Применение второго метода Ляпунова.

4.1Достаточные условия устойчивости.

Сформулируем ряд достаточных условий устойчивости, используя функции Ляпунова.

Функция называется положительно определенной, если Пусть - непрерывные скалярные неубывающие функции такие, что Будем говорить, что функция если эта функция дважды непрерывно дифференцируема по и один раз по всюду в области U, кроме, может быть, множества и непрерывна в замкнутом множестве при любом

Теорема 1. Пусть в области U существует непрерывная функция для которой при x 0 справедливы неравенства

, (3.1)

где оператор L= . Тогда тривиальное решение (2.2) устойчиво по вероятности.

Также можно сформулировать условия устойчивости и в других смыслах. Приведем некоторые из них.

Теорема 2. Пусть существует функция Ляпунова такая, что

Тогда тривиальное решение уравнения (2.2) асимптотически устойчиво в целом по вероятности.

Теорема3. Пусть существует функция , удовлетворяющая неравенствам

(3.2)

(3.3)

Тогда тривиальное решение системы (3.1) экспоненциально р-устойчиво при .

Известно, что существует при всех , а также равенство

Дифференцируя обе части этого равенства по и учитывая неравенства (3.2) и (3.3), получаем

Отсюда следует, что

Из этого неравенства и (3.2) вытекает оценка

означающая, что тривиальное решение уравнения (2.2) экспоненциально р-устойчиво.

Пример.

При рассмотрении работы реальных систем в условиях неопределенности можно использовать разные классы случайных величин и процессов для моделирования различных источников неполноты информации. Вопрос о выборе адекватной модели весьма существенен и крайне не прост. В каждом конкретном случае он должен специально исследоваться. Пусть, например, устойчивая скалярная система находится под действием случайных сил и описывается уравнением

. (3.4)

Тогда в соответствии с формулой Ито решение уравнения (3.4) имеет вид

Отсюда, используя закон повторного логарифма, заключаем, что при достаточно большой интенсивности возмущения система (3.4) асимптотически устойчива по вероятности, т.е., в частности, систему можно стабилизировать (сделать устойчивой) за счет неопределенных факторов. Однако если работа системы описывается уравнением (3.4) в смысле Стратоновича, то это уже не имеет места. Действительно, в силу уравнений Стратоновича и Ито уравнение Стратоновича (3.4) эквивалентно следующему уравнению Ито:

На основании формулы Ито решение этого уравнения имеет вид

Значит, при таком способе описания скалярную систему нельзя стабилизировать случайными силами. Таким образом, этот пример показывает, что при описании конкретных физических систем в ряде случаев интеграл Стратоновича предпочтительнее.

4.2 Устойчивость линейных систем в среднеквадратическом. Исследуя условия экспоненциальной устойчивости в среднеквадратическом линейных систем вида

(3.5)

Здесь и – заданные матрицы размера с непрерывными ограниченными элементами, стандартные винеровские процессы взаимно независимы.

Теорема4. Для экспоненциальной устойчивости в среднеквадратическом системы (5.6) необходимо и достаточно существование функции , удовлетворяющее оценкам (3.2), (3.3) при .

Достаточность следует из теоремы 3.

Необходимость. Зададим функцию с помощью равенства

(3.6)

Здесь постоянный параметр будет выбран ниже, а через обозначено решение уравнения (5.6) при с начальным условием . Согласно определению экспоненциальной устойчивости в среднеквадратическом, имеем

(3.7)

Из (3.6) и (3.7) вытекает неравенство (3.8):

(3.8)

Для обоснования положительной определенности функции заметим, что в силу формулы Ито стохастический дифференциал по процесса имеет вид

(3.9)

где штрих означает знак транспонирования и положено .

Выражение в квадратных скобках в (3.9) с учетом производящего оператора марковского процесса есть результат применения производящего оператора , соответствующего процессу (3.5), к функции . Иными словами,

(3.10)

Напомним, что . Поэтому Отсюда и из ограниченности коэффициентов и уравнения (3.5) следует существование такой постоянной , что

(3.11)

Далее, четвертый момент процесса конечен на любом конечном интервале аргумента . Отсюда и из свойств стохастических интегралов Ито вытекает, что

(3.12)

Проинтегрируем теперь обе части равенства (3.10) по в пределах от до и вычислим потом математическое ожидание. С учетом (3.10) – (3.12)заключаем, что

(3.13)

На основании (3.7) параметр можно выбрать так, что при всех t справедливо неравенство

Отсюда и из (3.13) следует оценка

Тем самым установлено, что функция (3.6) удовлетворяет соотношениям (3.2) при р=2. Проверим, что для функции (3.6) справедливо неравенство (3.3) при р=2, имеющее в рассматриваемом случае вид

гле оператор L задается выражением

Действуя на обе части формулы (3.6) оператором L, находим

(3.14)

Имеем Поэтому на основании равенства (3.14) получим

123	Поделиться: