Третья стадия развития аксиоматического метода

Последовательное развитие этой идеи и стремление точно описать логические средства вывода теорем из аксиом привели Гильберта к концепции формального А. м., характерной для третьей, современной его стадии. Основная идея Гильберта – полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются просто как последовательности знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла (который они приобретают лишь при некоторой конкретной интерпретации). Это относится и к аксиомам – как общелогическим, так и специфическим для данной теории. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода (например, т. н. правило modus ponens – «правило зачёркивания», позволяющее получить В из А и «А влечёт В»). Доказательство в такой теории (исчислении) или формальной системе – это просто последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом обсуждаются – а иногда их удаётся и доказать – содержательными средствами т. н. метатеории, т. е. теории, рассматривающей данную («предметную») теорию как предмет изучения. На языке метатеории (метаязыка) формулируются и правила вывода предметной теории. По замыслу Гильберта, в рамках созданной им теории доказательств, т.е. допуская в метатеории только т. н. финитные способы рассуждения (не использующие ссылки ни на какие объекты, не имеющие конечного построения), можно было бы доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики (т. е. доказуемость каждой формулы, истинной при некоторой определённой интерпретации). Несмотря на ряд значительных результатов в этом направлении, гильбертовская программа в целом (её обычно называют формализмом) невыполнима, т. к., согласно важнейшему результату К. Гёделя (См. Гёдель) (1931), всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте). Теорема Гёделя свидетельствует об ограниченности А. м. (хотя определённые расширения допускаемых метатеоретических средств и позволили немецкому математику Г. Генцену, П. С. Новикову и др. математикам получить доказательство непротиворечивости формализованной арифметики).

А. м. подвержен также критике, исходящей из различных семантических критериев. Так, интуиционисты (Л. Э. Я. Брауэр, Г. Вейль и др.) не признают обоснованности в применении к бесконечным множествам принципа исключенного третьего, между тем этот принцип не только берётся в качестве логической аксиомы в большинстве формальных теорий, но и используется по существу (хотя и неявно) в основных предпосылках гильбертовской программы, согласно которой непротиворечивость теории – достаточное условие её «истинности». Как и интуиционизм, конструктивное направление в математике (в СССР – А. А. Марков и Н. А. Шанин) считает назначением математики изучение не произвольных моделей непротиворечивых формальных систем, а лишь совокупностей объектов, допускающих в определённом смысле эффективное построение.

Ещё более существенные возражения против А. м. выдвигает ультраинтуиционистская критика, ставящая под сомнение единственность натурального ряда чисел и, тем самым, однозначную определённость понятия теоремы формальной системы. Согласно этой критике, А. м. основан на «принципе локальности для доказательств», предполагающем, что если аксиомы истинны и правила вывода сохраняют истинность, то истинными непременно должны быть и теоремы. Т. о., интуитивное обоснование общеупотребительного принципа математической индукции, согласно ультраинтуиционистской критике, содержит неустранимый порочный круг. Ультраинтуиционизм, не ограничиваясь критикой, предлагает и положительную программу преодоления указанных трудностей.

 

Общие указания.

Поиск информации по данному вопросу осуществлять самостоятельно, используя соответствующую литературу, Интернет и другие источники.

Объем работы не должен быть менее 10 страниц самостоятельно найденного материала.

 

Работа 2. Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Цель работы:

Изучение начальных положений теории множеств и практика работ с дискретными множествами.

Ниже приводятся некоторые положения теории множеств.

Элементы теории множеств

Логические символы

Квантор – заменяет выражение " для любого", " для произвольного", " для какого бы ни было".

Квантор – заменяет выражение " существует", " найдется".

Запись (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем .

 

Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x – общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
C – множество всех комплексных чисел;
Z₀ – множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись (или ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A, называется подмножеством множества A, и при этом записывают (или ) (см. рисунок 8).

 

Рисунок 7

 

 

Рисунок 8

 

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A. Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом Ø. Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами, при этом записывают A = B.

Если , то множество элементов множества , не принадлежащих A, называется дополнением множества A к множеству (см. рисунок 7).

Дополнение множества A к множеству обозначают символом С_JА; или просто CA, если известно, к какому множеству берется дополнение. Таким образом,

Если , то иногда дополнение множества B к множеству A называют разностью множеств A и B и обозначают A\B (см. рисунок 9), т. е.:

Пусть A и B – подмножества множества .

Объединением множеств A и B называется множество (см. рисунок 10)

 

Рисунок 9

 

Рисунок 10

 

Аналогично, если , j = , подмножества множества , то их объединением будет множество:

Пересечением подмножеств A и B называется множество (см. рисунок 11)

 

 

Рисунок 11

 

 

Рисунок 12

 

Аналогично, символом обозначают пересечение подмножеств , множества , т. е. множество

Если каждому сопоставлено некоторое множество , то говорят, что задано семейство множеств . В этом случае множество называют объединением семейства множеств , а множество

– о пересечением этого семейства.

Симметрической разностью двух множеств A и B называется множество, определяемое объединением разностей A\B и B\A (см. рисунок 12).

Симметрическую разность обозначают символом .

Два элемента a и b называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый, какой второй, при этом .

Упорядоченную пару элементов a и b обозначают символом (a, b).

Аналогично определяется упорядоченная система из n элементов a₁, a₂, ..., a_n, которую обозначают символом (a₁, a₂, ..., a_n). Элементы a₁, a₂, ..., a_n называются координатами упорядоченной системы (a₁, a₂, ..., a_n).

Совокупность всевозможных упорядоченных пар (a, b), где , называется произведением множеств A и B и обозначается символом .

Аналогично, символом обозначают произведение множеств , т. е. совокупность всевозможных упорядоченных систем (a₁, a₂, ..., a_n), где .

 

Булева алгебра

Пусть A, B и D - произвольные подмножества множества . Тогда непосредственно из определений объединения, пересечения и дополнения вытекают следующие предложения:

1) (замкнутость операций объединения и пересечения);

2) (коммутативность операций объединения и пересечения);

3) (ассоциативность операций объединения и пересечения);

4) (дистрибутивность операции объединения относительно операции пересечения);

(дистрибутивность операции пересечения относительно операции объединения);

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Если для элементов множества определены объединение и пересечение , для которых выполняются отношения 1) ÷ 8), то тройка называется булевой алгеброй. Таким образом, если σ – семейство всех частей множества , то – булева алгебра.

Общие указания.

Изучить выше представленные теоретические положения и выполнить практическую часть работы.

Приведенные ниже примеры являются общими для всех вариантов.

Примеры

 

· Доказать справедливость отношений 1) ÷ 8)

· Доказать принцип двойственности: C(A U B) = CA ∩ CB, C(A ∩ B) = CA U CB.

· Доказать равенства A U (A ∩ B) = A ∩ (A U B) = A.

· Доказать равенства:

CCА = А,

СJ = Ø,

CØ =J.

· Доказать справедливость включения .

· Определить множества A U B, A ∩ B, A\B, B\A, A Δ B, если:
а) A = {x: 0 < x < 2}, B = {x: 1 ≤ x ≤ 3};
б) A = {x: x² - 3x < 0}, B = {x: x² - 4x + 3 ≥ 0};
в) A = {x: |x - 1| < 2}, B = {x: |x - 1| + |x - 2| < 3}.

· Имеем

= . Показать, что .

· Пусть A = {x: 2 ≤ x ≤ 4}, B = {y: 1 ≤ y ≤ 3}. Изобразить на плоскости ХOУ множество точек A × B.

 

В случае невыполнения отдельных зданий необходимо представить реальный процесс (попытку) получения результата и сформулировать вопрос (вопросы), непонимание которых привело к отрицательному результату.

Таблица вариантов

Следующее задание носит индивидуальный характер, и номер варианта

задания совпадает с порядковым номером студента в журнале группы.??????????????????????????????????????????????????

Для заданных дискретных множеств {X} и {Y} (таблица 2) представить все указанные в таблице 1 множества. Множество {J}является областью определения множеств {X} и {Y}.

Таблица 1

J={1÷ 30}

X× Y

CXY

CYX

X/Y

Y/X

X Y

X Y

Таблица 2

№ Вар.

Множество Х по вариантам

Таблица 3

№ Вар.

Множество У по вариантам

Результаты выполнения данного раздела оформить в наглядном, удобном для проверки виде, например в форме таблицы.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: