такие филь­тры, операторная передаточная функция которых определяется выражением

,                                           (7)

здесь  - полином Гурвица порядка n , постоянный множитель  определяет величину ослабления ФНЧП на частоте W=0.

По расположению полос частот пропускания (ПП) и задерживания (ПЗ) фильтры разделяются на ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.

 Ослабление полиномиального фильтра (т.е. его АЧХ) является

 

четной функцией нормированной частоты вида

Здесь |H(jW)| - модуль передаточной функции фильтра. 

 

 Если An-1=An-2=…=A1=0, а A0=An=1, то

 (8)

где .

Фильтры Баттерворта

 

Для полиномиальных фильтров с характеристикой Баттерворта принято частоту  нормировать по частоте , при которой  уменьшается до 1/Ö 2 = 0, 707 относительно максимального значения Н(0)=1, т.е. когда ослабление составляет 3 дБ. При этом А0=1 и

(9)

Такие фильтры называются фильтрами с максимально плоской характеристикой ослабления в ПП или фильтрами с характеристиками Баттерворта.

Передаточные функции этих фильтров определяются по формуле

(10)

 

 

                                          

1

0, 707               n=2                        n=4

n=4                            n=2

0          1          0        

a)                                  б)

Рис.4. Зависимость модуля передаточной функции H(Ω ) и ослабления A(Ω ) от порядка фильтра Баттерворта

 

На рис.4а приведены графи­ки частотной зависимости модуля передаточной функции  таких фильтров для двух значений n при ослаблении на границе полосы пропускания DА=3 дБ на уровне W=1, а на рис.4, б - кривые ослабления для тех же n.

Ослабление в этом случае определяется по формуле (9).

 

Если по условиям задачи ослабление в ПП на его граничной частоте  не должно превышать некоторой величины DА, не равной 3 дБ, то нормирующая частота  вычисляется по формуле

 

 

 

для ФНЧ            (11, а)

для ФВЧ            (11, б)

     а ослабление рассчитывается по формуле

.                                (12)

Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид

,                                          (13)

где         – полином Гурвица, а .

Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам

при n - четных ;                             (13, а)

  при n - нечетных .                                          (13, б)

В этих формулах k = 1, 2, ... 2n. Из этих 2n значений надо выбрать те n значений, которые для  имеют отрицательные ве­щественные части. Произведение сомножителей ( ), соответ­ствующих всем  с отрицательными вещественными частями, образует полином        .          (14)

2.1.5.2. Фильтры Чебышева имеют равномерно-колебатель­ную характеристику в ПП и монотонное возрастание в ПЗ. Для таких фильтров квадрат модуля переда­точной функции

       ,                                             (15)

где  – полином Чебышева степени n, он является четным или нечетным.

 

Передаточная функция ФНЧ Чебышева имеет вид

 (16)

Здесь произведение всех  также полином Гурвица.

Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитываются по формулам

 

(17)

Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к ПЗ.

Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают суще­ственной нелинейной фазовой характеристикой, а, следовательно, и непостоянным временем задержки.

Зависимости модуля передаточной функции от нормированной частоты для фильтра Чебышева для n нечетного и четного приведены на рис. 5.

Ослабление фильтра Чебышева определяют по формуле

,                      (18)

где  - полином Чебышева степени n,

ε – коэффициент неравномерности, который связан с r-коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением 

                                  (19)

                       

                   

                                                       H(f)

                    1                            1

                   n=5                        n=6

                    0                         0      

 

Рис. 5. Зависимость модуля передаточной функции от порядка фильтра

 

Так, например, для r = 0, 1 DA = 0, 044дБ; для r = 0, 15 DA = 0, 099дБ.

На рис. 6, а, б приведены соответствующие кривые ослабления ФНЧ для n нечетного и четного; на рис. 6в - для ПФ при n = 3.

A                        A                    A

n=5                       n=6

DA                      DA

0    1     W 0            1 W 0 W-1 W0 W1 W

а)                          б)                в)

Рис. 6. Кривые ослабления для четного и нечетного порядков фильтра

Рис. 7. Схемы ФНЧ - прототипа

4. Определяются по формуле (5) коэффициенты денормирования. Для ФНЧ и ФВЧ .

5. В соответствии с табл. 5 осуществляется преобразование нормированных элементов ФНЧП в элементы рассчитываемого фильтра.

Таблица 5

Преобразование схемы ФНЧ-прототипа в схему проектируемого фильтра.

  ФНЧП ФНЧ   ФВЧ   ПФ   РФ
k L k C / kLk            kC/kli k L / k     k C k /
c i k C c i k L / c i   k L / k c i   k C k c i kLk/ci        kCci/k
№ формулы (26, а) (26, б) (26, в) (26, г)

В формулах (26, в, г) k определяется по формуле (21). Из табл. 5 видно, что преобразование ФНЧП в ФВЧ состоит в замене нормированных элементов обратными, т.е. WB = 1/WH.  Отсюда вытекает связь между любой частотой f н  ФНЧ и соответствующей частотой  ФВЧ

,                                             (26)

где  - граничная частота ПП ФВЧ (см. примеры расчета LC ФВЧ).

Преобразование ФНЧП в ПФ основано на симметричном преобразовании частоты, при этом индуктивные элементы преобразуются в последовательное соединение индуктивности и емкости, а емкост­ные - в параллельное соединение индуктивности и емкости. При преобразовании ФНЧП в РФ происходит замена индуктивности параллельным соединением индуктивности и емкости, а емкости - последовательным соединением индуктивности и емкости (см. примеры расчета LC полосовых фильтров).

Для определения любой частоты  ФНЧП по заданным частотам  и  полосового фильтра используется следующая формула

.                                                 (27)

Для обратного перехода от ФНЧП к ПФ существуют формулы

 

,

.                                       (28)

 

Порядок расчетов фильтра

 

1. Определяется нормированная граничная частота ПЗ ФНЧП по формуле .

2. По формуле (23) для фильтра Баттерворта и по формуле (24) для фильтра Чебышева определяется порядок n ФНЧП.

3. Нормированная передаточная функция  рассматривается в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев второго и первого порядков. Если n - четное число, то фильтр состоит из  звеньев второго порядка. При n - нечетном в составе фильтра будет  звеньев второго порядка и одно звено первого порядка, которое обычно включают на выходе фильтра.                    ,                           (45)

где  - передаточные функции отдельных звеньев.

4. Определяются нормированные значения полюсов   передаточных функций второго порядка:

- для фильтра Баттерворта по формуле (13, а) или (13, б);

- для фильтра Чебышева по формуле (17).

5. Для каждой пары комплексно-сопряженных полюсов  и  вычисляются выражения квадратного трехчлена

                             (46)

и соответствующее выражение передаточной функции звена второго порядка                                                                      .                                                                  (47)

  6. Путем замены  на  выполняется денормирование передаточной функции звена второго порядка

.                             (48)

7. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменного p знаменателей передаточных функций (28) или (33) и (48), соответствующей схеме рис. 8 ARC-фильтра. Эта система из двух уравнений содержит пять неизвестных. Это означает, что она не имеет однозначного решения. Для их определения обычно задаются дополнительные условия. С учетом этого вычисляют остальные неизвестные.

Если порядок фильтра n - нечетный, то схема будет содержать одно звено первого порядка. Для него передаточная функция будет иметь вид

.                                            (49)

Заменяя  на , получим . (50)          

Схема звена ФНЧ первого порядка реализуется пассивной RC цепью (рис. 9). Ее передаточная функция равна

.                                           (51)

Сравнивая свободные члены знаменателей в (50) и (51), получаем значения .                      

 

                                                                

 

Рис. 9. Схема звена ФНЧ первого порядка.

3. Примеры расчетов электрических фильтров

Расчет ФВЧ Баттерворта

Рассчитать с использованием таблиц фильтр верхних частот Баттерворта, нагруженный двухсторонне по данным: граничная частота ПП  = 60 Гц, неравномерность характеристики ослабления в ПП не должна превышать =2 дБ, а при частотах = 30 Гц ослабление фильтра должно быть не менее =15 дБ, =75 Ом. Определить ослабление фильтра на частотах: 0, 2 ; 0, 5 ; ; ; .

Решение

Вычисляем нормированную граничную частоту полосы задерживания ФНЧП  = 60/30 = 2. По формуле (23) или по программе Exel (см. приложение П.2.3.1) определяем порядок ФНЧП

.


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2020-02-16; Просмотров: 264; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.17 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь